李容海

微分就是把一个山芋切成尽可能小的薄片。积分就是把这些小薄片再组装成一个完整的山芋。

CELIUJieSan

不请自来，我来回答这个问题。

微积分是《高等数学》主要部分，主要涉及极限、导数、微分、积分等几个重要概念及相关的知识，目前高中阶段也都有接触。要想解释这几个概念，首先必须先了解极限的概念。因为导数、定积分的概念都是建立在极限思想的基础上的。高等数学的研究对象是函数，即因变量随着自变量的变化而变化，这里会涉及到变化的趋势（极限）、变化快慢（导数）、变化程度（微分）等问题，下面的概念仅从通俗易懂的角度给出。

一、极限

1、极限的定义

极限的概念可概括为“两个无限接近“，即

这里不再给出高等数学中严谨的极限的定义，严谨的数学上的定义比较抽象，有兴趣的可以翻看《高等数学》课本。

2、极限思想的理解

极限的概念也可以从下面的诗句中意会。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。

——可理解为当距离x无限远的时候，帆船消失不见，即极限为0.

《庄子.天下篇》——一尺之棰，日截其半，万世不竭。这句话中也蕴含着极限的思想。

刘徽的“ 割圆术 ”求圆周率的方法：

刘徽的“ 割圆术 ”包含了用已知逼近未知 , 用近似逼近精确的重要极限思想。

二、导数

导数就是”变化率“，即函数相对于自变量的变化快慢程度， 如物体的瞬时速度、曲线的切线斜率。

在自然科学和工程技术领域，导数的应用非常广泛，如电流强度、线密度、以及所有优化问题都需要利用导数来计算。

三、微分

微分和导数有密切的联系，对于一元函数可导和可微是等价关系，在数学表达式上有dy=f'(x)dx，但两个概念有本质的区别，以路程和速度为例，路程的导数就是瞬时速度，单位是m/s或者km/h，但路程的微分可以理解为单位时间内走的距离，单位是m或者km。

微分是函数改变量的线性函数，因为函数该变量的精确值计算往往是较繁琐的，因此可由微分dy近似代替函数的改变量。

举个最简单的例子，微分就是切片面包中的一片，但这一片的厚度是非常非常的薄。

四、积分

严格上积分分为定积分和不定积分，其中不定积分和微分互为逆运算，定积分和不定积分的关系由牛顿莱布尼兹公式给出，我们通常应用的积分是指定积分。

定积分是处理不均匀量”求和“的有力工具，比如下面曲面梯形的面积，可通过分割、近似、求和、取极限四步来求出，而且求出的是曲边梯形的精确面积。所以积分的本质就是求和，定积分的主要思想是”以直代曲“”以常代变“。凡是涉及到”不规则的“”弯曲的“、”不均匀的“量的相关计算都可以用定积分来解决。

和上面的例子对应，积分就是已知一片切片面包的体积，现在让你求整个面包的总的体积。

总之，高等数学的这些概念都是非常抽象的，在本科以上《高等数学》课本上都有严谨的数学定义，但由于高度抽象，使得很难直观的去理解，这里给出了简单的解释，希望能帮到大家。

数学漫谈

微积分最简单的解释，就是将一条曲线分成一小段一小段的直线的长度来计算，相加之和就近似等于整个曲线的长度，分得愈短，就愈精确，而它的极限，即精确值就等于这段曲线的微分，积分则是它的反运算（反函数），实际上，世界上任一台先进超算计算机，无法求解精确值，即无法计算曲线理论长度值，但是可以将曲线化作非常小的直线段计算，非常接近精确值，足以满足人们在工程计设、械机制造、航天工业、气象预报、地质资料分析…大量的自然科学所需要求。您需要多精确，计算机就能为您计算到多精确，也就是说，微积分是近似而精确的将曲线分割成许许多多微小直线长度的计算之和，求和的数值计算而己。愈是大型机，直线段就分得短，精确度就愈高，愈接近理论解，但您必须知道的是，世界上任何超算永远无法求解出理论解（精确值），我们日常生活中最常用的实数，是由零、有理数与无理数组成的，有理数它的解折解（精确解）可以用分数表示，但实际上您只能使用它的有限循环小数的数值解，无理数，几乎解折解更没有任何实际应用的可能，而它的数值解是无限不循环小数…世界上任何计算机不可能给出无限的数值结果，如元周率也只能计算至小数点后的几千位，而且毫无任何实际的需要…

