柳賢教授：系統化數學教學理論與設計

柳賢

高雄師大數學系榮譽教授，美國印第安納大學數學教育哲學博士，香港中文大學訪問教授；2008 年榮獲保羅·厄多斯獎(The Paul Erdos Awards)，榮獲科學教育學會2007、2008 年度最佳論文獎及終身成就獎；青少年數學國際城市邀請賽創辦人。

數學系統化 教學理論與設計

2019年9月26日下午，來自高雄師範大學的柳賢教授在杭州“超腦麥斯”拓展課程年會上，為大家分享了關於“數學學科教學”的精彩內容。

該講座主要是圍繞“如何打造系統化數學教學”展開。共分為六個板塊：

一、前言

二、系統化教學設計理念

三、系統化教學活動設計原則

四、系統化數學教學模式

五、系統化數學教學示例

六、結語

柳賢教授通過論述數學教學理論、教學實例及操作，帶領在場的老師對如何系統化地學習數學理論和設計數學教學有了全新的認識。

壹

“傳統”VS“系統化”

在我們傳統的教學觀念中，數學的學習有三個關鍵：概念（concept）、技能（skill）、解題的能力（ability），而概括化的知識就是學習的核心內容。

比如教給學生一個公式，就僅僅讓學生記住公式，因為這樣就可以去解題，可以在考試中得分。但是技能和題解能力的培養，在當代越來越受到重視，也越來越成為評價數學學習能力高低的指標。這就需要很多經驗的累積，即培養的過程中程序性知識、問題解決及論證等相關的經驗。

系統化教學設計最早是由美國教育心理學家加涅提出的，他在借鑑、整合行為主義和認知主義心理學理論的基礎上提出了教學設計理論。

系統化的數學活動，就是讓學生先了解與教學單元相關的知識點，並透過設計活潑有趣的活動讓學生動手操作以激發對數學的興趣，引起學習的動機。這也是一種由單向教學向共建教學的轉變。使教學設計關注系統的“整體”、“聯繫”、“動態”等基本觀點。

教師通過引導學習者進行思考並相互討論，使學生在好奇心的驅使下主動探索問題。這樣的數學教學是一套符合STEAM理念，融合數學核心素養、強調動手做數學、著重數學創客教學，在當代不可或缺的一種教學模式。

貳

系統化數學教學的設計與實施

(一)設計理念

1.系統化教學要激發學生的內在學習動機

所謂“動機”，是指引發並維持活動的傾向。它涉及這樣三個方面的問題：

第一，引發行為的起因是什麼？

第二，使行為指向某一目的的原因是什麼？

第三，維持這一行為的原因是什麼？

學習動機是指激勵並維持學生朝向某一目的的學習行為的動力傾向。內在學習動機是指學習者對學習本身的興趣所引起的動機。內在動機是使學習者長久維持強烈的學習慾望的必要條件。

2.系統化教學活動是學生主動營造數學感的過程

顧名思義，“數學感”應該是對數學的感覺，學數學、用數學的感覺，更可理解為對數學的敏感性。

數學感可以表現在，一個孩子在老師即使沒有講透知識點的情況下，也能本能地感受到與所學過的知識點之間的本質聯繫。而缺乏數學感的孩子，即使死記硬背上了數學公式，也無法活學活用，例如在小數加減法時，經常會用整數的末尾對齊來計算。

所以數學感的營造可以幫助學習者更好的理解知識點，適應學習的過程，為後續的學習做好鋪墊。

3.系統化教學活動提供師生、生生共建數學的機會

從建構主義的角度來看，課堂講究的是“生成性”，即知識的動態性和相對性，教學不再是傳遞客觀而確定的現成知識，而是激發出學生原有的相關知識經驗，促進知識經驗的“生長”。

在進行系統化的數學教學設計時，要以學生的學為出發點，圍繞學習者學習數學的需要和數學學習過程中遇到的學習問題而展開。

柳賢教師還解答了“為何生生共建比師生共建更有效”的問題：“當學生有困擾、疑問的時候，經常是不敢問老師的，但是和同學交流的距離感就會小的多。因為學生和老師有橫溝，而學生和學生沒有，所以倡導小老師去進行生生共建。

