精確的天文觀測表明，行星軌道不是封閉的，它的近日點會發生進動，其中以水星進動的效應最明顯。即使是對水星，這個效應從絕對值來說也是很微弱的，觀測表明，每一百年，5600.73±0.41″。

然而天體力學家根據牛頓引力理論計算，扣除歲差和行星攝動等因素影響後，還有約每百年43″的進動得不到解釋，這已經在觀測精度不容忽視的範圍了。

圖一、水星進動示意圖

有人認為，這是在水星軌道內，可能還存在著一顆未知的行星（火神星），然而，經過多年搜索並沒有找到。這是愛因斯坦發表廣義相對論之前就知道的事實。

本文將分別覆盤，牛頓理論、狹義相對論、廣義相對論下，不同理論計算水星進動的過程，來說明為什麼說水星進動的精確計算可以證明廣義相對論的正確性。

一、牛頓力學中的行星軌道

學過理論力學的小夥伴可能還會對在萬有引力作用下，行星的運動方程有印象，其第一積分如圖二所示

圖二、行星運動方程第一積分’

根據能量E守恆和動量L守恆，我們可以消去圖二兩個式子中的t，得到軌道方程，如圖三

圖三

兩邊對φ微商，得到式子，如圖四

圖四

其中u=GM/r，可以把圖四中的式子化成式子，如圖五

圖五

圖五中方程的解就是描寫行星運動軌道的曲線，我們可以求出其解為圖六中的兩個公式

圖六

行星軌道的牛頓力學計算分析總結

很顯然，從圖六中的行星軌道方程我們可以看出，這是一個閉合的橢圓，e為偏心率。所以，按照牛頓理論，行星運動的軌道是閉合橢圓。牛頓力學的行星軌道計算過程沒有考慮天體自轉的影響。即太陽對行星的引力大小隻與太陽和行星的質量有關，而與它們的自轉快慢無關。

二、狹義相對論的修正

現在我們把狹義相對論與萬有引力定律相結合，同時考慮引力質量和慣性質量相等，可以得到新的軌道方程，見圖七中的方程式。

圖七

其中，u=GM/r，L為軌道角動量。從圖七中公式所得到的軌道不再是封閉的橢圓；在近日點有進動，但是其理論計算值僅僅為觀測值43”的16.7%，且符號相反。可見，由狹義相對論的修正並不成功。

三、廣義相對論中的行星軌道

3.1、史瓦西時空中的運動方程

為了計算水星近日點的進動，我們首先來討論一下史瓦西時空中的運動方程與守恆量。

3.1.1、零短程線的變分原理

變分原理見圖八中式子a，從中我們可以得到黎曼時空中靜質量不為零的質點運動方程見圖八中式子b，即黎曼時空中的短程線方程，其中λ是標量。

圖八

由於線元ds與固有時間dτ的關係：ds=idτ，圖八中的式子可以變化成圖九中的兩個式子

圖九

我們可以從圖九式子a中寫出短程線的拉格朗日方程，為圖十中的式子a，其中拉氏量為圖十中式子b，廣義速度為圖十中式子c。

圖十

現在我們用一個新的拉氏量（如圖十一式子a）將圖九中式子a修改為圖十一中式子b，圖九和圖十中兩個拉氏量都是建立在四速縮並的基礎上。

圖十一

我們將新拉氏量（圖十一中式子b）帶入到拉格朗日短程線方程（圖十式子a）中可以得到圖十一中的式子c，改式子對於質點和光子均有效，也就是說，圖十一中的式子c即可以描寫質點運動的類時測地線，也可以描寫光子運動的零測地線。我們只要把史瓦西度規帶入這個式子中，就可以得到史瓦西時空中質點和光子的運動方程。

3.1.2、能量守恆和角動量守恆

在圖十一式子c所表示的運動方程是二階常微分方程組，所以在史瓦西時空中直接求解很麻煩，但我們可以利用光子來計算，即ds=idτ=0，L=0。對於質點，選λ=τ時L=1/2。我們可以定義η=0（光子）、η=1（質點），則拉氏量L=η/2。

史瓦西度規是靜態球對稱的，度規不隨時間t和角度φ變化。我們可以把史瓦西度規帶入到圖十一式子a中，可以得到∂L/∂t=0，∂L/∂φ=0。所以我們可以得到能量守恆（圖十二中式子a）和角動量守恆（圖十二中式子b）

