前段時間完美聊了一下麥克斯韋方程，那麼聊到世界上最完美的公式，就肯定離不開歐拉公式，如果說麥克斯韋方程首次讓物理學界迎來了大一統，那麼歐拉公式就可以被稱為“公式之母”，無數數學界以及物理界的公式都是受他影響而誕生，可以說推動了數學界和物理界的大發展，數學家們更是評價它是“上帝創造的公式”。而這個公式的發明者歐拉也被譽為“數學之王”，是數學界的四大天王（“數學之神”阿基米德、牛頓、“數學王子”高斯、歐拉）。
我們先來聊聊歐拉，歐拉可以說就是為數學而生，人家9歲，就把牛頓的《自然哲學的數學原理》看完了。
13歲考入巴塞爾大學一開始是主修哲學和法律。後來覺得太容易了，太輕鬆了。一口氣又修了數學、神學、希伯來語以及希臘語。
課餘還研究音樂、物理、建築啥的。這他都覺得大學過的很閒。花了兩年時間就把六個專業學完了，然後畢業了......
順手考了一個碩士，可能是覺得碩士學習的內容太簡單了，歐拉完全提不起興趣。心想要不然就考個博士吧。
然後碩士讀了一年了就成功考取了博士。
這些歐拉才心滿意足，覺得還是有點學習的價值，乖乖讀了3年。19歲就成功博士畢業了。博士畢業論文就是寫的物理論文。
為啥說歐拉自負傲嬌氣性大，因為他20歲的時候參加巴黎科學院獎金的爭奪，就拿了一個第二。
歐拉啥時候受過這樣的氣啊，心想雖然自己比賽的時候也是灑灑水，沒這麼認真。也不至於就第二吧。
當年拿第一的皮埃爾·布格也是厲害人物，在多個領域有很高成就，被後世尊為“ 造船工程學之父 ”。
可惜他碰上的對手是歐拉。
歐拉很生氣，後果很憤怒。接下來12年，建築大賽的冠軍都被歐拉拿了。
到了33歲，歐拉才覺得氣消，不再參與比賽。27歲那年，他發明了一系列對人類影響深遠的符號——圓周率的符號π、函數符號f(x)、以及三角學符號sin、cos、tg等等都是他發明的。
歐拉憑一己之力，成功為中國數學教材貢獻了無數的知識點。讓中國學生在中考、高考的數學火海里苦苦掙扎，然而，這只是人家做的一點點微博貢獻。
從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函數，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，複變函數的歐拉公式都是他送給理科系大學生的禮物。
還有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫寫信給歐拉時提出的。現在流行的版本是歐拉記載下來的。
哥德巴赫寫給歐拉的信
歐拉在數學的勤奮還有天賦真的是前無古人。號稱科研就和生活一樣。可能在喝一杯水的時候，就立馬想處一個公式來了。
另外，他還順便創造了幾個全新的學科：拓撲學、彈道學、分析力學，還自學成為了製圖學家。全歐洲的天文學家正在討論該如何計算彗星的軌道，100多個專家苦苦嘗試卻毫無進展。
27歲的歐拉聽說了這件事之後，得瑟之心油然而生，為了顯擺自己的智商，他連續三天不吃不喝不睡，搞出了一套計算彗星軌道的方法。
然而天道好輪迴，天才也繳稅，由於連續三天沒閤眼，他的右眼勞累過度，瞎掉了...
