說“黎曼猜想”之前，我們先來簡單說一說這一猜想的“主角”——質數

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如果一個大於1的自然數，除了1和它本身之外，再不能被其他自然數整除，這個數就叫質數（素數）。

教材上則會出示一張關於100以內質數的表格。為什麼是100以內的質數表格？因為質數的個數是無限的，而為什麼質數的個數是無限的？很多時候我們都會說因為自然數的個數是無限的。當然這樣的結論並不夠嚴謹。

其實早在古希臘時期，在歐幾里得的著作《幾何原本》裡，通過假設法證明了質數其實是有無窮多個的。

在他的證明中，歐幾里得先是假設質數的個數是有限的，則設質數中最大的那個質數為P，所以正整數中所有的質數就是，從2到P，即2，3，5，7，11……，P，除此之外再沒有其他質數。

在上面這一假設的前提下，開始證明如下：

讓從2到P的所有質數相乘，即2×3×5×7×11×……×P，再加上1，得到的結果我們設它為A，則A=2×3×5×7×11×……×P+1。

因為是在所有質數乘積的基礎上加1，所以A是一個大於1的正整數，所以A不是質數就是合數。

如果A是質數，那麼，就得到了一個比質數P還要大的質數，這與質數P是最大質數的假設矛盾。

如果A是合數，那麼，它一定能夠被某個質數整除，設它能被g整除。因為A被從2到P的任何一個質數除，餘數都是1，就是都不能整除，而質數g是能整除A的，所以質數g不在從2到P的全體質數之中。這說明質數g是一個比質數P更大的質數，這又與P是最大的質數的假設矛盾。

證明了質數的個數是無限的，人們也逐漸發現了質數的特殊性。例如上面這個表格中的除去1和質數外的其他數（合數），都可以通過將其前面的某幾個質數相乘來得到，舉個例子12=2×2×3，這個其實就是分解質因數，換句話說就是一個合數都可以用幾個質數的乘積來表示。

順著這樣的思考，人們也在開始思考質數自己的規律。比如，質數的出現到底有沒有一定的規律？

這個問題的研究中就出現了一些我們聽到的著名難題：

比如哥德巴赫猜想：是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？對於這個猜想我們不得不提到我國的數學家陳景潤證明的“一個充分大偶數必定可以寫成一個素數加上一個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱為 (1+2) ”

而在這些相關定理與猜想中，有一個猜想實質今日仍舊讓各個數學家為之瘋狂而又百思不得其解——黎曼猜想

1859年，32歲的德國數學家黎曼成為了柏林科學院的通訊院士。而同時，黎曼發表了一篇名為《論小於一個給定值的素數的個數》的論文（可以理解為：質數是如何分佈的）在論文中，黎曼闡述了自己對質數的一些研究。某個數以內的質數有多少個？這當中是否可以通過一定的計算來得出結果呢？規律又是什麼？

論文中，黎曼發現質數的規律與ζ函數有很密切的聯繫。

黎曼寫出了自己的一個猜想：方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上，即ζ函數的所有非平凡零點的實部都是1/2。同時黎曼也在論文中表示自己雖然經過了嘗試，但也未能對這個猜想進行嚴格的證明。

然而就是這個論文中的一個猜想，讓黎曼之後的諸多學者為其瘋狂。當四色定理，費馬大定理都已經解決，陳景潤證明了“1+2”，黎曼猜想依舊困擾著數學界。證明的思路也很清晰，既然黎曼的猜想是所有的解都在這條直線上，那麼一種方式是直接證明所有解都符合猜想，一種方式就是證明一個解不符合猜想。然後至今驗證的1500000000個解都符合黎曼猜想，但這其實對於黎曼猜想的證明沒有任何的意義，因為既沒有全部證明，又沒有找到反例。