編者按：孫澤瀛先生（1911-1981）是我國著名的數學家和數學教育家。1932 年畢業於浙江大學，後赴日本帝國大學研究生院深適，主修微分幾何。1937 年回國，先後在山東大學、浙江大學、四川大學、重慶大學任教。1947 年由著名數學家陳省身的關心，他在美國印第安那大學獲得博士學位。1949 年新中國誕生，孫澤瀛先生又回到祖國。1951 年受命籌建華東師範大學數學系，並擔任系主任。直到 1958 年，去江西大學主持建立了江西大學數學系，並在那裡工作到生命的最後一息。在華東師大數學系擔任系主任期間，孫澤瀛先生不但為數學系建立了最早的課程體系，還特別關注中小學的數學教育，創辦了《數學教學》，並擔任《數學教學》雜誌的第一任主編。本文是孫澤瀛先生在《數學教學》創刊號（1955 年第 1 期）上為中學教師撰寫的一篇文章，2005年《數學教學》第7期又重刊了此文章，今天我們重讀六十多年前的這篇文章，仍能深切感受到老一輩數學家、教育家對基礎教育的細緻入微的關愛。
作者 | 孫澤瀛
來源 | 《數學教學》2005年第7期，1955年創刊號
中學數學教學的主要目的是給學生以數學的基礎知識，並且培養他們應用這種知識來解決各種實際問題所必需的技能。為了這項目的，就得訓練學生的獨立工作能力。說得更具體一些，就是訓練他們如何獨立地進行思考去解決問題。要想做好這件工作，要依靠教師如何去幫助學生。幫助太多，任何問題都給學生解決了，那麼學生就會閒得不去進行思考，教學的目的就不能達到；幫助太少，學生就會感到無從著手，因此就望而生畏，退縮不前了。怎樣才算是恰到好處的幫助呢？這就是本文所要討論的問題。
教師在把數學的基礎知識傳授給學生後，就必須幫助他們牢固地掌握這些知識，靈活地運用這些知識。要達到這項目的，教師的幫助要富於啟發性。怎樣才是啟發性的幫助呢？這就要教師設身處地站在學生的立場，瞭解學生的情況，懂得他們正在進行的思維過程，逐步地誘導而不是越俎代庖地替他們進行思維。這正像教小孩子初學走路一樣要帶著走，不可以抱著走，才可以培養出小孩子的走路本領。因此，所謂啟發性的幫助，簡單說來，就是
結合學生的腦力勞動進行有含蓄的，有目標的幫助。啟發性的幫助主要是靠提問方式來進行，因此，要達到有含蓄的、有目標的幫助，就得在提問中表現出這兩種精神。那麼，所謂有含蓄的、有目標的提問又是怎樣的呢？
含蓄的提問指的是提問內容的一般性與提問詞句的簡明性。例如問“未知的東西是什麼？”“條件是什麼？”“你能不能找出一個與本問題有關的問題？”等等，這些提問的詞句簡單明瞭；同時，這些提問的內容非常廣泛概括，在解決任何問題時都可以應用到。與這相反的，例如問“你能不能應用勾股定理？”語句雖然也簡明，可是它僅能應用於某種特殊問題，這就失去了一般性而不成為有含蓄的提問了。為了說明含蓄性的提問的好處，那麼就讓我們來看看沒有含蓄性的提問有什麼壞處。
仍舊拿“你能不能應用勾股定理？”這一提問作為例子吧！當教師這樣地提問時，他的用意是好的，亟欲替學生解決問題。可是這一幫助是太多了，有以下幾點的壞處：
（1）如果一個學生已快接近於問題的解決了，他當然明白這一提問所包含的啟示意義可是他已不需要這項幫助了。反之，一個學生離開問題的解決還遠得很的時候，他就很可能完全不明白這一提問的作用。因此這一提問並不能幫助那些急需幫助的學生。
（2）如果這一提問的啟示意義是被瞭解了，那麼，它把所有的秘密都顯露出來，留給學生要做的事就太少了。
（3）這一提問的啟示意義太狹隘，就算學生能利用它來解決目前的問題，可是對於解決以後的問題，他是毫無所得，這樣的提問失掉了訓練的作用。