不過他表示還可以再堅持一下，30歲的獨眼歐拉出版了震古爍今的鉅著《力學，或解析地敘述運動的理論》，提出了質點的概念。
還在速度與加速度問題上引入了矢量，一系列巨大成果，改變了人類發展的走向。
32歲時候，很久沒有跨界的他，心裡癢癢的，於是出版了一部音樂理論著作，順便發明了，空氣動力學和流體動力學。。
在59歲的時候，歐拉徹底瞎了，但是歐拉覺得好像解放了新世界。雖然看不清楚，沒有辦法計算，但是歐拉強悍的心算能力彌補了這一點。
歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠複述年青時代筆記的內容。
而且老年時期還能清楚記得維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》，這本書有多厚呢，人民出版社翻譯的中文版共有300多頁。
歐拉可以清晰記得哪一句在哪一頁哪一段哪一行。
有一個例子足以說明他的本領，歐拉的兩個學生把一個複雜的收斂級數的17項加起來，算到第50位數字，兩人相差一個單位。
歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行全部運算，最後把錯誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多複雜的分析問題．歐拉以驚人的記憶力還有能力解決了需要計算的難題，寫東西更勤快了。還創立了分析力學和剛體力學
他喜歡拿自己的小孩做背板，然後在那裡計算。就和這幅圖一樣。
1771年，64歲的歐拉因為彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中。
雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。
記憶力驚人的歐拉表示，燒掉了有什麼，我再重新寫出來不就好了。
他抓緊這最後的時刻，在一塊大黑板上疾書他發現的公式，然後口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉（數學家和物理學家）筆錄。
然而即使歐拉奮戰了13年，依然才整理出來一小部分被燒燬的成果，可以說如果不是這場大火，那麼歐拉遺留下來的成果你想想對文明的進步會有多大的發展。
他大火之後整理出來的小部分成果共包括886本書籍和論文，其中分析、代數、數論佔40%，幾何佔18%，物理和力學佔28%，天文學佔11%，彈道學、航海學、建築學等佔3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
以歐拉命名的公式與定理，足足有數十個。這其中最為知名的就是我們的主體“歐拉公式”，這條恆等式第一次出現於1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction，它是複分析的歐拉公式特例。。
歐拉公式並沒有多複雜，反而方程簡單，有點像武林高手，達到了最高境界，返璞歸真一樣的感覺。
看起來是不是特別地簡單，但是這個公式在以前即使是許多的數學界窮盡一生都很難琢磨明白，它將數學裡最重要的幾個常數聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。
那麼為什麼說這個公式非常複雜呢？因為你可以用非常多不同的方式去證明它，你既可以用數學歸納法證明，也可以用推理證明，也可以分式推導，還可以用複變函數求證，甚至你可以用 平面幾何學、 物理學、拓撲學來推證。所以才說他蘊含了所有的數學元素，甚至蘊含了宇宙的至理法則。
自然數也被稱為歐拉數的“e”含於其中。 自然對數的底、素數定理、完全率、阻力落體、粒子運動，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，都蘊含著“e"
而另外一個超越數，π，大家相比很清楚了，就是圓周率。這兩個超越數都是歐拉發明的。
也包含了最重要的運算符號 + ，最重要的關係符號 = 。而0和1，是構造群，環，域的基本元素，也是構造代數的基礎。 而虛單位 i 使數軸上的問題擴展到了平面，在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。
所以你明白為什麼這個公式非常之複雜了嗎？也正是因為其涵蓋範圍如此廣泛，如三角函數、傅里葉級數、泰勒級數、概率論、群論等受到了它的影響。它同樣對物理學影響也非常巨大，如機械波論、電磁學、波動光學以及引發了電子學革命的量子力學的理論基礎也蘊含其中。也將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、概率波等聯繫在了一起......
舉一個例子，你可以使用歐拉公式將三角函數轉換為指數(由泰勒級數易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]
泰勒展開有無窮級數，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此時三角函數定義域已推廣至整個複數集。可以說歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，建立了三角函數和指數函數的關係，被譽為“數學中的天橋”。
還可以把它擴展為時間的函數。（引用至CSDN xieyan0811 ）
加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是係數。把平面上的轉圈擴展成了空間中的轉圈，縱軸表示時間t，兩個橫軸分別為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍線經過的點是e^ix，即，把時域上的e^ix分別投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函數．圖中可看到正餘和餘弦的投射（紅／綠）。如果用python做3D圖，拖動旋轉角度效果更直觀．這就是傅立葉變換原理：將時域值拆分映射到頻域，通過三角函數的疊加表示。
還有拓撲學裡的歐拉公式
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。 如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。
所以看完之後，你就能知道為什麼歐拉公式被譽為“上帝創造的公式”了吧，很多數學家甚至物理學家都從歐拉公式裡得到了啟發，高斯曾經說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。”
物理學家查德·費曼驚呼：歐拉恆等式不但是“數學最奇妙的公式”，也是現代物理學的定量之跟。
只是不知道為數學而痛苦的各位，是不是看到這個公式十分氣憤，畢竟很多我們中高考大學的公式都是受它影響～
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