三角形中动点问题
【题目】
（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】
解：（1）如图1中，连接BP．
在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4√2
∵点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴BP=BQ，
∵AQ=√2t，CP=t，
∴BQ=4√2﹣√2t，PB2=42+t2，
∴（4√2﹣√2t）2=16+t2，
解得t=8﹣4√3或8+4√3（舍弃），
∴t=（8﹣4√3）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
备注：动点问题，设时间为t表示出所有的线段易得结论。
（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．
则有PA=√2AQ，
∴4﹣t=√2•√2t，
解得t=4/3．
②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．
则有：AQ=√2AP，
∴√2t=√2（4﹣t），
解得t=2，
综上所述：t=4/3s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
备注：分类讨论，利用线段相等得到等量关系。
（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．
∵S=S△QNC+S△PCQ=1/2•CN•QF+1/2•PC•QE=1/2t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．
备注：不规则四边形，用割补法求解。
【总结】
遇到几何图中双动点的问题，一般已知速度设时间为t，利用t表示出所有能表示的线段长，易得想要的结论。
拓展：
衡阳是中国优秀旅游城市、中国抗战纪念城市，境内旅游资源较为丰富。南岳忠烈祠、南岳大庙、蔡侯祠、王家祠堂、衡州窑、云集窑、水口山铅锌矿冶遗址、王氏宗祠、王船山故居及墓、罗荣桓故居、湘南学联旧址被列为国家级文物保护单位。
“雁峰烟雨”、“石鼓江山”、“朱陵后洞”、“青草渔家”、“花药春溪”、“岳屏雪弄”、“东洲桃浪”、“西湖白莲”被称为衡州八景。
南岳衡山
衡山是中国五岳之一，有“寿岳”之称，位于衡阳市南岳区。为国家
级重点风景名胜区、国家级自然保护区、全国文明风景旅游区示范点和国家5A级旅游景区。
1982年，衡山作为中国著名的自然景观和人文景观，以南岳衡山风景名胜区的名义，被国务院批准列入第一批国家级重点风景名胜区名单；2000年成为全国首批4A级旅游区；2007年3月成为全国首批5A级风景名胜区；2007年8月1日，衡山经国务院批准列为国家级自然保护区。
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