（4）就算學生懂得這提問的作用，可是他很難體會到教師憑什麼會想到它的。學生本人怎樣才能夠獨立地想到它的。看起來這提問太不自然了，就好象變魔術似的突然就提出，這樣進行當然也就失掉訓練的作用。
下面讓我們談到有目標的提問，什麼目標？那就是達到使學生能獨立地解決問題的目標。要達到這項目標，首先就得對解決問題的步驟進行分析，看看必須具備那些步驟才可以訓練學生獨立地解決問題的能力。一般講來，解決問題有四個主要的步驟，那就是“瞭解”、“設計”、“實施”、“討論”，分別說明如下:
（一）所謂“瞭解’，那就是徹底地明瞭問題的涵義，不懂得問題的意義就進行解答，這是最愚蠢的事。不理會問題的要求就進行工作，這是最魯莽的事。像這樣的事，是經常地發現的；因此，教師就有責任糾正這些行動，主要的方式是通過提問的方式來糾正。
首先，問題中的詞句，學生要搞清楚。然後要能指出問題中的主要部分：什麼是未知的或所求的？什麼是已知的或假設的？什麼是條件？學生必須很清楚地掌握這些問題中的主要部分。如果需要作圖的話，他就得畫一個圖，在圖上指明哪些是未知的，哪些是已知的。在必要時，還得用記號分別地註明這些部分。除去上面三種提問能幫助學生掌握問題中的主要部分外，還有一種提問有時也很起作用，那就是：條件是否充分？
為了具體地說明上述的提問如何進行，讓我們舉出一個簡單的問題為例：已知長方體的長度、寬度與高度，試求長方體對角線的長。
為了使得學生徹底明瞭這問題的意義，教師的提問與學生的回答應如下面所進行：
什麼是未知的？
長方體對角線的長。
什麼是已知的？
長方體的長度、寬度與高度。
利用適當的記號來標明這些已知量與未知量。例如說用 、、 分別表示長方體的長、寬、高；用 表示未知量；那麼 與 、、 間的條件如何？
一個長方體，它的長、寬、高分別為 、、，這時它的對角線之長為 。這個問題是不是可解的？那也就是說：來決定未知量，我們的條件是否充分？
是充分的。因為曉得了 、、，就可決定這個長方體；長方體決定了，它的對角線也就決定了。
（二）設計或稱為分析，是解決一個問題的中心工作，問題之能否解決，就看設計是否成功。這一步工作有時是煩難的，可是思維的訓練也主要地就在這一步。我們說對於一個問題的解決無從著手，就是指找不到一個解決的計劃，學生最需要幫助的也就是這一步工作。要想有效地幫助學生培養設計的能力，教師就得設身處地想「想，假使他本人是一個學生，憑他的經驗，如何克服問題的難點而達到解決的願望。
當然，如果基礎知識欠缺的話，我們就得不出解決問題的好方案，如果基礎知識完全沒有的話，那麼就根本無從解決問題。解決問題的好方案是根據以往的經驗以及所獲得的知識而得到的。但是僅憑記憶羅列出許多以往的經驗與知識而不加以適當地選擇，這等於擺一個雜貨攤仍無補於問題的解決。造房子得要材料，但是有了材料而不選擇那些能配合需要的，房子仍舊造不起來的。解決數學問題的材料是我們以前所獲得的數學知識，例如已經證明過的定理，已經作過的練習題等等。為了要學生知道選擇哪迪需要的材料，教師就可以這樣地進行啟發性的提問：你們能不能找岀一個與本問題有關的問題。
感到困難的是在一般情況下有關的問題可有許多，那麼，怎樣在許多有關的問題中選出一個或幾個對於本問題的解決確實是起作用的。因此，在這種情況下，教師更應作如次的啟發：你們已經知道什麼是要求的對象，現在你們能不能想岀一個熟悉的問題含有同樣或相似的要求對象？
如果這時能找出一個已熟悉的問題和現在的問題密切有關，那是再好沒有了。現在就要向學生提示是否能利用這相關的問題，因此我們還要問：這就是你們所熟悉而且與本問題有關的問題，你們能利用它嗎？
