1. 美麗泡泡帶來的數學難題
平面上兩點之間的最短路徑是什麼？
一條直線。
○ 平面上兩點A和B之間的最短路徑是一條直線，任何其他路徑都顯然更長。| 圖片來源：[1]
大多數人都會認為這自然是理所當然的，否則還能是什麼呢？我們也可以用嚴格的數學來證明事實確實如此。對於兩點之間的任意一條連接路徑，都有一個能給出路徑長度的公式（如果你懂微積分，會知道這個公式是一個積分）。通過一些代數步驟，你就能通過求出那個公式的最小值而找到最短路徑。這種證明屬於變分法。變分法屬於數學的一個分支，它是關於在給定條件下求一些量的極值的方法。
如果我們將問題上升一個維度，類似的問題就會引領我們進入肥皂泡的美麗世界。
肥皂泡有著完美的形狀，而且泡沫薄膜前後表面所反射的光線會相互干涉，從而形成五彩斑斕的顏色。肥皂泡在數學世界中也是美麗的，因為它們是極小曲面的絕佳例子。當泡沫內部封閉的空氣體積固定時，那麼薄膜表面的張力會最小化，從而將肥皂泡拉拽成在給定體積下具有極小曲面的形狀，這種形狀就是完美的球形。
如果我們拿一個小圓環在肥皂水裡蘸一下，就會看到在圓環中有一層肥皂薄膜形成，這層形成於圓環內的薄膜有著儘可能小的面積。你可能會以為這層薄膜具有各種各樣的形狀，比如說它包含一些凸起，但實際上它就是一個平面，因為這樣才能使面積、表面張力和能量都最小化——大自然喜歡簡約。
這給數學家帶來了一個巨大的難題：找到平面上兩點之間的最短路徑可能還算比較容易，但我們也能找到一個框架內的最小面積曲面嗎？事實上，極小曲面不僅僅是形成於大的框架內的曲面，而且它本身就是由許多小的極小曲面構成的。
尋找極小曲面是一個極其困難的問題。直到19世紀，人們只知道三種極小曲面：平面、懸鏈面和螺旋麵。
○ 懸鏈面。| 圖片來源：Soapbubble.dk
○ 螺旋麵可視作是螺旋線的立體版本。| 圖片來源：The Exploratorium
2. 追求極小
數學家凱倫·烏倫貝克 （Karen Uhlenbeck）是2019年阿貝爾獎的獲得者，她是阿貝爾獎設立16年以來的第一位獲獎的女性。1966年，烏倫貝克獲得了博士學位，論文是關於“變分法與全局分析”。當她在上世紀70年代遇到喬納森·薩克斯（Jonathan Sacks）之後，她的注意力就轉向了對極小曲面的研究。烏倫貝克在2018年的一次採訪中說：“我對極小曲面瞭解不多，但我們會一起討論，然後一起工作。他帶來了有關於極小曲面的知識，我帶來了這項研究的主要想法。”
通過能量來定義極小曲面是一種比面積更容易處理的方法。正如兩點之間的路徑長度可以用積分來描述一樣，一個曲面的能量也可以。要做的就是找到一個使能量公式最小化的曲面。
當要處理的只有路徑時，問題會相對簡單。因為不同的路徑會匯聚，逐漸越靠越近，直到最終收斂到一個極限路徑。
○ 藍色路徑收斂到紅色路徑的示意圖。我們可以想象無限多條藍色路徑越來越接近那條紅色路徑。| 圖片來源：[1]
能量的概念與收斂密切相關：如果在A、B兩點之間的平滑路徑的集合中，每一條路徑的能量都小於一個界值，那麼你就可以確定在這個集合中包含一系列路徑，它們會收斂到A、B兩點之間的一條連續的極限路徑。 由於首要問題是從連接A、B兩點的無限多條路徑中找到最短路徑，所以這種緊性（因為存在極限所以稱為緊性）結果很重要。
然而，當問題上升到曲面時，能量並不足以給出類似的結果。問題在於一個曲面就可以用很多方法來描述。舉個不那麼恰當的例子，我們來想象一個看起來像是變形了的球的曲面，比如一個表面坑坑窪窪的土豆，亦或者是一個癟了的足球。
○ 如果土豆上的每個點x都與球面上的一個點相關聯，那麼球面就可以作為土豆表面的一個映射。然而，如何將這些點聯繫起來有許多不同的選擇，所以也就有許多不同的映射。| 圖片來源：[1]
