高中物理系列模型之算法模型 2. 矢量的运算模型

模型界定

矢量及矢量运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等．狭义的讲，矢量的运算是指矢量物理量之间的运算，广义的说，矢量运算还包括运动形式的分解与合成．适量运算要遵循特殊的法则。本模型归纳总结高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(减)法与乘法的运算.

模型破解

1. 矢量加法

(i)平行四边形定则

矢量的加法运算也即矢量的合成,其实质是等效替代,一般可用平行四边形法则。

如果用表示两个矢量A₁和A₂的有向线段为邻边作平行四边形，那么合矢量A的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示，这叫做矢量运算的平行四边形定则.

(ii)三角形法则与多边形定则

如图所示，两矢量合成时由平行四边形法则可推广至三角形法则：将两矢量Ａ１Ａ２首尾相接，则合矢量Ａ就是由矢量Ａ１的箭尾指向矢量Ａ２箭首的有向线段所表示的矢量．

多个矢量相加时，则三角形定则推广可得到多边形法则，如图所示．最终合矢量的大小和方向与相加次序无关。

（iii)正交分解法

将矢量沿两个相互垂直的方向分解，称为正交分解．矢量A₁、A₂

，合矢量方向与x轴夹角θ满足

(iv)矢量减法

矢量减法是矢量加法的逆运算，也称为矢量的分解．一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量，A_１-A₂=A

矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。

(v)基本规律

①当两矢量A₁和A₂大小一定时，合矢量A随着两矢量间夹角α的增大而减小。当两矢量间的夹角α＝0°时，合矢量最大，等于A_mxa=A₁+A₂；当两矢量间的夹角α＝180°时，合矢量最小，等于A_min=｜A₁-A₂｜，即合矢量的取值范围是｜A₁-A₂｜≤Ａ≤A₁+A₂。

②合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依赖于两矢量之间的夹角的大小：

大小相等的两矢量，当其夹角小于120⁰时，合矢量大于分矢量；夹角等于120⁰时合矢量与分矢量相等；夹角大于120⁰而小于180

③有n个矢量A₁、A₂、A₃、……A_n，他们矢量和大小的最大值是它们的方向相同时的合矢量大小，即

而最小值要分下列两种情况讨论：

a若n个矢量A₁、A₂、A₃、……A_n中的大小最大的矢量A_j大于其余矢量的大小之和

，则他们矢量和的最小值是A_j－

b若n个矢量A₁、A₂、A₃、……A_n中的大小最大的矢量A_j不大于其余矢量的大小之和

，则他们矢量和的最小值是０。

④两矢量大小相等时，合矢量的方向必在两矢量的夹角平分在线

例2.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点。设滑块所受支持力为F_N。OF与水平方向的夹角为0。下列关系正确的是（ ）

2.矢量的乘法。

矢量乘法运算中包括三种情况：

一种是矢量和标量的乘积，其结果仍为矢量，如F=ma、F=qE等。此类运算中，若该标量大于零，则结果与原矢量同向，小于零时则与原矢量反向．

第二种情况是矢量和矢量相乘，结果构成了新的标量，矢量间这样的乘积叫标积．两矢量的标积等于两矢量的大小及两矢量间夹角余弦三者的乘积，如功W=F·S·cosα、功率P=F·v·cosα等的计算是采用两个矢量的标积。

第三种情况是矢量和矢量相乘结果却构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。两矢量的矢积大小等于两矢量的大小及两矢量间夹角正弦三者的乘积，如洛仑兹力f=qvBsinα等的计算是采用两个矢量的矢积。新矢量的方向与原两矢量所决定的平面垂直．

例5.一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能

B．先逐渐减小至零，再逐渐增大

C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小

D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大

例6长螺线管中通有恒定电流，把一个带电粒子沿轴线方向射入螺线管，不计重力，粒子在管中将做：

A．圆周运动 B．沿轴线来回运动

C．匀加速直线运动 D．匀速直线运动

模型演练

6. 运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程。将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是

A．阻力对系统始终做负功

B．系统受到的合外力始终向下

C．重力做功使系统的重力势能增加

D．任意相等的时间内重力做的功相等

7. 一个25kg的小孩从高度为3.0m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0m／s。取g＝10m／s

A．合外力做功50J B．阻力做功500J

C．重力做功500J D．支持力做功50J

8. 如图所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于O点，重球置于一个斜面劈M上，用水平力F向左推动斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是（ ）

A．M、m间的摩擦力对m不做功

B．M、m间的摩擦力对m做负功

C．F对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等

D．M、m间的弹力对m所做的功与对M做的功的绝对值不相等

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關鍵字: 三角形 矢量 做功