李容海

微分就是把一個山芋切成儘可能小的薄片。積分就是把這些小薄片再組裝成一個完整的山芋。

CELIUJieSan

不請自來，我來回答這個問題。

微積分是《高等數學》主要部分，主要涉及極限、導數、微分、積分等幾個重要概念及相關的知識，目前高中階段也都有接觸。要想解釋這幾個概念，首先必須先了解極限的概念。因為導數、定積分的概念都是建立在極限思想的基礎上的。高等數學的研究對象是函數，即因變量隨著自變量的變化而變化，這裡會涉及到變化的趨勢（極限）、變化快慢（導數）、變化程度（微分）等問題，下面的概念僅從通俗易懂的角度給出。

一、極限

1、極限的定義

極限的概念可概括為“兩個無限接近“，即

這裡不再給出高等數學中嚴謹的極限的定義，嚴謹的數學上的定義比較抽象，有興趣的可以翻看《高等數學》課本。

2、極限思想的理解

極限的概念也可以從下面的詩句中意會。孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。

——可理解為當距離x無限遠的時候，帆船消失不見，即極限為0.

《莊子.天下篇》——一尺之棰，日截其半，萬世不竭。這句話中也蘊含著極限的思想。

劉徽的“ 割圓術 ”求圓周率的方法：

劉徽的“ 割圓術 ”包含了用已知逼近未知 , 用近似逼近精確的重要極限思想。

二、導數

導數就是”變化率“，即函數相對於自變量的變化快慢程度， 如物體的瞬時速度、曲線的切線斜率。

在自然科學和工程技術領域，導數的應用非常廣泛，如電流強度、線密度、以及所有優化問題都需要利用導數來計算。

三、微分

微分和導數有密切的聯繫，對於一元函數可導和可微是等價關係，在數學表達式上有dy=f'(x)dx，但兩個概念有本質的區別，以路程和速度為例，路程的導數就是瞬時速度，單位是m/s或者km/h，但路程的微分可以理解為單位時間內走的距離，單位是m或者km。

微分是函數改變量的線性函數，因為函數該變量的精確值計算往往是較繁瑣的，因此可由微分dy近似代替函數的改變量。

舉個最簡單的例子，微分就是切片面包中的一片，但這一片的厚度是非常非常的薄。

四、積分

嚴格上積分分為定積分和不定積分，其中不定積分和微分互為逆運算，定積分和不定積分的關係由牛頓萊布尼茲公式給出，我們通常應用的積分是指定積分。

定積分是處理不均勻量”求和“的有力工具，比如下面曲面梯形的面積，可通過分割、近似、求和、取極限四步來求出，而且求出的是曲邊梯形的精確面積。所以積分的本質就是求和，定積分的主要思想是”以直代曲“”以常代變“。凡是涉及到”不規則的“”彎曲的“、”不均勻的“量的相關計算都可以用定積分來解決。

和上面的例子對應，積分就是已知一片切片面包的體積，現在讓你求整個麵包的總的體積。

總之，高等數學的這些概念都是非常抽象的，在本科以上《高等數學》課本上都有嚴謹的數學定義，但由於高度抽象，使得很難直觀的去理解，這裡給出了簡單的解釋，希望能幫到大家。

數學漫談

微積分最簡單的解釋，就是將一條曲線分成一小段一小段的直線的長度來計算，相加之和就近似等於整個曲線的長度，分得愈短，就愈精確，而它的極限，即精確值就等於這段曲線的微分，積分則是它的反運算（反函數），實際上，世界上任一臺先進超算計算機，無法求解精確值，即無法計算曲線理論長度值，但是可以將曲線化作非常小的直線段計算，非常接近精確值，足以滿足人們在工程計設、械機制造、航天工業、氣象預報、地質資料分析…大量的自然科學所需要求。您需要多精確，計算機就能為您計算到多精確，也就是說，微積分是近似而精確的將曲線分割成許許多多微小直線長度的計算之和，求和的數值計算而己。愈是大型機，直線段就分得短，精確度就愈高，愈接近理論解，但您必須知道的是，世界上任何超算永遠無法求解出理論解（精確值），我們日常生活中最常用的實數，是由零、有理數與無理數組成的，有理數它的解折解（精確解）可以用分數表示，但實際上您只能使用它的有限循環小數的數值解，無理數，幾乎解折解更沒有任何實際應用的可能，而它的數值解是無限不循環小數…世界上任何計算機不可能給出無限的數值結果，如元周率也只能計算至小數點後的幾千位，而且毫無任何實際的需要…

