近代物理發展的故事很大部份是由“場”擔任主角演出的，從法拉第（Michael Faraday）的磁力線與麥克斯韋（James Clerk Maxwell）的電磁場論拉開序幕，隨後登臺演出的是愛因斯坦以彎曲時空的幾何重新詮釋重力場，壓軸出場的是貫穿當代基本粒子理論的核心概念一規範場論（gaugefield）本文將從愛因斯坦的廣義相對論出發逐步勾勒出近代場論的中心思想——對稱性支配相互作用（symmetry dictates interaction）。

愛因斯坦的重力場

在狹義相對論之前，物理學家研究自然的方法是先操作實驗而後將觀測結果歸納成經驗公式，再從方程式中發掘自然隱藏的對稱性。例如電磁現象中的洛倫茲協變性。對稱性之於物理定律的發現無關緊要，僅是潛藏於方程式之中的美感。有最好，沒有的話也無損於對自然大設計的讚歎。然而透過愛因斯坦與閔可夫斯基（Hermann Minkowski）在狹相對論的工作中，物理學家首次發現研究自然的手法可以把上圖中的順序倒轉，如果能掌握自然設計中底層的對稱性，原則上可由此定義出基本方程式的形式，再根據方程式搜尋未發現的現象。

如同若事先知曉電磁學定律必須滿足洛倫茲協變性，在很大程度上可由此推導出麥克斯韋方程式一樣，當然難度是相當高的。

此倒轉研究手法知易行難，因基本上不可能事先知道大自然選取何種對稱性決定方程式的樣貌，理論學家只能先猜測大自然偏好何種對稱美，寫下對應的方程式，並且寄望實驗學家日後能找到預測的現象；其中，愛因斯坦猜測大自然的美觀能力被公認為第一把交椅，也是成功執行此倒轉研究手法的先驅。如前所述，狹義相對性原理只要求物理定律在慣性座標系之間的洛倫茲變換下維持不變。對此不甚滿意的愛因斯坦從1907年開始，試圖將該原理的適用對象從慣性系推廣至任意座標系，稱為廣義相對性原理。透過這樣的推廣作為出發點，希望能發現嶄新的物理定律，廣義協原理加上「物質的引力質量等於其慣性質量」的等效原理，最指引出一個全新的引力理論即廣義相對論。

從圖一與圖二可看出愛因斯坦創建廣義相對論的歷程完全不同於狹義相對論。在狹義相對論之前，電磁學的實驗事實早已擺在眼前，麥克斯韋也整理出相應的方程式，只待明眼人指出其中隱藏的時空對稱性；然而廣義相對論完全是由相信自然需滿足廣義協變原理出發，憑藉數學推導找出基本方程式，再指引實驗學家尋找對應的現象，此研究方法必對自然的對稱美具有卓越洞察力才能成功。

其實自從倒轉研究得到廣義相對論後，愛因斯坦對物理學的研究想法也與之前大相逕庭，他越來越仰賴數學邏輯的引導，日漸拋棄他從實際現象汲取經驗法則的習慣，希望能再次複製廣義相對論的成功經驗應用於統一場論的工作，他在晚年撰寫的《自傳筆記（Autobiographical notes）中說道：「一旦有了足夠強的數學條件，不用太多的經驗知識就足以建立起一項理論。」。

魏爾的規範場

其不論是洛倫茲協變性或是廣義協變性，均屬於一種時空對稱性（spacetime symmetry），要求物理規律在時空座標的變換下持不變，然而自然界尚有一種潛藏的更加抽象的對稱性，稱為內稟對稱性（internal symmetry），率先發現內稟對稱之美的是與愛因斯坦友好的德國數學家魏爾（Hermann Weyl）。

魏爾醉心於廣義相對論中方程式在任意座標下仍持不變的對稱美，致力於將麥克斯韋電磁學與愛因斯坦的廣義相對論熔為一爐，試圖建構一個整合電磁力與引力的統一場論，1918年他率先引入一種稱為「尺度不變性（eich invarianz）」的對稱性。

首先想像一個向量在平面上作平行運動，無論過程中該向量走哪條路徑，當其平移到同一終點時，總會與原向量指向同一個方向，然而若改為在曲面中平移向量，當走不同路徑抵達同一終點時，原向量往往會指向不同的方向，而這正是彎曲空間的特性。

圖上的黑色向量遵循兩條不同的曲線作平行移動到同一點，過程分別以藍色箭頭與紅色箭頭表示，一開始雖同為黑色向量，但到達終點後，紅藍兩箭頭指向卻不再一致，此為空間曲率不為零的表徵。