”在課堂上經常會出現的一種現象是，老師問：“懂不懂？”學生回答：“懂”。老師接著問：”“有沒有問題？”學生回答：“沒有。”

但是，事實真的是這樣嗎？在倡導生生共建的學習中，還可以合理設置對“小老師”的獎勵，會更大地激勵他去做好一位小老師。

(二)系統化教學活動設計原則

1.引發學生思考並滿足動機需求原則

有句話是：“你可以把馬兒牽到河邊，但你不能逼它喝水。”

培養學生的學習動機，讓學生真正的好學，樂學，特別是在學習過程中，滿足學生的好奇心和好勝心，才能引發強烈的內在動機，形成積極主動地正向學習態度。

設計生動的導入喚起學生的學習熱情；學習過程中的反饋要及時；適當獎勵；合理設置合作與競爭環節等這些都可以有效的激發和培養學習動機。

2.營造數學感原則

當教師組織與引導學習者經歷“數學化”時，學習者從現實的具體情境出發，經過歸納、抽象和概括等數學思維活動，能夠尋找數學模型得出數學結論的這一過程正培育了學習者的數學感。

數學感中包含的數學思維、數學眼光、數學表達等都會大大提高數學學習的效率和學校效果。

3.共建數學原則

建構主義學習理論對數學學習的指導意義有：突出學習者的主體作用；重視外部環境的制約和影響；學習是發展，是改變觀念。

柳賢教授提出以搭房子的形式完成學習。即注重過程中交流、合作，注重知識“生成性”，注重無時無刻不在變化發展的學生的主體性。

4.單元設計滲透原則

每一章節的整體設計都要指向單元。突出整體性、相關性、階梯性和綜合性。培養學生綜合運用語言的能力。

叄

系統化數學教學模式

“模式”是我們特別看重的一個內容，數學說到底是一門有關模式的科學。

所謂數學化、結構化、膠囊化等等，簡單講，就是以數學的思維方式來認識、思考並解決問題。

數學核心素養提出了數學的眼光、數學的思維和數學的表達，其中很重要的就是關於識別、思考、表達模式的事情。

1. 講述模式的三個形態：

①講解：

老師臺上講述為主，有時搭配板書使用，學生臺下安靜聽講，偶做筆記。講述模式的進行可長可短，沒有時間限制。

②問答：

老師提問，請學生回答，接著響應學生的答案然後再持續進行下去，同樣地，此模式沒有時間限制。

③討論：

此教學模式乃以學生的相互對談為主，老師則視學習需要方做發言。

綜上，課堂可以有雙主角或者單主角，視課程內容和實際情況而定。

2. 展示及操作模式的三個形態：

柳賢老師告訴我們，教育學者研究發現的是，100個人參加研習，沒有人動手做，只是聽。回去之後，100個人當中只有三個人會做。

如果你在現場操作了，回去的效率能達到46％，如果回去的三天內，重複了操作，可以維持67％的效率。

這就啟示我們，一定要動手去做。從實驗中得出的一般的特性去歸納。

① 演示：

教師呈現某實體或某模式，學生在旁專注地觀看。

② 實驗操作：

在老師指導下，由學生操作具體物品或設備，主要讓學生經歷歸納、驗證、觀察以及練習心理運動技能。

③ 獨立研究：以學生的個人程度為依據，安排進一步的學習活動（包含操作活動，數據查詢或是解題活動）。

以上兩種模式，六種教學方法啟示教師，在數學教學過程中教師需要根據教學內容和學生的實際情況，不斷調整和改進課堂教與學的形式，有機融合各種學習方式，豐富學生的學習經歷。

肆

系統化數學教學示例

1.數形的例子

例①：用扣條（或吸管）依次排列正三角形。

說說看，拼出一個三角形需要三根，那麼拼出兩個三角形需要幾根？拼出三個三角形，需要幾根？依次比上一次多用了幾根？拼出n個三角形需要幾根？用一個通式表示：3+2（n-1）。引導學生化簡得到2n+1。

例②:請用扣條（或吸管）依序排出依次相連的正方形。

每次排出的正方形都比上一次多一個。

那麼拼一個正方形用了幾根扣條？

拼出兩個正方形用了幾根扣條？

比上一次多用了幾根？

拼出三個正方形用了幾根扣條？

比上一次多用了幾根?...

