埃舍爾的版畫《瀑布》，畫中週而復始的水流，象徵著“怪圈”
艾薩克·牛頓（Isaac Newton）在劍橋大學時的數學老師艾薩克·
巴羅（Isaac Barrow）有一句名言：“數學，是科學不可撼動的基礎，是人類事務豐富的利益之源。”人工智能領域的研究，從誕生開始，就得益於數學、神經科學、心理學和語言學等基礎學科，其中數學是對人工智能影響最大的基礎學科。在本章中，我們將回顧對人工智能有較大影響的數學思想和理論，以及創造這些理論的科學家，涉及微積分、概率論、數論和數理邏輯等領域。
牛頓
許多傑出的數學家在17世紀取得了輝煌的成就，所以英國哲學家懷特海把17世紀稱為“天才的世紀”。在閃耀的群星中，分別獨立發明微積分的牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）也許是其中最耀眼的天才。
1637年，法國哲學家笛卡兒在他的哲學著作《方法論》中，以附錄的形式發表了《幾何學》，其中包含了他創立的解析幾何的核心原理，即解析幾何的基礎是平面直角座標系。直角座標系在代數和幾何之間架起了一座橋樑，它使幾何概念可以用代數形式來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。笛卡兒的這一成就為微積分的創立奠定了基礎。
1643年1月4日，牛頓出生於英格蘭林肯郡鄉下的伍爾索普村。牛頓出生時，英格蘭採用的仍然是儒略曆，比我們現在通用的格里高利曆要差10天，在儒略曆中，他的生日是1642年的聖誕節。牛頓從小喜歡讀書並喜歡製作各種機械模型，比如風車、水鍾和日晷。1665年，從劍橋大學畢業後，牛頓回家鄉林肯郡躲避鼠疫，待了兩年。正是在這兩年的清靜時光中，牛頓取得了微積分和萬有引力定律的偉大突破。牛頓將微積分稱為“流數法”，並將微積分完美地應用於物理學中。在1688年發表的鉅著《自然哲學的數學原理》中，牛頓用簡潔的數學公式描述了萬有引力定律和三大運動定律，從而奠定了經典物理學的基礎。
牛頓
除了在數學和物理學上的巨大貢獻，牛頓在科學研究方法論上也貢獻良多。在《自然哲學的數學原理》中，牛頓寫道：“在自然科學裡，應該像在數學裡一樣，在研究困難的事物時，總是應當先用分析的方法，然後才用綜合的方法⋯⋯一般來說，從結果到原因，從特殊原因到普遍原因，一直論證到最普遍的原因為止，這就是分析的方法；而綜合的方法則假定原因已找到，並且已經把它們定為原理，再用這些原理去解釋由它們發生的現象，並證明這些解釋的正確性。”這一套科學的分析和綜合的方法，配合上微積分這一強大的數學工具，通過“微分”實現從整體到部分的分析，“積分”實現從部分到整體的綜合，為各個學科的科學研究都打下了堅實的基礎。
微積分這一偉大的數學成果，深刻地反映了現實世界運行的本質，因此用途極廣，在人工智能領域也被廣泛使用。比如，在目前人工智能研究最火熱的深度學習方向，其中最核心的反向傳播算法，其數學基礎仍然是微積分中的導數和收斂等概念。
萊布尼茨
萊布尼茨，1646年7月1日出生於德國的東部名城萊比錫，他的父親是萊比錫大學的倫理學教授，在萊布尼茨6歲時去世，留下了一個私人的圖書館。萊布尼茨從小就很聰慧，12歲時自學拉丁文，大量閱讀了父親私人圖書館中的拉丁文古典著作。14歲時，萊布尼茨進入萊比錫大學攻讀法律，20歲時他遞交了一篇出色的博士論文，因為年紀太輕被拒（黑格爾認為是學識過於淵博的原因），第二年紐倫堡的一所大學授予他博士學位。
萊布尼茨
萊布尼茨是歷史上少見的通才，獲譽為17世紀的亞里士多德，著名的哲學家羅素稱讚他為“千古絕倫的大智者”。萊布尼茨最大的成就在哲學和數學方面，但他卻不是一個職業學者，他經常以法律顧問或幕僚的身份為德意志貴族服務，往返於歐洲各大城市。他發現的許多數學公式都是在顛簸的馬車上完成的，其中最優美的是他在倫敦旅行期間發現的圓周率的無窮級數表達式。
在微積分的發明權歸屬方面，現在歷史學家的共識是牛頓和萊布尼茨分別獨立發明了微積分。萊布尼茨發明的時間晚，但發表在先（於1684年和1686年）。在微積分的表達形式方面，萊布尼茨花了很多精力去選擇巧妙的記號，現代教科書中的積分符號“∫”和微分符號“dx”都是萊布尼茨發明的。