接著魏爾設想在彎曲空間中平移向量，不僅向量的方向在改變，假如連同其長度也隨之變化會發生何事？魏爾為了測試他的想法，描述彎曲時空的廣義相對論加進一個可任意變換長度的實數尺度因子，並要求這個「改寫版」的引力理論在任意尺度的變換下仍持不變，結果發現，電磁場強張量竟會從這個改寫版的引力理論中自然產生，如此不就實現了將電磁場與引力場結合成一個統一場的夢想了嗎？

然而愛因斯坦在看過魏爾的文章後，雖讚賞魏爾的數學巧思，卻也同時指出尺度不變性完全不符合物理現實的對稱性，因為若四維時空中的每一點都存在可任意伸縮長度的尺度因子，則每個位置的觀察者彼此間都將擁有不同長度的直尺，如此一來就沒有所謂的標準尺或標準鍾可言，也就無法進行標準的測量，舉例而言，在空間中兩個相鄰的銫原子，其振動頻率就可能不同，因而無法打造標準的銫原子鐘計時，但這是不可能發生在實世界的荒謬圖象。

崇拜愛因斯坦的魏爾被偶像潑冷水後，心灰意冷自嘲自己是「蘇黎世一隻孤獨的狼」，然而對自然界具有獨特審美觀的魏爾並沒有放棄他的理論，反而更加鑽研彎曲空間的幾何學，使他的理論具有更牢靠的數學基礎。就在量子力學誕生後不久，物理學家發現魏爾把尺度不變性用錯了地方，它不該用在廣義相對論，而應該用於描述量子力學中電子運動時所具有的相位不變性（phase invariance），只要把實數的尺度因子改成複數的相位因子即可，因為在量子理論中，波函數表示粒子出現的機率振幅，它可以攜帶一個隨時空位置不同而持續化的複數相位，而且電子在時空點中出現的機率與其波函數的絕對值的平方成正比，所以取絕對值平方後平方後復相位的影響無法看到。在量子力學中，利用波函數絕對值平方後的實數描述觀測結果，儘管復相位可能隨時隨地在變動，但是整體而言描述了電子運動的波函數具有相位不變性。

神奇的是，隨著電子的運動，雖然波函數的復相位會隨時空點而變，但相位不變性卻會要求在原先的量子方程式中添加一項稱為規範場（gauge field）的物理量以隨之變動，且規範場的變動恰可彌補電子波函數的改變對原有方程式造成的異動，從而使整個量子方程式保持相位不變性，而且此規範場顯現的物理性質恰好與電磁場相同！

換言之，要求量子理論具有相位不變性將自動產出電磁場，所以說魏爾提出的尺度不變性並非統一電磁學與廣義相對論，而是一種整合電磁學與量子力學的對稱性，如今此對稱性被更名規範對稱性（gauge symmetry），而理論中引進的規範場就是電磁場。又根據20世紀初，才華橫溢的德國女數學家諾特（Emmy Noether）的研究，數學上的連續對稱性一律對應到物理上的守值律，反之亦然。而規範對稱性恰好對應到電荷守恆定律，因此要求方程式具有規範對稱性其實也就自動滿足電荷守恆定律。

規範對稱之美

魏爾繼愛因斯坦之後成功猜測到自然喜好的對稱性，規範場論的迷人之處就在於僅僅要求電子運動的方程式滿足規範不變性，就會自然引入電磁場，同時滿足電荷守恆定律，不僅如此，規範對稱性還要求規範場（電磁場）對應的量子（光子）必須是無質量粒子，因此可傳遞相互作用至無窮遠處，這同時也解釋了電磁力為何是長程力。

在規範場論剛被提出時，物理學家看待規範對稱的觀點大多認此概念是自然計中藏的數學之美，卻無助於對真理的進一步探索，然而此觀點從1960年代開始逐漸翻轉，在楊振寧與米爾斯（Robert Mills）於1954年將電磁學中的規範對稱性推廣到基本粒子理論當中，而隨著實驗證據的積累，物理學家漸漸發現傳遞強弱力的量子場與電磁場一樣，均是某種規範場，甚至連廣義相對論的引力場也可用規範場的數學語言重新表述，使得規範場一躍而成現代物理學的大明星。對此楊振有句貼切的形容詞：「對稱性支配相互作用。」因為從電磁力、引力乃至於強弱力的力，通通始於自然設計底層要求的規範對之美，豈不妙哉。