彼得苏
拉格朗日中值定理为什么强调函数在闭区间连续，开区间可导，而不是直接说它在闭区间可导呢？
因为区间之外的情况是未知的，在区间左端点，函数最多只能有右导数；在区间右端点，充其量也只能是存在左导数。而函数在一个点若要有导数，必须是左右导数都存在且相等，可见拉格朗日中值定理只能给出在区间内可导的条件。还要注意，如果再给出在区间端点存在右导数或左导数的条件行吗？没必要，够用就行，多一点就是累赘，数学讲究恰到好处。
这里就看出《高等数学》（简称高数）教材编写的窘境。高数由数学专业的支柱课程之一《数学分析》（简称数分）简化而成，但简化得太狠了，原因是非数学专业学生基础有限，学时也少，社会对数学也不重视，只是把它当成其他学科的工具，因而在编写高数教材时基本都把理论推导去掉了。在某些局部，还保留着数分的某些蛛丝马迹，比如一系列的中值定理。但由于来龙去脉无法交代得像数分那么详细，因而还留下种种费解的疑团。
很多学生，在中学阶段就靠死记硬背一些类型题来学数学，基础就不太牢靠。到了大学，又碰上这种怪怪的高数教材，当然很难真正深入理解。可以说高数真的没有多少技术含量，那些所谓高数考得高分者，也是因为本来在中学数学就比其他同学强，或者是由于老师要照顾大多数数学很难学好的同学只好降低要求而造成的。除了极少数参考书看得多的学生，大部分学生学高数就只能是知其然而不知其所以然。
而数学专业学生，如果要把后面几年的课程学好，数分就不能马虎对付。实际上这是一门极其严密细致高难刺激的课程，往往是由最好的老师来讲授，也只有部分学生学得比较扎实，一般名牌大学数学专业都有相当比例的学生能学好这门课。
全国的高数教材编写，几乎是一致的取舍，这也说明人口众多的大国在教育上的过度强调趋同而缺乏个性。从真正学会的角度来思考，我倒建议根据具体专业学生的情况，为他们量身定做合适的迷你版数分，别学这种没有挑战性而大多数学生还学不好的高数了。
JohnTim2019
改成闭区间可导条件加强了，会导致定理适用范围变小。
考研数学涂老师
可以把理论推导放到教材后面附录中，并在前面相应处作出标注。总之，要在严谨和适用这个矛盾中找到变通？
手机用户58876907846
因为在某一点有导数的充要条件是:左导数=右导数，而闭区间两个端点，只有一侧可导，所以两个端点没有导数，但肯定连续，而存在哪个点，也在这两个端点之间，且这个点切线平行两个端点所在的直线！
独树一帜148955840
闭区间两个端点没有邻域 导数定义不成立
我是一个有才气的人
因为开区间可导，闭区间连续条件弱。改成闭区间可导条件加强了。在条件弱的时候拉格朗日中值定理已经成立。
具体的可以参见罗尔定理的使用条件，拉格朗日中值定理由罗尔定理证明。
刘文龙数学
用集合论想想 两者能等价么？ 闭区间可导 显然是闭区间连续的子集。原始条件说明定理在更宽松的条件下都可适用。有的函数的定义域是开集比如y=1/x。但中值定理仍然适用。
ToughLearner
很多定理都是有条件的，如果说“闭区间可导”才能使用拉格朗日中值定理话，难道“闭区间连续，开区间可导”不能使用了吗？“闭区间可导”是“闭区间连续开区间可导”的真子集，谁的范围大谁的范围小
