以前為了描寫對稱性，群論走進了物理。現在為了描寫量子材料中的量子糾纏，範疇論也正在走進物理。可到底什麼是範疇論？

範疇論是一個關於關係的理論，描述並研究關係的所有可能性質。如果繪製一幅數學地圖，地面上會有代數、拓撲、分析等不同領域，而範疇論則像是懸掛在天空中的月亮，它提供整個地圖的縮略圖，讓我們看到在地面看不到的各個領域之間的關係，證明看似不相關的數學領域並非完全不同。當你在某個數學領域的邊界處艱難跋涉時，範疇思維可以指引你，它增強你的直覺，讓你的洞察力更敏銳。而這一關於關係的全面抽象理論，也正好是描寫多體量子糾纏的自然語言。

撰文 | Tai-Danae Bradley

譯者 | 唐璐

從最早開始學習數學，我們就知道代數與幾何有很強的關聯，代數方程可以表示成圖形和幾何對象，幾何特徵可以用代數表達式刻畫。就好像有一座橋樑連接廣闊的數學世界中的這兩個領域，橋的兩邊互為鏡像。

代數與幾何之間對應關係的3個例子：代數表達式-三角形面積，二次方程-半徑為2的圓，線性方程-斜率為1的直線。

因此，儘管代數和幾何是很不相同的數學領域，但這種聯繫表明，它們之間存在著內在關聯。不僅如此，還有集合論、群論、線性代數、拓撲學、圖論、微分幾何等等，這些看上去似乎沒什麼關係的數學分支實際上都存在深層次的關聯，代數與幾何的關聯只不過是其中的冰山一角。令人驚奇的是，這些關聯或橋樑不僅僅是浮於表面的印象。它們是數學，而且這種數學有個名字：範疇論。

範疇論是什麼？

馬丁·庫佩（Martin Kuppe）曾繪製過一幅精美的數學地圖，其中範疇論高高懸掛在天空，提供了整個地圖的縮略圖。它讓我們能夠看到在地面看不到的各個領域之間的關係，證明看似不相關的數學領域並不是完全不同。當你想解決某個領域（比如說拓撲）中的問題，但沒有合適的工具可以使用時，這就變得非常有用。通過將問題轉移到不同領域（比如群論），就能讓你換個角度看問題，說不定還能發現新的工具，讓問題變得更容易解決。事實上，範疇論就是這樣產生的。它誕生於20世紀40年代，背景是人們試圖用更簡單的代數方法來解決一個困難的拓撲問題。

馬丁·庫佩的數學地圖

回到數學地圖，你可以注意到各領域都包含一些對象：集合論有集合，群論有群，拓撲學有拓撲空間...... 這些對象彼此關聯：集合通過映射關聯，群通過同態關聯，拓撲空間通過連續映射關聯......

這條共同的線索貫穿了整個地圖，將各領域統一到一起。範疇論將這種統一形式化了。更具體地說，範疇

是一組對象及其關係的集合，這些對象之間的關係（稱為態射，morphisms）在組合（composition ）和結合性（associativity）方面表現良好。這樣就為數學提供了一個模板，將不同內容輸入模板，就能重建一個數學領域：集合範疇由集合和它們之間的關係（映射）組成；群範疇由群和它們之間的關係（群同態）組成；拓撲空間範疇由拓撲空間和它們之間的關係（連續映射）組成；等等。

集合與集合之間的關係（映射）；群與群之間的關係（群同態）；拓撲空間與拓撲空間之間的關係（連續映射）。

巴里·馬祖爾（Barry Mazur）寫了一篇精彩的非專業性文章介紹範疇論，《什麼時候一樣東西等於另一樣東西？》，範疇和模板的類比就是在這篇文章中提出來的。他在文中寫道：“範疇的概念是萬能的......幾乎沒有哪種數學對象不適合這個方便並且經常能帶來啟發的模板。” 事實上，正如範疇論專家尤金妮婭·程（Eugenia Cheng）在她的論文《高維範疇論》中所指出的，“範疇論是數學的數學。”

關係就是一切

範疇論的一個主要特點是它剝離了很多細節：它並不具體關心集合中的某個元素，或者某個群是否可解，或者某個拓撲空間是否有可列基。所以你可能會想，“呃，範疇論似乎太抽象了。這樣做有什麼好處嗎? ” 當然，答案是肯定的！剝離細節的一個好處是，我們的注意力從單個對象上轉移開，轉向它們之間存在的關係——態射。任何一個範疇論專家都會告訴你：

關係就是一切。

事實上，範疇論的一個主要信條就是，一個數學對象完全由它與所有其他對象的關係決定。換句話說，當且僅當兩個對象以同樣方式與範疇中的每個對象相關時，兩個對象本質上是不可區分的。這其中的主旨 [這是著名的米田引理（Yoneda lemma）的一個推論] 與我們的日常經驗並沒有太大區別。你可以通過觀察人們的關係來了解他們，比如他們在 Facebook 上的朋友，他們在 Twitter 上關注的人，他們週五晚上和誰出去玩。如果你遇到兩個人，他們有

完全相同的朋友，他們在社交媒體上的互動也完全相同，他們在週五晚上和相同的人在一起，那麼你可能會開玩笑地說，“你甚至分不清他們。”撇開所有玩笑不談，範疇論告訴我們，這其實是真正的數學！

那你可能會想，“嗯，如果數學關係如此重要，那麼範疇之間的關係呢？它們存在嗎? ”問得好。答案是：當然！事實上，這些特殊的關係有個名字——函子（functor）。但是為什麼要就此止步呢？這些關係之間的關係呢？它們也有名字：自然變換（natural transformation）。

範疇之間的關係被稱為函子，函子之間的關係被稱為自然變換。

事實上，我們可以繼續：“關係之間的關係之間的關係......?”這樣做將使我們進入更高維的範疇論，這正是尤金妮婭·程的主要研究領域。

儘管聽起來很抽象，但這些構造——範疇、函子和自然變換——組成了一個理論寶庫，不僅僅涉及數學，還涵蓋許多學科！範疇論自誕生以來，已經在計算機科學、量子物理學、系統生物學、化學、動力系統和自然語言處理等領域找到了自然應用。（“應用範疇論”網站上有一個應用列表，http://appliedcategorytheory.org/workshops） 因此，雖然範疇論聽起來有點抽象，它其實具有很多實際應用。這並不奇怪。範疇論是關於關係的，而關係在我們所處的世界中無處不在！

結 語

範疇有點像鳳尾魚：有些人天生喜歡，而對其他人則是一種後天習得的口味。所以是的，範疇論確實不能在求極限時為你的 ε 找到一個 ，或者確定你的520階的群是否為單群，或者為你的偏微分方程構造一個解。為了做到這些，我們必須腳踏實地。但是，當你在最喜歡的數學領域的角落和縫隙中艱難跋涉時，範疇思維可以指引你——它可以增強你的直覺，讓你的洞察力更敏銳。如今，我們尤其難以擺脫範疇論在現代數學中的普遍存在。所以無論你學數學的目標是什麼，學習一點關於範疇的知識都是值得的！

Tai-Danae Bradley是紐約城市大學數學博士生。感興趣的領域包括範疇論、拓撲學、機器學習和量子物理，空閒時間愛好塗鴉和寫博客。

本文翻譯自chalkdustmagazine.com，原文標題為“An invitation to category theory”，戳“http://chalkdustmagazine.com/features/an-invitation-to-category-theory/”可查看原文。

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