高友峰1

我看他们都说的不好，所以我也来凑个热闹。

我来解释一下，加速度的积分是速度，速度的积分是距离。

假如把你的眼蒙上，然后骑上马或者坐上车往前跑，过一会儿问你大概跑了多远？然后呢如果你是认真合计合计个话，大概能说出个数来。

其实我们的大脑只能感觉到加速度。地球每秒30公里在太空中飞我们不知道这个速度吧，在飞机上我们也不知道速度吧。这是因为我们大脑能感知的是加速度。

加速度让我们大脑评估从一开始不动，就是速度为零大概变成了多快的速度，可以这么说，加速度的积分是速度。

然后呢我们估计出的这个速度再和时间这么一积分，就成了距离了。这个时候我们的大脑就估计出了大概走了多远。

总结一下，就是由于大脑只能感知加速度，所以距离的计算是加速度积分成速度，速度积分成距离。

放到一个设备如果只能测量加速度，其实它就能通过积分再积分的方式计算距离了。我们能见到的一个现象就是开车带着手机在隧道里行驶，手机居然在没有GPS信号的情况下还能显示前进的距离。靠的就是手机内置的陀螺仪芯片。而我们人类的陀螺仪芯片是耳朵里的半规管。

Succeed!

老北的地盘

微积分是高等数学中研究函数的微分和积分的总称。『无限细分』就是微分，『无限求和』就是积分。

比如，炮弹飞出炮膛的瞬间速度就是微分的概念，炮弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。

它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

• 微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

• 积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
  

微积分的诞生是数学史上，也是人类历史上最伟大最有影响的创举，因为从此数学家和科学家在讨论连续变化的数量时便有了科学依据。

化学、生物学、地理学、现代信息技术等学科运用微积分的方法推导演绎出各种新的公式、定理，促成了后来一切科学和技术领域的革命。离开微积分，人类将停止前进的步伐。

恩格斯曾说：『在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。』

超级数学建模

通俗易懂的比喻，微积分是由微分与积分组成，在数学术语中统称微积分。形象一点比喻吧！例如一个不规则的平面，你套用任何的计算公式都不适合的时候，你可以将它分割成为N个长方形，当变成N个长方形后，并且N越大，计算出来的结果就越准确。

结论：

把一个不规则平面分为N个长方形的过程就叫做：“微分”。

把N个长方形加起来就叫做积分。

以上两个过程加起来就叫做：“微积分”。

这样比喻应该明白了吧？

彭梵先生

微积分要分成微分和积分两部分来说。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说的就是微分。微分告诉我们，空间和时间是可以无限细分的，但是不管怎么分总会存在一个点或者是一瞬间。打个比方，你射出了一支箭，在某一瞬间，这支箭一定在某一个确定的位置上。现在问题来了，如果那只箭的每个瞬间都停在某个位置，它不就成了静止不动的吗？想到下一个点那还不得穿越一下子。当然不是了，微分还说了另一件极其重要的事，就是那个点或者是瞬间要多小就有多小，反正就不是零，这样时间和空间就变成连续的了。在连续的时空里，那只箭就可以正常地动起来了。

连续是微积分的核心思想，只有连续才可以做积分，也就是把那只箭经过的每个点都找出来放到一起就能得到完整的轨迹。

牛顿当年为了算出行星的运动轨迹，才发明了微积分，他也许不知道，因为有了微积分箭才能飞得很远，人才能追上乌龟(如果没有连续的概念，人跑到乌龟先前的位置时，乌龟也向前爬行了，这样人只能永远都跟在乌龟的屁股后面跑)。