如果不幸，上面的提問還不能啟發學生解決問題。這情況的發生或許由於的確找不出一個直接有關的問題，教師得更進一步啟發。這時他可以提問：你們能找岀一個比現在的問題更一般化的問題嗎？或者更特殊化的問題嗎？如果去掉一部分的已知條件，所求的對象是如何變動的？
經過上面的提問，原來的問題已經轉換了面貌，這等於說轉換成為新的問題了。對於這新問題也許是學生以前所知道的，當然用不著另外解決；否則，還得要學生解決這新問題。因此，這時要提問：你們既然無法解決原來的問題，現在有法解決這有關的新問題嗎？
遇到一種較繁難的問題，有時得經過好幾次的轉換與變形。為了使得學生不要因此而轉移了目標，所以還得趁機拉回到本題，這時我們可以問：你們利用了所有的已知對象嗎？利用了所有的條件嗎？
讓我們仍舊用前面那個簡單的問題為例來說明！當學生徹底瞭解問題之後，如果教師注意到他們對問題的解決無從著手，這時就要進行啟發性的幫助了。下面用……表示對提問答不出時學生的沉默。
“你們能找岀一個與此有關的問題嗎？”
……
“你們已經知道什麼是要求的對象，現在你們能不能想岀一個熟悉的問題含有同樣的要求對象呢？”
……
“好吧，什麼是要求的對象呢？”
“長方體的對角線。”
“你們曉得一個問題含有同樣的要求對象嗎？”
“不曉得，我們還沒有學過任何關於長方體對角線的問題。”
“你們曉得一個問題含有相似的要求對象嗎？”
“你們總知道對角線是一個線段，難道你們就沒有學過未知量是一個線段的問題嗎？”
……
“啊！曉得的，我們曾經解決過那一類的問題，例如求直角三角形的一條邊。”
“好！這就是你們所熟悉而且與本問題有關的問題，你們能利用它嗎？”
……
“你們已經找到一個與本問題有關的問題，你們不想法利用它嗎？引進補助線試試看，可不可以利用？”
……
“大家注意，你們所知道的有關問題是與三角形有關的，現在在你們的圖形裡有什麼三角形嗎？”
當然我們希望這一提示足夠幫助學生在他們的圖上找出一個直角三角形岀來，使要求的對角線剛巧是直角三角形的弦。可是教師還要防到最壞的情況，那就是學生在上述的啟發中，還沒有想到解決問題的方案。這時他得進行更顯明的啟發。“現在要引一條補助線使得你們的圖裡面含有一個直角三角形，你們會引嗎？”
“你們所要求的是長方體的對角線，現在在圖裡面得岀的直角三角形和所求的對角線有什麼聯繫呢？”
根據學生的實際情況，這樣或多或少的啟發幫助了學生想出一個解決問題的方案。他們曉得所引進的補助圖形就是那個直角三角形，直角三角形的弦就是所求的長方體的對角線（圖 1），如果學生從這裡就曉得全部問題的解決，那就是說：他們的設計過程是完成了。以後就要進行實施階段了。否則，教師還要花點時間去啟發。
“你們已經曉得：要求長方體的對角線，就得求直角三角形的弦，這條弦怎樣求呢？”
“利用勾股定理來計算它。”
“不錯，如果曉得了兩條直角邊就可以求岀弦，但是現在的直角邊是什麼呢？”
“一條直角邊是已知的，那就是 。另一條直角邊據我想，是可以求出來的，啊！對了，另一條直角邊是另一直角三角形的弦。”
“好極了！你們現在完成了設計步驟。”
（三）實施是把上面設計過程的步驟細緻地寫出來，這一步工作要比設計工作容易得多，在進行中要細心。如果學生把設計工作完全掌握了，這時他們可以不需要教師幫助，不過還要防到學生把他們所設計的思維過程忘記了。這種情況一般發現在學生的設計沒有經過自己的獨立工作而是由教師片面地把計劃定出了。因此在設計過程中，教師的幫助一定要有分寸，否則就會剝奪了學生的獨立思考，而發生上述忘記設計步驟的情況。為了使學生確實相信他們所設計的思路不錯，教師還得要求學生複查他所實施的每一步驟。這時他可以提問：你們能夠看出這一步是正確的嗎？”或者當教師對學生的瞭解程度尚有疑慮時，他更可以加 重地提出：你們能證明這一步是正確的嗎？
