在尋找模式（patterns）的過程中，數學家無意中發現了素數與量子物理的聯繫。人們不禁要問，亞原子世界（subatomic world）是否可以幫助揭示素數那難以捉摸的本質？
作者Marcus du Sautoy（牛津大學數學教授） 翻譯 墨竹 校對 楊璐
1972年，物理學家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）寫了一篇名為《錯失的機會》（Missed Opportunities）的文章。在該文中，他闡述道：如果像哥廷根這類地方的數學家曾與當時潛心研究描述電磁現象的麥克斯韋方程的物理學家進行討論，那麼可能在愛因斯坦公佈其研究結果的很多年之前，相對論就被發現了。實現這一突破性成果的要素在1865年就已具備，而愛因斯坦在大約四十年後才宣佈了這一結果。
令人驚訝的是，戴森居然認為科學的航船還在黑夜中摸索前行。就在他的文章發表後不久，物理學和數學之間的一次意外碰撞產生了二十世紀下半葉最為偉大的科學思想之一：量子物理和素數之間有著千絲萬縷的聯繫。
這種與物理學意料之外的聯繫給了我們一個窺探數學的機會，或許它將最終揭示這些神秘數字的秘密。起初，這種聯繫看起來非常微弱。然而，數字42所扮演的重要角色最近甚至說服了最有力的懷疑者：亞原子世界也許是開啟數學界一個最重大的未解難題的鑰匙。
素數，例如17和23，是指那些只能被自身和1整除的正整數。它們是數學中最重要的對象，因為，正如古希臘人所發現的那樣，它們是所有整數的基石：任何整數都可以分解成素數的乘積（例如，105 = 3 × 5 × 7）。素數是數學世界中的氫和氧，是算術中的原子。此外，它們代表了數學中最大的挑戰之一。
作為一名數學家，我窮盡一生之力試圖找到我身處的表觀混沌之中所蘊含的模式、結構和邏輯。然而，這種模式的科學似乎是由一組數的集合所建立的，這些數之間沒有任何邏輯。素數看起來更像是一組彩票號碼的集合，而不是由簡單的公式和規則所產生的序列。
兩千年來，素數的模式問題就像一塊磁鐵，吸引著困惑的數學家們。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）就是其中一位。他於1859年，即達爾文發表進化論的同一年，發表了一篇具有同等革命性的論文，論述了素數的由來。黎曼是哥廷根大學的數學家，他開造了一門將為愛因斯坦的偉大突破奠定基礎的幾何學。然而，他的理論並不僅僅只是打開相對論的鑰匙。
黎曼發現了一個幾何學的大陸，其輪廓蘊藏著素數在整個數字世界中的分佈方式的秘密。他意識到，可以通過 zeta 函數構建一幅景象，使得一個三維圖中的波峰和波谷對應於該函數的值。Zeta 函數建立了素數和幾何學之間的橋樑。通過進一步的研究，黎曼發現 zeta 函數值為零的地方（對應于波谷）蘊含著有關素數本質的關鍵信息。
黎曼這一發現所具備的革命性意義可以與愛因斯坦發現 E = mc2 相提並論。與愛因斯坦方程中質量轉化為能量不同，黎曼方程將素數轉化為 zeta 函數景象中水平線（sea-level）處的點。然而，黎曼後來注意到，更加不可思議的事情發生了。當他標註了前十個零點的位置後，一個令人吃驚的模式開始出現。這些零點並不是散落各處，它們似乎分佈在景象區域中的一條直線上。黎曼無法相信這僅僅只是一個巧合。他假設，所有的零點——無窮多個零點——可能都落在這條臨界直線上，這就是著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis）。
但是，這種令人著迷的模式對素數而言意味著什麼呢？如果黎曼的發現是正確的，那就意味著大自然對素數的分佈是儘可能公平的。這意味著素數的行為更像是一個房間裡隨機的氣體分子：雖然你可能不知道每個分子的確切位置，但是你可以確定不可能一個角落是真空的而另一個角落聚集著很多分子。