萊布尼茨有兩個貢獻深遠地影響了後來的計算機科學。首先，萊布尼茨改進了布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）的加法器，實現了可以計算乘法、除法和開方的機械計算機，這對後來的計算機先驅巴貝奇有很大的啟發作用。更重要的是，他發現了二進制，二進制使得所有的整數都可以用簡單的0和1兩個數來表示，最終使得電子計算機中數字的存儲和運算被大大簡化。有趣的是，萊布尼茨後來看到中國《易經》中的六十四卦（見圖7.3），他相信中國古人已經在其中巧妙地藏匿了二進制的奧秘。那一刻，也許萊布尼茨會有一種穿越時空，和2800年前創造《周易》的周文王姬昌心心相印的感覺吧。
周易六十四卦
費馬
很多歷史學家認為，概率論最早的起源來自於兩位數學天才帕斯卡和皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）的通信。1654 年，帕斯卡的好友，法國騎士德·梅雷向他提出了一個問題:“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局則贏得賭本。若當一人贏了
a局( a < s) ，另一人贏b局( b < s)時，中止賭博，問賭本應如何公平分配 ?”帕斯卡開始認真思考這個問題，並在給費爾馬的信件中提到了這個問題。在這一段數學史上有名的來往信件中，兩人取得了一致意見：在被迫停止的賭博中，應當按每個局中人賭贏的數學期望來分配桌面上的賭注。舉例說明，假設甲乙雙方約定先贏三局為勝，假設甲已贏了兩局，乙已贏了一局，此時賭博中止。如果要分出勝負，最多還需要再玩兩局,結果有四種等可能的情況：(甲勝，甲勝)，(甲勝，乙勝)，(乙勝，甲勝)，(乙勝，乙勝)。在前面三種情況下，甲贏得全部賭金，僅第四種情況使乙獲得全部賭金。因此甲有權分得賭金的3/4，而乙應分賭金的1/4。用數學期望來說，甲賭贏的數學期望為75%，乙賭贏的數學期望為25%。
1601年，費馬生於法國南部小鎮博蒙·德洛馬涅，是一個富有的皮革商人的孩子。費馬成年後的主要職業是法律顧問，業餘時間幾乎全部獻給了數學研究，在數論和概率論等方面成果卓著，被譽為“業餘數學家之王”。費馬生前一直沒有發表他的成果，幸虧他的長子克萊蒙意識到父親業餘研究成果的重要價值，花了5年時間整理了父親寫在書頁間的評註，1670年最終出版了《附有皮埃爾·德·費馬評註的丟番圖的算術》一書，費馬的偉大貢獻才沒有被湮沒。
費馬最著名的成果是費馬大定理：當整數n>2時，關於x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數解，如圖7.4所示。費馬把這個數論命題寫在古希臘數學家丟番圖的著作《算術》一書的空白處，在這個評註後面又加了一句：“對此命題我有一個非常美妙的證明，可惜此處的空白太小，寫不下來。”此後的300多年，無數的數學家前仆後繼，試圖證明這一難題，在這個漫漫征途中，又催化出了“理想數”“莫德爾猜想”“谷山－志村猜想”等許多數學成果，有數學家甚至將費馬大定理比作“下金蛋的雞”。1995年，英國著名數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）在他以前的博士生理查德·泰勒的幫助下，基於無數前輩的工作，完成了最終的證明，論文的題目是《模橢圓曲線和費馬大定理》（Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem）。
費馬及費馬大定理
和費馬大定理相似，人工智能特別是所謂“強人工智能”的研究，也不斷推動著計算機科學、認知科學等多個學科的發展，也可以被稱為“下金蛋的雞”，未來20年，可以期待有更多的精彩成果出現。
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