我最近阅读、了解了一些数学专业相关的知识，真可谓大吃一惊，大开眼界。
通常，印象中，数学专业研究的数学，不过就是难一点嘛，是我们这些业余选手学的数学的加强版。
这就好比以前高中课本中的一些加*号的章节，或者历史课本里的小字部分，啥意思？
高考不考嘛。
似乎，他们学的，应该就是我们考试不考的内容，仅此而已。
但实际上，完全不是这样。
打个比方：
用软件的人，和开发软件的人，显然不是一类人。
用软件的可能是个会计，或者是炒股的散户，或者是网购剁手党，甚至是路边炒饭的大哥，他们来自各行各业，只不过因为业务需要而使用某些软件。
而工程师呢？他们面对的，其实是代码，是程序。
所以，用软件的和做软件的，不是一类人。
同理，大学里的“数学专业”和学习中用到数学的“理工农医专业”，所学的数学，也不是一回事。
举个例子：
什么是自然数？
凡人眼中的数学
定义 自然数就是集合：
N := {0, 1, 2, 3, 4, ······}
中的元素，我们将N称为自然数集。
通俗地说就是，从0开始，无休止地往后数(shǔ)所得到的所有数(shù)。
自然数不就是012345一直往后数嘛，这高大上的集合的概念都用上了，看起来应该没问题啊。
数学专业眼中的数学
但是，对于实分析来说，这个定义漏洞百出，好多问题悬而未决：
• 什么是“往后数(shǔ)”？
• 0, 1, 2, 3, 4是什么鬼？这些符号尚无定义。
• 3和0不相等吗？如何证明？
• 可以往后一直数(shǔ)下去吗？是否有尽头？如何证明？
相当有病吧。
对，这就是我刚才说的，数学专业和用到数学的其它专业，是两个不同的概念。
现在，我们展示如何解决前面提出的那几个问题。
首先，我们直观地感受到，自然数的主要规律是：
后一个数相比前一个数在“增长(zhǎng)”。
在C语言中，增长运算用++来表示，因此，我们首先说明，用n++表示n的“下一个数”。
公理1 0是一个自然数。
公理2 若n是自然数，则n++也是一个自然数。
所谓公理，是不用证明的，你大可自己创造一套公理系统，但应该不会比数学家的更好使。
有了这两条公理，我们就可以得到很多自然数：
0, 0++, (0++)++, ((0++)++)++, ······
但是，我们发现，这些符号过于冗长，因此，我们定义：
定义1
1是0++,
2是(0++)++，
3是((0++)++)++，等等。
你完全可以定义成罗马数字ⅠⅡⅢ，或者①②③，甚至火星文，你习惯就好，因为，这和怎么书写无关，123只是一些无关性质的符号而已。
于是，我们就可以证明：
命题1 3是自然数。
证：根据公理1，0是自然数，又根据公理2，0++是自然数，再用公理2，1++是自然数，再用公理2，2++是自然数，因此，3是自然数。
冷静，还没完。
这个序列可以一直往后增长，但会不会有尽头？
比如，0123401234·····，这也是一直往后增长喔。
因此，我们必须给出一个说法：
公理3 0不是任何自然数的后继，即对于每个自然数n，都有n++≠0.
有了这个公理，我们就可以证明：
命题2 3不等于0.
证：根据我们刚才已有的原理，3是0的增长的增长的增长，因此，根据公理2，3是一个自然数，又根据公理3，3≠0.
但是，还有问题。
我们数着数着不会回到0，那是否会回到2或者3或者其它的数呢？
因此，我们也要作出规定：
公理4 不同的自然数必有不同的后继。
简而言之就是，
如果m和n是自然数，且m≠n，那么，m++≠n++。
这套公理系统被称为Peano(1858-1932)公理，限于篇幅，我们不在此展开第五条公理，因为这些内容已足够说明：
我们在生活、学习、工作中用的数学，远不是数学真正的样子。
因此，大家在报考数学专业时，还是得慎重考虑：
这数学，是数学专业的数学。
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