要處理這樣一個曲面，你或許可以構建一個從球面到這個曲面的映射：球面上的每個點都與這個變形的球面上的每個點一一對應。這正是我們用一個球形地球儀上的地圖來表示並非完美球形的地球時所做的事。但是關於球面上的哪一個點與曲面上的哪一個點對應可以有許多不同的選擇，所以映射也有許多種不同的選擇。
3. 擾動能量
在烏倫貝克和薩克斯的數學世界中，三維空間中的曲面（或任何其他流形）也是由某些類型的映射描述的。在這種情況下，一個曲面的能量公式並不一定與使用的映射類型有關，特別是它與距離尺度也無關。然而，對於一系列映射而言，尺度可能非常重要：它或許會打亂映射的收斂性，從而讓我們無法得到需要用來證明極小曲面存在的那種緊性結果。
烏倫貝克和薩克斯找到了一個巧妙的方法來解決這個問題。他們修改了曲面能量通常的表達式，從而得到了一些略微不同的表達式。這些新的表達式能夠表現尺度的影響，從而可以用來證明緊性結果。這意味著對於每一個略微不同的表達式，我們都可以找到一個有意義的極小映射。我們可以構建一系列略微不同的能量表達式，它們會收斂到最初的能量表達式。每一個略微不同的表達式都有自己的極小映射，所以接下來的想法就是去檢查，與最初的能量表達式相比，這些極小映射是否會收斂到任何有意義的結果。
烏倫貝克和薩克斯證明，它們確實會收斂到有意義的結果，至少在大多數情況下如此。在球面上的一些點處，這一系列極小映射可能不會收斂，但這樣的點只能有有限多個，而且我們仍然有可能描述這些奇怪的點：在這些點周圍的小區域內調整映射的尺度，你會發現這些區域膨脹成映射描述的那些曲面上的“泡泡”。
○ 從曲面M到N的映射。圍繞著一個奇怪的點周圍的小區域膨脹成了泡泡。| 圖片來源：Notices of the American Mathematical Society
調整尺度就是烏倫貝克所說的“主要想法”，這個想法使得烏倫貝克和薩克斯能夠證明關於極小曲面存在的重要結果。它在其他許多問題中也有應用。烏倫貝克說：“許多問題完全是幾何的（不關心尺度）。如果你有一個尋找度量的問題，而又不知何故不存在固有的外部尺度，那麼事實上你可以改變那個尺度。”
4 超越肥皂泡
極小曲面的數學研究具有深遠的意義，烏倫貝克與薩克斯在這方面的貢獻為後來許多的重大進展奠定了基礎，它甚至涉及到物理學領域，遠遠超出了肥皂泡的問題：物理學家嘗試構造一個萬有理論，不僅描述我們能夠看到的現象，也可以解釋我們永遠無法體驗到的非常小和非常大的尺度的世界。
這其中所涉及的概念遠並不會像肥皂泡那樣直觀，但極小曲面理論與規範理論所描述的量子物理學之間，存在數學上的相似之處。烏倫貝克說：“一個強大的數學事實是，直覺和技術可以在極小曲面理論與規範理論之間來回傳遞。”
受已故數學家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）的啟發，在20世紀70年代末，烏倫貝克將注意力轉向了支撐我們理解粒子物理學的理論——楊-米爾斯理論。當物理學家正為其中的數學所擾時，烏倫貝克從嚴謹的數學角度開創了楊-米爾斯爾方程的研究，在這個過程中，她發現了氣泡現象和緊性的概念。她在這一領域的工作為後來的規範理論的所有工作奠定了基礎。她受到物理學問題的啟發，展開了對瞬子的研究，最終徹底改變了純數學領域。
烏倫貝克深信，數學中有很多不同的方面，她非常希望能看到這些不同方面之間的聯繫。她對那些與其他領域相關的數學非常感興趣，而她所建立起的聯繫也收穫了阿貝爾獎的肯定。
編譯：烏鴉少年
參考鏈接：
[1] https://plus.maths.org/content/abel-prize-2019
[2] http://www.abelprize.no/c73996/binfil/download.php?tid=74160
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