日冲信息 黄

他们说的大都是极限，那是微分的理论基础，不代表微分。我片面地描述一下，可能不全面，但比较形象。

大家说的微积分实际是微分和积分的合称，其中微分是理论基础，实际应用体现在导数，所以微积分实际是指是导数和积分。对于一个函数来讲，导数降低了一个维度，而积分提高了一个维度。具体来说，比如一个连续的、可以用函数表示的曲线，它的导数是指这个曲线在任意一点的坡度，是不是很神奇？而它的积分则是指这个函数所包围的面积，如果对这个面积再求积分，就有可能得到体积。当然这仅仅是科普上的说法，知道意思就行了。

不过最有意思的是，学了微积分以后，在高中以前学过的一切数学都降为“初等数学”，从微积分开始，数学进入“高等数学”领域，在初等数学期间很多复杂的运算，在高等数学阶段就是一步的事，数学终于与数字无关了。因为微积分的公式中几乎不用数字。

叮叮东334

微分是函数对于变量的瞬时变化率。因此，微分是有规则地细分，不是杂乱无章地打碎。积分也是有规则的拼接，不是随意拼接。

用路程举例：

已知路程相对于时间的计算式（用时间来表示路程的表达式）。我们来看"路程相对于时间的无限细分"是什么物理量。我们按照某个时间段（比如1分钟）将路程分段，再将每个时间段分成一万份，再将每份分成一万份，再将每份分成一万份，再……。然后把每份的时间段定义为1个单位时间，我们得到的一段路程就是"单位时间的路程"。现在明白了：这就是在相应时间点的速度！即：路程相对于时间的微分是速度。同理可得：速度相对于时间的微分是加速度。

将"单位时间的路程"按照时间顺序逐段拼接起来，我们得到的应该是路程。即：速度相对于时间的积分就是路程。同理可得：加速度相对于时间的积分是速度。

微积分还有它的几何意义，如：斜率、拐点，等等。其实际应用，丝毫不亚于它的物理意义。

在纯数学上，可以认为微分与积分是逆运算。

……

教育反思者

极限和导数的概念还是好理解的，但微分和积分就不容易理解透了。我是这么理解的.首先说个简单的.

如Y/X=D则Y=XD,

而导函数就是一个比值函数.dy/dx=f'(x)所以微分函数就是dy=f'(x)dx,当已知原函数和一个x点以及dx时就能求出dy,为啥这样求呢?因为导函数很好求。

微分就是个除变乘还可以理解,积分就不容易了.前方高能.请高度注意.

积分是求A函数曲线与坐标轴之间的面积,所以将A函数看作导函数然后求出与之对应的原函数,然后用原函数求A函数曲线与坐标轴之间的面积.

原因是原函数的所有dy被缩小dx倍并底边对齐的放在导函数x轴上.那么当求导函数的原函数时,导函数曲线的每个y值被放大dx倍并竖向首尾同高拼接横向排列在原函数曲线上.

注意:书上说积分符号只是那个拉长的S.实际上后面的dx也是符号的一部份.它表示得到的原函数dy值是导函数y值乘dx的结果.而这个乘操作是求原函数时隐含完成的.

积分用途.当2个量呈非线性函数关系.而函数与自变量在呈静态关系时的乘积是需要的结果,就可以用积分来求结果.

例如:接入交流电的电阻两端电压是变化的,即功率是变化的,即功耗与时间呈非线性关系,而在电压不变的情况下功耗=功率x时间,这样求电阻半周期的功耗就可用积分来求解.

微分的用途：有两个函数A=f1(x), B=f2(x),即A与B都与同一个量x呈函数关系,现要求A与B的函数关系.即A=f3(B).解法:求出A'与B'.然后A'/B',约去dx可得dA/dB,其中dA是f1的微分.dB是f2的微分,这就是A=f3(B)函数的导函数,对这个导函数积分就求出A=f3(B)了.

關鍵字: 数学 薄片 通俗易懂