高友峰1

我看他們都說的不好，所以我也來湊個熱鬧。

我來解釋一下，加速度的積分是速度，速度的積分是距離。

假如把你的眼蒙上，然後騎上馬或者坐上車往前跑，過一會兒問你大概跑了多遠？然後呢如果你是認真合計合計個話，大概能說出個數來。

其實我們的大腦只能感覺到加速度。地球每秒30公里在太空中飛我們不知道這個速度吧，在飛機上我們也不知道速度吧。這是因為我們大腦能感知的是加速度。

加速度讓我們大腦評估從一開始不動，就是速度為零大概變成了多快的速度，可以這麼說，加速度的積分是速度。

然後呢我們估計出的這個速度再和時間這麼一積分，就成了距離了。這個時候我們的大腦就估計出了大概走了多遠。

總結一下，就是由於大腦只能感知加速度，所以距離的計算是加速度積分成速度，速度積分成距離。

放到一個設備如果只能測量加速度，其實它就能通過積分再積分的方式計算距離了。我們能見到的一個現象就是開車帶著手機在隧道里行駛，手機居然在沒有GPS信號的情況下還能顯示前進的距離。靠的就是手機內置的陀螺儀芯片。而我們人類的陀螺儀芯片是耳朵裡的半規管。

Succeed!

老北的地盤

微積分是高等數學中研究函數的微分和積分的總稱。『無限細分』就是微分，『無限求和』就是積分。

比如，炮彈飛出炮膛的瞬間速度就是微分的概念，炮彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。

它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。

• 微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。

• 積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
  

微積分的誕生是數學史上，也是人類歷史上最偉大最有影響的創舉，因為從此數學家和科學家在討論連續變化的數量時便有了科學依據。

化學、生物學、地理學、現代信息技術等學科運用微積分的方法推導演繹出各種新的公式、定理，促成了後來一切科學和技術領域的革命。離開微積分，人類將停止前進的步伐。

恩格斯曾說：『在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。』

超級數學建模

通俗易懂的比喻，微積分是由微分與積分組成，在數學術語中統稱微積分。形象一點比喻吧！例如一個不規則的平面，你套用任何的計算公式都不適合的時候，你可以將它分割成為N個長方形，當變成N個長方形後，並且N越大，計算出來的結果就越準確。

結論：

把一個不規則平面分為N個長方形的過程就叫做：“微分”。

把N個長方形加起來就叫做積分。

以上兩個過程加起來就叫做：“微積分”。

這樣比喻應該明白了吧？

彭梵先生

微積分要分成微分和積分兩部分來說。

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”說的就是微分。微分告訴我們，空間和時間是可以無限細分的，但是不管怎麼分總會存在一個點或者是一瞬間。打個比方，你射出了一支箭，在某一瞬間，這支箭一定在某一個確定的位置上。現在問題來了，如果那隻箭的每個瞬間都停在某個位置，它不就成了靜止不動的嗎？想到下一個點那還不得穿越一下子。當然不是了，微分還說了另一件極其重要的事，就是那個點或者是瞬間要多小就有多小，反正就不是零，這樣時間和空間就變成連續的了。在連續的時空裡，那隻箭就可以正常地動起來了。

連續是微積分的核心思想，只有連續才可以做積分，也就是把那隻箭經過的每個點都找出來放到一起就能得到完整的軌跡。

牛頓當年為了算出行星的運動軌跡，才發明了微積分，他也許不知道，因為有了微積分箭才能飛得很遠，人才能追上烏龜(如果沒有連續的概念，人跑到烏龜先前的位置時，烏龜也向前爬行了，這樣人只能永遠都跟在烏龜的屁股後面跑)。

