三角形中動點問題
【題目】
（2018•衡陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，動點P從點C出發以1cm/s的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發以√2cm/s的速度沿AB勻速運動，當點P到達點A時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，點B在線段PQ的垂直平分線上？
（2）是否存在某一時刻t，使△APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設四邊形QNCP的面積為S，求S關於t的函數關係式．
【答案】
解：（1）如圖1中，連接BP．
在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4√2
∵點B在線段PQ的垂直平分線上，
∴BP=BQ，
∵AQ=√2t，CP=t，
∴BQ=4√2﹣√2t，PB2=42+t2，
∴（4√2﹣√2t）2=16+t2，
解得t=8﹣4√3或8+4√3（捨棄），
∴t=（8﹣4√3）s時，點B在線段PQ的垂直平分線上．
備註：動點問題，設時間為t表示出所有的線段易得結論。
（2）①如圖2中，當PQ=QA時，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．
則有PA=√2AQ，
∴4﹣t=√2•√2t，
解得t=4/3．
②如圖3中，當AP=PQ時，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．
則有：AQ=√2AP，
∴√2t=√2（4﹣t），
解得t=2，
綜上所述：t=4/3s或2s時，△APQ是以PQ為腰的等腰三角形．
備註：分類討論，利用線段相等得到等量關係。
（3）如圖4中，連接QC，作QE⊥AC於E，作QF⊥BC於F．則QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．
∵S=S△QNC+S△PCQ=1/2•CN•QF+1/2•PC•QE=1/2t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．
備註：不規則四邊形，用割補法求解。
【總結】
遇到幾何圖中雙動點的問題，一般已知速度設時間為t，利用t表示出所有能表示的線段長，易得想要的結論。
拓展：
衡陽是中國優秀旅遊城市、中國抗戰紀念城市，境內旅遊資源較為豐富。南嶽忠烈祠、南嶽大廟、蔡侯祠、王家祠堂、衡州窯、雲集窯、水口山鉛鋅礦冶遺址、王氏宗祠、王船山故居及墓、羅榮桓故居、湘南學聯舊址被列為國家級文物保護單位。
“雁峰煙雨”、“石鼓江山”、“朱陵後洞”、“青草漁家”、“花葯春溪”、“嶽屏雪弄”、“東洲桃浪”、“西湖白蓮”被稱為衡州八景。
南嶽衡山
衡山是中國五嶽之一，有“壽嶽”之稱，位於衡陽市南嶽區。為國家
級重點風景名勝區、國家級自然保護區、全國文明風景旅遊區示範點和國家5A級旅遊景區。
1982年，衡山作為中國著名的自然景觀和人文景觀，以南嶽衡山風景名勝區的名義，被國務院批准列入第一批國家級重點風景名勝區名單；2000年成為全國首批4A級旅遊區；2007年3月成為全國首批5A級風景名勝區；2007年8月1日，衡山經國務院批准列為國家級自然保護區。
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