幾何學是數學中一個基礎分支，應用於人類許多領域。我們需要用幾何學來測量東西、理解形狀，並對我們所居住的這個空間進行度量。
但是幾何學並不僅限於此：它與人類思想和生活的各個方面都相互作用，許多文化中都有它的發展。
首先，讓我們看下被稱為“幾何之父”的人：古希臘數學家歐幾里得（Euclid）。歐幾里得的工作是我們擁有一種對於幾何的系統性方法的最早例子。當你在幾何學中做出一般性陳述時，例如畢達哥拉斯定理（勾股定理），您應該證明這個陳述是從你認為是不證自明的陳述中通過邏輯規則推導得到的。2000 年以來，這種歐幾里得的系統性方法似乎證明了關於幾何形狀的真理，從而實現了確定性。
▲ 歐幾里得, Justus van Gent 在 15 世紀所描繪(圖自維基)
歐幾里得的嚴謹
後來許多重要的思想家認為，只要其他學科遵循相同的方法，其他學科可能就會也具有幾何的這種確定性。例如，勒內·笛卡爾（René Descartes）說，如果我們從不證自明的真理（也稱為公理）開始，然後在邏輯上從這些公理中推論出越來越複雜的定理，那麼我們將無所不知。哲學家本尼迪克特·斯賓諾莎（Benedict Spinoza）甚至撰寫了《倫理學——用幾何原理進行的論證》（Ethics Demonstrated in Geometrical Order），其中明確標明瞭公理和定義。他宣稱要證明上帝的存在，就像數學家所做的那樣，用 QED（拉丁文, quod erat demonstrandum)，表示證明完畢。出現在數學證明末尾，代表證明的結束符）結束了該數學證明。
在科學上，艾薩克·牛頓的代表著作《自然哲學的數學原理》清楚地說明了歐幾里得的影響。牛頓稱其著名的運動定律為“公理”，並以兩個數學定理的形式推導了他的萬有引力定律。正如牛頓所寫：“從那麼少的原理中就推出很多，這是幾何學的榮耀”。
▲ 《自然哲學的數學原理》拉丁版封面(1687) (圖自維基)
這裡還有一個歐幾里得影響力的例子。《美國獨立宣言》設計成通過使用歐幾里得的形式來激發人們對其確定性的信念。托馬斯·傑斐遜（Thomas Jefferson），一個當時比任何其他美國總統對數學都懂得更多的人，這樣開始他的論述：“我們認為下述真理不證自明：人人受造而平等……”這份宣言中還有其他不證自明不證自明的真理，他使用了“證明”一詞，緊接著開始推論出美國建國的宣言實際上是一個邏輯推論的結論：我們因此……同時莊嚴宣佈：這些聯合一致的殖民地從此成為、而且按其權利必須成為自由獨立的國家……”。
因此，在哲學、神學、科學和政治學領域，這一理想化的歐幾里得推理模型塑造了證明、真理和確定性的概念。
歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的真命題。它的前四個公理(公設)是：
- 從一點向另一點可以引一條直線。
- 任意線段能無限延伸成一條直線。
- 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
- 所有直角都相等。
歐幾里得的公理
在探討歐幾里得幾何的影響之前，讓我們看一下他建立此幾何推理的假設。在上面的四個公理中。這些是顯然成立的，沒有人會懷疑。但是還有第五個，稱為平行線假設：如果落在兩條直線上的一條直線使同一側的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線（如果可以無限延伸）在該側相交。
▲ 如果 和 的內角和小於 ，則兩直線不斷延伸，在這一側相交(圖自維基)
有時，我會讓學生對“這一公理是否是不證自明？”的進行投票，他們絕大多數都認為不是的——甚至想要理解它都必須畫一幅圖才好。但是，如果這不是不證自明的，那也許就不應該將其視為自明之理，而應從其他假設中證出。希臘人曾試圖這樣去證明，但他們失敗了。中世紀的伊斯蘭和猶太數學家，以及 17 世紀和 18 世紀的歐洲的數學家也都失敗了。
然而，希臘人成功證出的是，第五個假設在邏輯上等價於“平行線的唯一性”：在同一平面上，給定一條直線 和一個點 ，只有一條過點 且平行於直線 的線。
歐幾里得與物理學
歐幾里得從未談論過他的幾何形狀所在的空間，但他似乎隱含地認為它是一個無限大膨脹、在所有方向上都是相同的、並且每個點都與其他點相同的空間。
