法國
19世紀初，法國是唯一的數學大國，集中了當時世界上最具影響力的、以獨創性著稱的數學家，而且長期以來，法國的數學中心一直在巴黎。經過一個多世紀幾代數學家的共同努力，法國保持著國際數學領先的地位。
法國法郎錢幣 1986年版 500法郎 (數學家--帕斯卡）
第一代是以拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德爾為首的分析學派，他們都是用分析的工具解決力學、天文學、物理學等的問題，同時相應發展了數學分析的方法，尤其是解各種方程。同時，蒙日發展了綜合幾何學與解析幾何學，奠定了19世紀上半葉幾何學大發展的基礎。
第二代從傅里葉、泊松到斯拉姆及劉維爾，最突出的人物是柯西，他們發展了強有力的分析工具用來解決各種數學物理學問題，特別是傅里葉分析及複變函數論，與之對立的是龐塞萊和沙爾對射影幾何學的奠基性工作，另外，伽羅瓦和柯西在置換群及方程論方面的工作對後來的發展影響很大。
第三代數學家的代表人物是埃爾米特、若爾當及達爾布，他們的研究更為純粹、更為專門、更有繼承性。
數學家-昂利. 龐加萊
第四代又恢復了昔日的光榮，最突出的是龐加萊，他對整個數學部門都做出了自己的貢獻，同時為後人開拓許多新領域，特別是組合拓撲學及微分方程定性論。同時代的畢卡、班勒衛、阿達馬也都是有國際聲譽的大數學家。他們在19世紀末20世紀初恢復了法國數學的領袖地位。20世紀初以保萊爾、拜爾、勒貝格為首的一批數學家開創了函數論的方向，同時也使數學侷限在函數論的狹窄領域。與他們同時代的E·嘉當及列維只是在20世紀30年代以後才顯示出他們的影響。
法國的數學發展之路在第一次世界大戰之後開始走下坡路。一方面在戰爭中犧牲了整整一代人，另一方面在教學及科研方面的保守傾向和對外封閉，使法國數學開始落後於德國，就連法國最熱門的函數論也落後於芬蘭等國。當時新一代數學家開始走出法國，到國外學習法國很少甚至沒有研究的新領域，如代數數論、代數幾何學、抽象代數學、數理邏輯、拓撲學及泛函分析等，然後回到法國掀起新的改革運動。
德國
德國數學的發展與其大學教育的發展是密不可分的。1810年在洪保(W.Humboldt)的努力下建立了柏林大學。那時的普魯士還在法國的佔領下，在經濟極端困難的情況下，德國人發揚了民族主義精神，發憤圖強，不惜重資，把柏林大學建成德國學術中心，從一開始就聘請當時最好的學者如高斯等人，只是高斯拒絕了；後來又邀請雅可比、狄利克雷、阿貝爾(此時的阿貝爾已經去世)、愛森斯坦等，才逐步使柏林大學成為德國數學發展的中心。大學從此不僅是教學的場所，同時成為科研的基地。柏林大學的成功促使其他大學進行效仿改造，如佈列斯勞大學和波恩大學。
還有一個重大的改革是哲學院地位的提高。在這之前哲學院只是通過給學生補充及加深中學課程的“低級”學院，以進入“高級”學院(特別是神學院及法學院)做準備而設置，教師水平有限，毫無科研能力。此後，哲學院成為專門培養中學教師的學院，有些哲學院的語言學家提出：教學不是種可以教會的藝術，教授的目標不是培養教師而是培養學者。跟著屬於哲學院的數學家、物理學家、史學家也採用同樣的觀點，促使大量培養數學家的體制建立起來。另外，哲學院的學生人數比例也猛增。哲學院教授的數目增長得更快，到1860年哲學院教授數目已超過另外三院的總和。從這時起全德國有20幾所大學，另外還有許多高等技術學院，1900年左右大學的數學教授席位整整50個，遠遠超過其他國家，而且還有其他的職位可供數學家就業，這在體制上保證了數學的發展。
德國大學生享有學術自由，學生可以根據自己的意願有選擇的進行聽課，還可以在不同的大學之間進行流動，毫無疑問地，這對學生開闊眼界很有好處。而對教授來講也是自由競爭，好教授門庭若市，初出茅廬的、尚未有名氣的教投聽眾甚少，門可羅雀。學生要想進入學術界的第一關是博士學位，這首先得至少聽過三年課，通過嚴格的口試，向大學提交博土論文，經過答辯而取得。而有些學生想當中學教師，只需通過國家考試即可。比如魏爾斯特拉斯就沒有博士學位。
如果要在學術界晉升，還需要取得授課資格，為此需要寫“為取得大學授課資格的論文”並進行答辯，從取得博士學位到取得授課資格最短一年，最長三四年，有了授課資格可以在大學授課，只是這是編外的講師，只能靠向學生收取聽課費來維持生活(若無可靠的經濟來源，靠講課費，生活是極為拮据的)。當大學有空缺的教授或副教授席位時，才有可能成為政府發工資的副教授和正教授，副教授是非常稀缺的過渡性職位。德國學術最高的職稱是教授，教授工資較高、穩定，可以使數學家專注自己的學術研究，但是從編外教師熬到教授(或副教授)一般得四五年。
