说“黎曼猜想”之前，我们先来简单说一说这一猜想的“主角”——质数 。
如果一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，再不能被其他自然数整除，这个数就叫质数（素数）。
教材上则会出示一张关于100以内质数的表格。为什么是100以内的质数表格？因为质数的个数是无限的，而为什么质数的个数是无限的？很多时候我们都会说因为自然数的个数是无限的。当然这样的结论并不够严谨。
其实早在古希腊时期，在欧几里得的著作《几何原本》里，通过假设法证明了质数其实是有无穷多个的。
在他的证明中，欧几里得先是假设质数的个数是有限的，则设质数中最大的那个质数为P，所以正整数中所有的质数就是，从2到P，即2，3，5，7，11……，P，除此之外再没有其他质数。
在上面这一假设的前提下，开始证明如下：
让从2到P的所有质数相乘，即2×3×5×7×11×……×P，再加上1，得到的结果我们设它为A，则A=2×3×5×7×11×……×P+1。
因为是在所有质数乘积的基础上加1，所以A是一个大于1的正整数，所以A不是质数就是合数。
如果A是质数，那么，就得到了一个比质数P还要大的质数，这与质数P是最大质数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个质数整除，设它能被g整除。因为A被从2到P的任何一个质数除，余数都是1，就是都不能整除，而质数g是能整除A的，所以质数g不在从2到P的全体质数之中。这说明质数g是一个比质数P更大的质数，这又与P是最大的质数的假设矛盾。
证明了质数的个数是无限的，人们也逐渐发现了质数的特殊性。例如上面这个表格中的除去1和质数外的其他数（合数），都可以通过将其前面的某几个质数相乘来得到，举个例子12=2×2×3，这个其实就是分解质因数，换句话说就是一个合数都可以用几个质数的乘积来表示。
顺着这样的思考，人们也在开始思考质数自己的规律。比如，质数的出现到底有没有一定的规律？
这个问题的研究中就出现了一些我们听到的著名难题：
比如哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？对于这个猜想我们不得不提到我国的数学家陈景润证明的“一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1+2) ”
而在这些相关定理与猜想中，有一个猜想实质今日仍旧让各个数学家为之疯狂而又百思不得其解——黎曼猜想
1859年，32岁的德国数学家黎曼成为了柏林科学院的通讯院士。而同时，黎曼发表了一篇名为《论小于一个给定值的素数的个数》的论文（可以理解为：质数是如何分布的）在论文中，黎曼阐述了自己对质数的一些研究。某个数以内的质数有多少个？这当中是否可以通过一定的计算来得出结果呢？规律又是什么？
论文中，黎曼发现质数的规律与ζ函数有很密切的联系。
黎曼写出了自己的一个猜想：方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上，即ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。同时黎曼也在论文中表示自己虽然经过了尝试，但也未能对这个猜想进行严格的证明。
然而就是这个论文中的一个猜想，让黎曼之后的诸多学者为其疯狂。当四色定理，费马大定理都已经解决，陈景润证明了“1+2”，黎曼猜想依旧困扰着数学界。证明的思路也很清晰，既然黎曼的猜想是所有的解都在这条直线上，那么一种方式是直接证明所有解都符合猜想，一种方式就是证明一个解不符合猜想。然后至今验证的1500000000个解都符合黎曼猜想，但这其实对于黎曼猜想的证明没有任何的意义，因为既没有全部证明，又没有找到反例。
最近的一次对“黎曼猜想”的证明是迈克尔·阿蒂亚爵士在德国举办的2018年度海德堡获奖者论坛上发表的。但爵士的这个证明，知识推演了物理学中精细结构常数α的副产品，外界对于这次证明的态度是——不予评价。因为有些人觉得这样证明可能和没有证明没有什么两样。“黎曼猜想”这头慵懒的狮子依旧没有睁眼。
而说了这么多，为什么一代代的人都在研究“黎曼猜想”？
因为“黎曼猜想”的证明影响着多个领域、多个学科的发展与变革。
据统计，当今的数学文献中有上千条数学命题是以“黎曼猜想”为成立前提的。可想而知，如果“黎曼猜想”是正确的，那么这些结论都将成立！如果“黎曼猜想”是错误的，这些命题则都会变成无用的文字。一个猜想，影响了如此之多的结论。
而质数作为密码学中的重要研究对象，常被应用于秘钥的设计。即两个大质数相乘的结果很容易计算得出，但如果想对这个乘积进行分解质因式，则需要极大的计算时间。如果“黎曼猜想”被证实，对这个乘积的分解方法是否会有改变，秘钥的安全性又是否会受到极大的威胁？
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