考点分析：
利用圆的相关概念求角度或者线段长度（多在选择题、填空题出现）
利用垂径定理求弦长或者与三角函数相结合求三角函数值等（多在选择题、填空题出现）
应用垂径定理解决实际问题（多在选择题、填空题、解答题出现）
一、圆的相关概念
1.圆的定义
在一个平面内，线段OA绕固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA交做半径，以O为圆心的圆记做“圆O”。
2.与圆有关的概念
（1） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧分劣弧、半元和优弧
（2） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做半径。
（3） 等圆：半径相等的两个圆是等圆。
3.圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是它的对称轴
4.垂径定理及推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
二、常考的几个题型
圆的有关概念
例题1：图中圆心角∠AOB=30∘,弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=______.
分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°-30°=30°．
解题过程：
∵CA∥OB，
∴∠CAO=∠AOB=30∘，
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=30∘，
∴∠AOD=2∠C=60∘，
∴∠BOD=60∘−30∘=30∘.
故答案为30∘.
垂径定理及其推论
例题2
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC.若OC=5，CD=8，则AE= .
解题过程：
∵弦CD⊥AB，CD=8，
∴CE=1/2CD=4.
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE=3.
∵OA=OC=5，OE=3，
∴AE=OA-OE=2.
答案：2.
构造弦心距妙解题
例题3
如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
分析：
如图， O的直径为10cm，弦AB为8cm，当OP⊥AB时OP有最小值，连接OA，过O作OD⊥AB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OD为3，
所以得到当OP⊥AB时P的最小值为3，当OP与OA重合时P最大为5，这样就可以判定P在AD之间和在BD之间的整数点，然后即可得到结论．
解题过程：
如上图所示，连接OA，过O作OD⊥AB于D，
∵O的直径为10cm，弦AB为8cm，
当OP⊥AB时OP有最小值，
则AD=12AB=4cm，
由勾股定理得OD=根号下（OA的平方-AD的平方）=3cm
∴当OP⊥AB时OP的最小值为3，
当OP与OA重合时P最大为5，
∴P在AD中间有3，4，5三个整数点，
在BD之间有4，5，两个整数点，
故P在AB上有5个整数点。
故选D.
例题4
如图,以△ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D. E,连结OD、OE,若∠A=65∘，则∠DOE=___.
分析：
如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
解题过程：
如图，连接BE.
∵BC为O的直径，
∴∠CEB=∠AEB=90∘，
∵∠A=65∘，
∴∠ABE=25∘，
∴∠DOE=2∠ABE=50∘,(圆周角定理)
故答案为：50∘.
三、总结：
1.圆的概念的题目，一般都比较基础，但是有几个地方需要注意
（1）圆的位置是由圆心确定的，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆叫做等圆。等圆一定能够互相重合，圆是由圆心和半径确定的。
（2）直径是弦，但是弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径，两条能够重合的弧是等弧，但长度相等的弧不一定是等弧。
2.垂径定理是圆的重要定理之一，是证明圆中线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，在解决与弦、弧中点有关的问题时，常连接圆心和重点，或者过圆心作弦的垂线，利用垂径定理构造直角三角形来解决问题。如下图所示
3.弦心距指的是圆心到弦的距离，它是一条线段，不难发现，这条线段具有如下几个特殊性质
垂直于弦且平分弦，在解答某些与圆有关的问题时，从构造弦心距入手，可化难为易。
閱讀更多 數學輕鬆課堂 的文章