依照上述方式要排出n個正方形，需要幾根扣條？

用一個通式表示4+3（n-1）。化簡得到3n+1。

這時，學生會覺得他們掌握了正五邊形、正六邊形排列根數的計算方式……學生在過程中出現認知衝突，需要調試，之後就會出現新的認識。

例③：正多邊形的中心角與內角

利用兩面鏡觀察正多邊形的邊數與中心角之間的關係並歸納成規則。

過程：將大小相同的兩面長方形鏡子，用透明膠帶粘成可以開合自如的兩面鏡，在白紙上畫出一條線，將兩面鏡張開放在直線上，調整兩面鏡的張開角度，使鏡中呈現正多邊形；使用量角器測量兩面鏡所張開的角度（中心角的度數）。

正多邊形中心角實驗操作活動。

步驟一：

將大小相同的兩面長方形鏡子，用透明膠帶粘成可以開合自如的兩面鏡。

步驟二：

在白紙上畫出一條線，將兩面鏡張開放在直線上，調整兩面鏡的張開角度，使鏡中呈現正三角形。拿筆沿著兩面鏡的內側在紙上畫線。使用量角器測量兩面鏡所張開的角度（中心角的度數），並填入表中。

步驟三：

多次調整角度，用筆沿著鏡面畫出線段，使其呈現正多邊形。

記錄表格，三角形中心角是120°，正方形中心角是90°，正五邊形中心角是72°，正六邊形60°……得出結論，正n多邊形的中心角度數等於360度除以正n多邊形的邊數。內角度數等於180°減去中心角度數。得出結論，n正多邊形的內角等於180°-360°÷n。

上述的兩個問題，都是學習自己通過操作，討論，得出規律。老師巡查發現有錯誤時，可以引導其再次測量，得出結果。

例④：數學創意教學示例：

認識三角形並利用4個相同的錐臺積木，拼成三角錐。指導現場教師動手操作，目的是讓學生認識幾何圖形的變式。現場老師熱情高漲地投入動手操作之中，在相互之間的交流討論中，很快就有老師完成了製作。

這個操作中的如何去分解、還原、組合為教師進行教材設計提供了思路。

例⑤：正多邊形內部線段交點之探究

正方形ABCD兩邊BC和CD的中點分別為E,F；若AF與BE交於G,求∠AGE的度數。

如果將正方形換成正五邊形、正六邊形、 正七邊形……正n邊形，請討論這些正多邊形兩鄰邊的中線交角度數分別為何？

結論：由中點到幾等分點，得到的結果一樣

總結這5個例子：

一個簡單的問題，在系統化的教學當中，經過操作，互動，延伸變成小組的共同發現，就是學習的趣味性所在。

適時適當適度地組織開展類似學習探究活動，不僅有助於學生深化對基礎知識的理解，還可以豐富小學生的活動經驗，優化探究數學問題的思維品質。

伍

總結

講座的最後，柳賢教授發表了對系統化數學教學的審思和展望。

我們數學中的教與學的活動由教師、學生及課程所組成，作為教師，應該根據不同的教材內容和不同的學習對象採用與其相匹配的教學策略。

系統化的教學方式能夠啟發學習者的創造力，教學者可以引導學生進行思考並相互討論，使學生能夠在好奇心的驅使下主動探索問題，進而獲得程序性知識，問題解決及論證等相關經驗，培養主動學習的習慣和創造能力，使學生在體驗數學發現之樂趣和感受數學思維理性之美的過程中，不斷增強勇於探索又善於探索，敢於創新又善於創新的自信，而在最終創造出屬於人類更美好的未來。