讓我們仍舊繼續前面的例吧！學生在設計過程中得出瞭解決問題的方案，他們看岀一個直角三角形，它的弦就是所求的未知量 它的一條直角邊就是已知的高 ，另一條直角邊是底面的對角線。為了方便起見，學生會想到用字母 來表示另一條的直角邊，那就是分別以 、 為邊的底面的對角線。從這裡他們看岀原問題轉移到一個新問題了，在這新問題裡的未知量是 。最後，從一個直角三角形考慮到另一直角三角形，他們得到 ，。因此，將作為補助用的未知量 約去後，就有 ，。
在學生這一系列的進行中，教師不必去打攪他們，但有時得要求他們複查每一步驟是否正確。例如問：“你們能確實地看出來以 、、 為邊的三角形是一個直角三角形嗎？”
對於這一提問，學生可能很老實地回答說“是的”。如果教師發覺學生還有些猶豫時，他得追問：“你們能證明這個三角形是直角三角形嗎？”當然在進行最後一個提問時，學生應該先有一些立體幾何的知識。
（四）討論階段是解題的最後一個步驟，它是為了鞏固已得的成果，為了發展學生的聯繫能力，當學生完成了設計，制訂了方案，寫出了步驟，得岀瞭解答，似乎以下就沒有事情可做了。但是一個好的教師還得使學生鞏固他們所獲得的成果，利用他們所獲得的成果，發展他們所獲得成果。這些要求固然可以通過作業來完成，但是在解題之後，即時地由教師啟發，來進行推論，更覺親切，而且容易收到效果。這時教師可以進行如此的提問：在結果裡你們能看出什麼？你們能不能利用其他的方法得岀這同樣的結果呢？你們能利用所得的結果嗎？你們能利用現在所採取的解題方法來解決其他的問題嗎？
仍舊採用前面一貫的例，學生可以得出了一個關於長方體的對角線的公式
“從這個公式裡，你們能看到什麼？假如 、、 兩兩交換，這公式改變嗎？假如 、、 內有一個等於 ，這公式變成了什麼？假如長方體的長、寬、高以同樣的比例增加，它的對角線的長怎樣變呢？
“你們能不能利用其他的方法得出這同樣的結果呢？如果從原圖形裡不用前面的辦法找出直角三角形而找出另外的圖形作為補助圖形，去求長方體的對角線之長，你們看看是可能的嗎？”
通過這樣的啟發，學生也許能看岀在原圖形裡包含一個矩形，那條要求的對角線剛好是這矩形的對角線，因此問題就轉變為求矩形對角線的問題了。這就讓學生曉得除前面所說的方法外，還有另外的方法可以解決問題。這樣豐富了學生的觀察能力與聯繫能力。
“你們能利用所得的結果嗎？你們能利用現在所採取的解題方法來解決其他的問題嗎？”
例如有一個平頂的建築物，頂是一個矩形，長為 公尺，寬為 公尺。在中心立一根旗杆長 公尺，為了支持這根旗杆，在頂點下 公尺的地方用四條等長的鐵纜分別系在屋頂的四角，問每條鐵纜長几何？學生可以利用前題的結果，設想有一個長方體， 公尺長， 公尺寬， 公尺高；那麼以 ，， 代進所得的公式裡，就求得纜長 公尺。或者還可以利用前題的方法，設想在屋頂上有一個豎立的直角三角形，纜長剛巧是這個直角三角形的弦。
這種提問既可以使學生鞏固他們所學得的方法與結果，而且還可以使數學問題和實際應用結合起來，通過這樣的訓練去培養他們聯繫實際的能力。
以上已經把解決問題的四個主要步驟以及在進行的過程中如何啟發作了一個概括的敘述。以下再舉兩個例子來說明它。
例 1在已知三角形內作一個正方形，它有兩個頂點在三角形的底邊上，其他兩個頂點分別在三角形的另外兩條邊上。
“什麼是未知的（或所求的）?”