後來的思想家，尤其是從文藝復興時期開始的思想家，談論了很多關於空間的話題。他們同意這些早期的假設。空間就應該是這樣的這個想法來自充足理由原理，乍一看似乎很明顯：對於所有的一切東西，肯定有一個理由使它必須是這個樣子而不是其他樣子。
該原理至少與阿基米德一樣古老，它使我們能夠解釋周圍世界的事物。這裡有個例子：我們是如何知道在與支點相等距離處具有相等權重的槓桿必須平衡的呢？好吧，那為什麼不平衡呢？槓桿沒有理由在任一側都下降：因此它必須在任一側均不下降；因此平衡。
▲ 與支點等距離且等重的槓桿必須保持平衡
充足理由律是邏輯學基本原理之一，由 17 世紀德國數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出。人們在科學推理中，由於依賴的是不證自明的公理，所以，如果沒有充足理由律，結論就可以導致兩種自相矛盾的東西。萊布尼茲認為上帝在創造宇宙時使用了這個原理和邏輯法則。而且由於上帝是理性地創造了它，所以我們人類可以把它弄清楚。
人類理性可以理解宇宙的一個引人注目的例子就是牛頓第一運動定律，該定律最早其實由笛卡爾和皮埃爾·伽桑狄（Pierre Gassendi）獨立發現過。他們是這樣推導的：沒有受到作用力的運動物體以恆定的速度繼續沿直線運動。為什麼呢？物體會繼續沿一條直線運動，因為它沒有理由轉向其他方向，所有方向都是一樣的。它以恆定的速度運行，因為它沒有理由加速或減速：空間中的所有點都是相同的，因此物體沒有理由偏向於一點。類似的論斷是一個靜止的物體如果沒有力作用在其上，它將保持在原處。
充足理由律是一個很有力的原理，它似乎表明我們生活的空間就像歐幾里得幾何空間一樣。因此，毫不奇怪的是，17 和 18 世紀的思想一直受到是歐幾里得影響。例如，牛頓的物理學隱含地依賴於歐幾里德的第五條假設。理解這個需要用到你在學校學的力的平行四邊形。要證明平行四邊形的特性，需要歐幾里得的平行線理論，因此需要第 5 個假設。
▲ 力的合成遵循平行四邊形法則，紅色箭頭表示兩個力共同作用的最終效果
這就是為什麼 18 世紀的數學家如此關心證明平行公理的原因。這非常重要；不僅幾何，而且所有科學都依賴於它。數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）給出了一個有趣的例子：他試圖用充分理由原理來證明第五種公理，這一嘗試令人印象深刻。遺憾的的是，他的論證是有缺陷的，不過這是一個重要的事實，就是，如此重要的一位數學家也願意在公開發表研究的論證出來，並將歐式空間和充足理由律聯繫起來。
歐幾里得與哲學
哲學同樣被歐幾里德的思想所滲透。超級有影響力的哲學家伊曼紐爾·康德（Immanuel Kant）說，所謂的空間是我們心中存在的東西，我們每個人心中都有相同的獨一的“空間”。事實證明，對於康德來說，這個空間必須是歐幾里得空間。
為了論證我們可以瞭解有關非物質事物的複雜真相，康德使用了歐幾里得的證明，即三角形的內角和為兩個直角。證明使用了幾何構造方法。您在哪裡構造這些？不在紙上——幾何與物理性的三角形或直線無關。康德說，您是在自己腦海中創造出它們的。
▲ 三維歐幾里得空間中的每個點由三個座標確定(圖自維基)
實際上，歐幾里得的證明需要第五個假設。因此，這個關於角度之和的定理要求空間為歐幾里得。康德沒有說這個，但他確實說只有一個空間。因此，對於康德而言，似乎沒有其他的替代歐幾里德的想法。
伏爾泰是另一個視歐幾里德空間為真理的哲學家。他贊同了 18 世紀的普遍觀念，即普遍認同是真理的標誌。他說：“幾何學上沒有宗派。沒有人說'我是歐幾里得學派，我是阿基米德學派。' 你證明了一個真理，那麼全世界都會聆聽你的意見。” 對於伏爾泰來說，數學就是例證，道德也應該如此！伏爾泰寫道：“只有一種道德，只有一種幾何。”
因此，這就是 18 世紀的世界，一個相信充足理由律的世界：對稱，平衡，基於自我證明和必要真理，嵌入了歐幾里得空間。人們可以理性地推導解決所有問題。
歐幾里得的幾何形狀是公認的完美知識權威模型。到底是不是呢？(在另外一篇文章中，我們將進入另一個幾何新世界)
原文作者: Judith Grabiner
翻譯作者: YX, 亞麗 ([遇見數學翻譯小組] 核心成員)
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