圖十二

由於拉氏量（圖十一中的式子b）不含引力相互作用，所以這裡描述的質點一定沿著測地線運動。因此能量和角動量是史瓦西時空中沿測地線運動的單位質量質點的兩個守恆量。但能量和角動量並不是在彎曲的史瓦西時空中靜止的觀測者直接測得的量，而是在無窮遠處才是靜止觀測者測得的量。

3.1.3、四速歸一化條件

史瓦西時空中的四速歸一化條件為圖十三

圖十三

當粒子為質點時，我們取λ為τ，η=1，當粒子為光子時，仿射參量λ不能取τ，η=0。我們可以把四速歸一化條件帶入能量守恆和質量守恆公式，整理後得到圖十四中三個式子，這三個方程式是接下來討論水星軌道近日點進動的基礎。

圖十四

3.2、廣義相對論中的行星軌道

我們現在用圖十四中的三個式子來討論行星近日點的進動，對於行星圖十四中的公式可以寫成圖十五中三個式子的形式。

圖十五

當τ為固有時，可以消去圖十五中b、c兩式子中的dτ，可以求出軌道方程，見圖十六

圖十六

這裡採用自然單位制，兩邊對φ微商，得到（圖十七）

圖十七

將u=GM/r代入圖十七的式子中，可以化成式子（圖十八），即廣義相對論的行星軌道方程

圖 十八

對比廣義相對論行星軌道方程（圖十八）與牛頓力學行星軌道方程（圖五），可以看出只是多了一項3u^2。這一項正是廣義相對論效應的體現，也可以說是牛頓理論的廣義相對論修正項。

我們代入太陽質量和水星軌道的平均半徑，GM=1.5×10^3m，r=5×10^10m，可以計算出u=GM/r≈10^-7

由牛頓力學行星運動軌道曲線方程（圖六）可以知道(GM/L)^2與u數量級相同，故此，方程修正項的數量級為3u^2的數量級為10^-14

太陽系中，水星的修正項最大。我們看到，廣義相對論的修正項的數量級如此小，所以我們可以把牛頓方程的解看做廣義方程解的零級近似。

這裡我們略去水星軌道方程的推導步驟，直接給出廣義相對論的水星軌道方程，見圖十九

圖十九

從廣義相對論水星軌道方程可知，行星軌道上的任一點在轉動φ=2π之後，都回不到相應的“原位置”上，而必須再轉過一個小角度。這是因為u的週期T不是2π，而是下式（圖二十）

圖二十

即，在水星的週日運動中，軌道上任何一點要轉過φn=nT才能回到相應的“原位置”，這就是水星的進動。從觀測的角度來說，只有水星的近日點和遠日點這兩個特殊點才便於觀測，尤其是近日點要更方便；所以天文學家在研究水星軌道進動時，只討論它的近日點進動。

我們從φn=nT，即（圖二十一）

圖二十一

可以得出水星近日點的進動為，圖二十二

圖二十二

恢復到通常的單位制，上式（圖二十二）為下式（圖二十三）

圖二十三

對於水星，Δφ=0.1″，這意味著，水星週日運動一週 ，軌道近日點進動0.1”，經過百年有約等於43″，這與天文觀測中得到的測量值與牛頓理論的差值43.11±0.45″相符合 。後來觀測到的地球、金星等行星近日點的進動值也與廣義相對論的計算值吻合得相當好。

行星軌道的廣義相對論計算分析總結

從前面的計算過程可以看出，在廣義相對論裡，引力不僅與物體的質量因子有關，而且也與物體的自轉快慢有關。兩個沒有自轉的物體之間的引力與它們自轉起來之後的引力是不同的。這一效應會引起自轉軸的進動，行星在運動過程中，它的自轉軸會慢慢變化。對於太陽系的行星來說這個效應太小了，不易被察覺，更何況還有其他的因素也會造成行星自轉軸的變化。

圖二十四、時空彎曲示意圖

結束語

本文從牛頓力學、狹義相對論和廣義相對論三個理論分別計算了水星進動的理論值，對比計算結果表明，廣義相對論的理論計算結果最接近天文觀測的實際值，並且在誤差允許範圍之內。這充分證明了，水星進動足以證明廣義相對論的正確性，同時也說明了牛頓力學是廣義相對論的一階近似。