“一個正方形”。
“什麼是已知的？”
“一個已知的三角形，此外沒有別的了”。
“條件是什麼？”
“正方形的四個頂點必須在三角形的三邊上，兩個頂點在底邊上，另外兩個頂點分別在其他兩邊上。”
“你們想想，要作一個正方形滿足這些條件，有沒有可能？”
“我想是可能的，但不敢確定。”
“這樣，這題目對於你們不是馬上就可以解決的了。如果你們不能解決這個問題，試試看先解決有關的問題。你們能作一正方形滿足一部分的條件嗎？”
“什麼叫一部分的條件？”
“我們的條件是關於正方形的頂點的。正方形有幾個頂點？”
“四個”。
“所謂部分的條件指的是少於四個頂點，例如說三個或兩個頂點所滿足的條件。在原條件內去掉一部分條件，也就是說條件放寬一點，這樣是不是容易作圖？”“這樣是容易一些，我們可以作一個正方形，它的兩個頂點在三角形的邊上或者三個頂點在三角形的邊上。”
“把圖作出來！”學生作圖 2。
“你們這個圖是在條件放寬的情況下作岀來的。所求的圖形是不是確定了呢？”
“如果只有三個頂點在三角形的邊上，這個正方形不能確定。”
“好！再作一個圖來說明你們的意思”學生作圖 3。
“你們說過在條件放寬的情況下，正方形不能確定，那麼它是怎樣地變化呢？”
……
“正方形的三個頂點在三角形的邊上，第四頂點本來應該照原來鋼件所規定的也在三角形的邊上；而此時並不在邊上，照你們所講的，這正方形不能確定，也就是說它可以變化，第四頂點當然也跟著變化，這第四個頂點怎樣地變化呢？”
……
“你們多畫幾個正方形試試看，這些正方形有三個頂點在三角形的邊上，正好象你們上面所畫的一樣。你們想想看這時第四頂點所成的軌跡應當怎樣？”
經過這一連串的啟發，使得學生非常接近於問題的解決了。如果他們能看出這軌跡是一條直線，那麼問題算是完全解決了，解題的設計過程也就完成了。
例 2 有不在同一平面內的兩個角，它們的對應夾邊分別平行而且同向，證明這兩個角相等。
“假設是什麼？”
“不在同一平面內的兩個角，它們的對應邊互相平行而且同向。”
“結論是什麼？”
“兩個角相等。”
“畫一個圖，引進適當的符號。”
學生作圖 4。
“現在利用你們所引進的符號再說一遍：假設是什麼？”
“、、 和 、、 不在同一平面內。，，而且 和 ， 和 是同向的。”“結論呢？”
“你們想想看，以前學過的定理中有沒有同樣結論的呢？”
“如兩個三角形重合，它們的對應角相等。”
“很好！你們曉得了一個與本問題有關的定理，你們能利用它嗎？”
“還想不到怎樣去利用。”
“你們不會畫上補助線使它可以被利用嗎？”
……
“你們剛才所提到的定理是關於兩個重合的三角形，在你們的圖上有三角形嗎？”
“沒有，但是我們可以引岀三角形，連接 、 和 、，就得岀兩個三角形， 與 。”
“好極了，但是引岀這些三角形是為了什麼？”
“為了證明結論，。”
“好！你們要證明這兩個角相等，需要哪一類的三角形？”
“重合的三角形。是的，我們可以選擇 、 和 、 使得 ，（如圖 5）。”
“很好！現在你們想要證明什麼？”
“要證明 。如果這件事能夠證明，那麼，結論 馬上就得岀了。”
“對！你們現在有了新的目標，這目標是指著新的結論。想想看，你們學過的定理中有沒有同樣的結論呢？”
“當兩個三角形的三邊對應相等時，它們就重合。”
“很好，你們現在有了一個熟悉的定理對於證明目前的結論是有關的，你們能利用它嗎？”
“如果曉得了 就可以利用它。”
“對！現在你們想做什麼？”
“要證明 。”
“想想看，有沒有什麼熟悉的定理含有相同結論的呢？”
“平行四邊形的對邊彼此相等，但是看不岀來怎樣去利用它。”
“你們不會引進一些補助線使得它可以被利用嗎？”
……
“你們看，在圖形裡如果 和 沒有聯繫，怎樣能證明 呢？”
“你們利用了假設沒有？假設是什麼？”
“我們假定 ， 是的，直到現在我們還沒有利用這個假設。”
“你們利用到全部的假設沒有？你們說 ，，。難道這些線段只有這點關係嗎？”
“沒有；從作圖， 還等於 。它們之間是彼此平行而且相等， 和 之間也是一樣的。”
“兩條等長的平行線——這是一個很有趣的圖形，你們知道它嗎？”
“知道的，這是平行四邊形，讓我們連接 與 ， 與 ， 與 。”
“這主意倒不壞，在你們的圖形裡這時有幾個平行四邊形？”
“有兩個是立刻可證明為平行四邊形的，此外還有一個好象是平行四邊形，我們希望能夠證明它，如果能辦到的話，這時 和 是這平行四邊形的對邊，當然相等。”
經過教師的啟發使得學生一步一步地進行思考，一直到他們能想到 是平行四邊形為止，解決這問題的設計階段算是完成了。以下的實施階段是比較容易完成的，只要把設計過程詳細寫出來就成了。從上例的一段對話，我們不難看出教師是如何地幫助學生進行思維活動，說得更具體一點，是如何地幫，助學生分析問題。學生經過這樣的訓練，就會培養他們的解題能力，這正是數學教學所要達到的目的。
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