對於數學家而言，黎曼關於素數分佈的預言是強有力的。如果這個猜測是正確的，它就意味著其他上千個定理都是成立的，其中也包括我自己的一些定理，這些定理都是以黎曼猜想的正確性為前提的。但是，經過了將近150年的努力，還是沒有人能夠證明所有的零點確實都落在黎曼所預言的直線上。
1972年，物理學家弗里曼·戴森和數論專家休·蒙哥馬利（Hugh Montgomery）在普林斯頓高等研究院喝茶時的會面是一個機遇，它揭示了素數故事中一種令人驚歎的新關係，或許能為最終解決黎曼問題提供一條線索。他們發現，如果將黎曼臨界直線上的零點和實驗記錄的大原子（例如鉺，元素週期表中的第68個原子）的核的能級相比較，兩者的分佈驚人的相似。
看起來，蒙哥馬利所預測的零點在黎曼臨界直線上的分佈模式與量子物理學家所預測的重原子的核的能級是一致的。這個關係的影響是巨大的：如果人們可以弄清楚量子物理中描述原子核結構的數學，也許同樣的數學就可以用來解決黎曼猜想。
數學家是多疑的。儘管數學曾常常為物理學家服務，例如愛因斯坦，但是他們懷疑物理學是否真的能夠回答數論中的困難問題。於是在1996年，普林斯頓大學的彼得·薩奈克（Peter Sarnak）向物理學家們提出挑戰，請他們告訴數學家關於素數的新見解。最近，布里斯托爾大學的喬·基廷（Jon Keating）和妮娜·斯奈思（Nina Snaith）對此作出了正式回應。
有一個重要的數列叫做“黎曼 zeta 函數的矩”（the moments of the Riemann zeta function）。儘管我們知道如何抽象地去定義它，但是精確地計算該數列中的每個數卻非常困難。自上世紀二十年代以來，我們已經知道前兩個數是1和2。然而，直到近幾年，數學家們才猜想該數列中的第三個數可能是42——它在《銀河系漫遊指南》（The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy）一書中被描述為具有重要意義的數字。
確立素數與量子物理之間的聯繫同樣具有重要意義。利用這種聯繫，基廷和斯奈思不僅解釋了為什麼生命、宇宙以及黎曼zeta函數第三矩的答案是42，而且還給出了一個預測該數列（即黎曼 zeta 函數的矩）中所有數字的公式。在這個突破性進展之前，量子物理與素數相關聯的證據只來自於有趣的統計比較，但是數學家對統計學是持懷疑態度的。我們喜歡精確的事物。基廷和斯奈思運用物理學得到了一個非常精確的預測，它使得統計學在預測模式的過程中沒有發揮的餘地了。
現在，數學家們深信不疑了。普林斯頓一個普通房間裡的那次偶然會面成就了當前素數理論最激動人心的進展之一。數學中的很多大問題，例如費馬大定理（Fermat’s Last Theorem），都是在建立了與其他數學分支的聯繫之後才被解決的。150年來，許多數學家在解決黎曼猜想的道路上怯而止步。我們可能最終找到理解素數的工具的這一希望，已經激勵更多的數學家和物理學家直面挑戰。希望瀰漫在空氣中，我們可能離真解更近一步了。戴森也許是對的，人們錯失了提前四十年發現相對論的機會；然而，如果沒有數學家們喝茶討論的機遇，誰又能知道我們還要等多久才能發現素數與量子力學的聯繫呢！
本文作者Marcus du Sautoy（馬庫斯·杜·索托伊）是牛津大學的數學教授，著有《素數的音樂》（The Music of Primes）一書，並曾擔任BBC專題記錄片《數學的故事》（The Story of Maths）的主講人。
原文鏈接
http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/?from=singlemessage&isappinstalled=0
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