黎曼1851年拿到博士學位，1854年拿到授課資格，到1857年升為副教授，其間生活到了經常捱餓的程度，回到家鄉靠步行。正因為教授職位有限，使得不少人未能從事數學事業。
德國數學發展的最大特點是形成了多個數學中心，在17、18世紀只有少數除了萊布尼茲外，並沒有國際影響數學家。首個讓世人留意到德國數學的人當屬數學王子高斯，他的《算術研究》(1801)遠遠超出了當時數學界水平，他還主要從事天文、物理、測地等工作，同樣引起了人們的注意，只是並沒有在哥廷根形成一個數學學派。1810年建立的柏林大學，在狄利克雷任教之後，逐步成為一個數學中心。大學生從一個大學到另個大學就讀的傳統，另外，教授和講師也經常流動以促進諸大學間的交流。特別是雅可比在哥尼斯堡大學任教期間把討論班的形式引入數學教學形式後來普及到其他大學乃至國外，對數學研究起了很大促進作用。
德國著名數學家高斯
高斯、狄利克雷、雅可比是德國19世紀上半葉三位最偉大的數學家。19世紀中葉以後，德國數學蓬勃發展，一方面是以莫比烏斯、史坦納、史陶特、普呂克爾、海斯等人為代表的綜合幾何學及解析幾何學研究，另一方面是以狄利克雷、雅可比、庫默爾等人為代表的分析學研究，這方面最突出的代表人物是黎曼和外爾斯特拉斯。
1855年到1856年庫默爾、維爾斯特拉斯和克洛內克先後到柏林大學任教，柏林學派正式形成。19世紀末他們相繼去世，其接班人富克斯、施瓦茨、弗洛賓尼烏斯，趨向於專門化，柏林大學的影響已經不能同哥廷根大學同日而語了。哥廷根大學的數學經過狄利克雷、黎曼、克萊布什的經營之後，吸收了大量有前途的數學家。其後有富克斯、施瓦茨等人任教授，1886年克萊茵任教授。克萊茵是最有能力的組織者，1894年聘希爾伯特為教授，從此哥廷根形成國際數學中心。
德國數學的繁榮到1933年希特勒上臺後遭到毀滅性打擊，大批教授移居國外，國內學者缺少領袖數學家，學術刊物也政治化，特別是比勃巴赫等人辦了《德意志數學》,每期刊登元首語錄，學生人數減少一半在大戰期間，刊物也大量縮減。許多純粹數學家也不得不從事軍事研究，如哈塞及克魯爾。第二次世界大戰後的極端困難的物質條件更使德國數學奄奄一息，到20世紀50年代，一代新人才使德國數學逐步得到恢復及發展。
英國
相比法國和德國，英國的數學存在感要弱一些。19世紀英國數學的貢獻主要有兩個方向：一個是邏輯和代數，該方向有皮科克、德·摩爾根、布爾、哈密爾頓，到凱萊及西爾維斯特達到頂峰，他們發展的線性代數及不變式論是19世紀代數學的主要成就，斯密司及克里福德在數論及代數方面也有突出貢獻；另一個方向是數學物理學。此外還有一個較為孤立的方向是組合論，如寇克曼女生問題以及圖論，如四色問題。在後個方向多是身兼物理學家的數學家，除哈密爾頓之外，有格林、愛理、亞當斯、斯托克斯、湯姆遜、麥克斯韋、臺特、勞斯、瑞利、達爾文、蘭姆等人，他們的物理學或天文學成就舉世公認，因此往往掩蓋了他們的數學成就。實際上，他們的貢獻也是第一流的。
伯特蘭·羅素
19世紀末，英國數學又開始落後，羅素認為英國數學沒什麼可學，所以他讀了三年數學系，把書賣了，轉了哲學系，一些年輕數學家再一次向大陸數學界學習，引進當時先進的點集論、測度及積分論、符號邏輯、群論、函數論、解析數論等。弗賽斯寫的《函數論》最早介紹大陸的複變函數論，郝伯孫的《實函數論》最早介紹大陸的測度及積分論，哈代說過拉夫介紹他看若爾當的《分析教程》才打開了他的數學眼界。正是由於哈代等人吸收了大陸的先進數學，加上自己的獨創研究，使英國在第一次世界大戰前後，再一次躋身於世界數學強國之列。
羅素和懷特海的《數學原理》對數學基礎影響更大，其意義遠遠超出數學之外，在數理邏輯上拉姆塞及圖靈這兩位的天才工作至今影響未衰。第二次世界大戰以後，傳統的領域後繼有人。如羅斯及貝克爾等在解析數論方面的工作使英國在國際上仍保持領先地位，在新興的學科出現許多傑出人物，最突出的當推阿提雅，他是多方面的數學大師，在拓撲學、幾何學、代數學及分析學方面均有貢獻，尤為難能可貴的是在諸領域的交會點上使數學的統一性暴露出來。
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