日衝信息 黃

他們說的大都是極限，那是微分的理論基礎，不代表微分。我片面地描述一下，可能不全面，但比較形象。

大家說的微積分實際是微分和積分的合稱，其中微分是理論基礎，實際應用體現在導數，所以微積分實際是指是導數和積分。對於一個函數來講，導數降低了一個維度，而積分提高了一個維度。具體來說，比如一個連續的、可以用函數表示的曲線，它的導數是指這個曲線在任意一點的坡度，是不是很神奇？而它的積分則是指這個函數所包圍的面積，如果對這個面積再求積分，就有可能得到體積。當然這僅僅是科普上的說法，知道意思就行了。

不過最有意思的是，學了微積分以後，在高中以前學過的一切數學都降為“初等數學”，從微積分開始，數學進入“高等數學”領域，在初等數學期間很多複雜的運算，在高等數學階段就是一步的事，數學終於與數字無關了。因為微積分的公式中幾乎不用數字。

叮叮東334

微分是函數對於變量的瞬時變化率。因此，微分是有規則地細分，不是雜亂無章地打碎。積分也是有規則的拼接，不是隨意拼接。

用路程舉例：

已知路程相對於時間的計算式（用時間來表示路程的表達式）。我們來看"路程相對於時間的無限細分"是什麼物理量。我們按照某個時間段（比如1分鐘）將路程分段，再將每個時間段分成一萬份，再將每份分成一萬份，再將每份分成一萬份，再……。然後把每份的時間段定義為1個單位時間，我們得到的一段路程就是"單位時間的路程"。現在明白了：這就是在相應時間點的速度！即：路程相對於時間的微分是速度。同理可得：速度相對於時間的微分是加速度。

將"單位時間的路程"按照時間順序逐段拼接起來，我們得到的應該是路程。即：速度相對於時間的積分就是路程。同理可得：加速度相對於時間的積分是速度。

微積分還有它的幾何意義，如：斜率、拐點，等等。其實際應用，絲毫不亞於它的物理意義。

在純數學上，可以認為微分與積分是逆運算。

……

教育反思者

極限和導數的概念還是好理解的，但微分和積分就不容易理解透了。我是這麼理解的.首先說個簡單的.

如Y/X=D則Y=XD,

而導函數就是一個比值函數.dy/dx=f'(x)所以微分函數就是dy=f'(x)dx,當已知原函數和一個x點以及dx時就能求出dy,為啥這樣求呢?因為導函數很好求。

微分就是個除變乘還可以理解,積分就不容易了.前方高能.請高度注意.

積分是求A函數曲線與座標軸之間的面積,所以將A函數看作導函數然後求出與之對應的原函數,然後用原函數求A函數曲線與座標軸之間的面積.

原因是原函數的所有dy被縮小dx倍並底邊對齊的放在導函數x軸上.那麼當求導函數的原函數時,導函數曲線的每個y值被放大dx倍並豎向首尾同高拼接橫向排列在原函數曲線上.

注意:書上說積分符號只是那個拉長的S.實際上後面的dx也是符號的一部份.它表示得到的原函數dy值是導函數y值乘dx的結果.而這個乘操作是求原函數時隱含完成的.

積分用途.當2個量呈非線性函數關係.而函數與自變量在呈靜態關係時的乘積是需要的結果,就可以用積分來求結果.

例如:接入交流電的電阻兩端電壓是變化的,即功率是變化的,即功耗與時間呈非線性關係,而在電壓不變的情況下功耗=功率x時間,這樣求電阻半週期的功耗就可用積分來求解.

微分的用途：有兩個函數A=f1(x), B=f2(x),即A與B都與同一個量x呈函數關係,現要求A與B的函數關係.即A=f3(B).解法:求出A'與B'.然後A'/B',約去dx可得dA/dB,其中dA是f1的微分.dB是f2的微分,這就是A=f3(B)函數的導函數,對這個導函數積分就求出A=f3(B)了.

關鍵字: 薄片 數學 山芋