近年來，幾何中因動點而產生線段最值問題廣泛出現，成為中考的熱點和難點。此類題型一般都會以選擇或填空的壓軸形式出現，其中又以構造"隱形圓"來解決最值問題，條件隱藏較深，學生難以把握哪些題型需要構造"隱形圓"處理，巧妙地引入輔助圓，轉化為利用圓的幾何性質來解決，往往會使問題思路豁然開朗，運算簡單便捷，過程清晰明瞭，引人入勝。
典型考題
1．（2019春•新密市期中）數學興趣小組在"中學生學習報"中瞭解到"直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半"，用含30°角的直角三角板做實驗，如圖，∠ACB＝90°，BC＝6cm，M，N分別是AB，BC的中點，標記點N的位置後，將三角板繞點C逆時針旋轉，點M旋轉到點M′，在旋轉過程中，線段NM′的最大值是（ ）
A．7cm B．8 cm C．9cm D．10cm
【解析】：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，
∵M，N分別是AB，BC的中點，∴CM＝6，CN＝3，
∵將三角板繞點C逆時針旋轉，點M旋轉到點M′，
在旋轉過程中，點M′始終在以C為圓心，CM為半徑的圓上，
∴當M′旋轉當與B，C在一條直線上時，即到D的位置時，線段NM′的值最大，即NM′的最大值＝DN＝6+3＝9，故選：C．
2．（2019•霍邱縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點D是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉一週，在旋轉的過程中，點D的對應點為點E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】：如圖，作CH⊥AB於H，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理求得AB＝10，
∵1/2CH•AB＝1/2AC•BC，∴CH＝24/5，
∵點D是AC的中點，∴CD＝4，
∵將CD繞著點C逆時針旋轉，在旋轉過程中點D的對應點為點E，
∴CE＝4，即點E在以C為圓心，4為半徑的圓上，
∵點E在HC的上，點E到AB的距離最小，
∴S△AEB最小值＝1/2×10×（24/5 -4）＝4故選：D．
3．（2019•龍泉驛區模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為_______．
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根據勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，
設點G到AC的距離為h，
∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝1/2AD×CD+1/2AC×h＝1/2×4×3+1/2×5×h＝5/2h+6，
∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，
∵點G是以點E為圓心，BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內部的一部分點，
∴EG⊥AC時，h最小，即點E，點G，點H共線．
由摺疊知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延長EG交AC於H，則EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC/AC=4/5，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝EH/AE=4/5，
∴EH＝4/5AE＝8/5，
∴h＝EH﹣EG＝8/5﹣1＝3/5，
∴S四邊形AGCD最小＝5/3h+6＝5/2×3/5+6＝15/2．
故答案為：15/2．
4．（2019•錦州中考題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線摺疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是________．
【解析】：∵四邊形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD邊的中點，∴AM＝MD＝1.
∵將△AMN沿MN所在直線摺疊，∴AM＝A'M＝1，
∴點A'在以點M為圓心，AM為半徑的圓上，
∴如圖，當點A'在線段MC上時，A'C有最小值，
∵由勾股定理可求得MC＝√10，
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝√10﹣1.
5．（2018•連雲港模擬）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為_______．
【解析】：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC,∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O於點P，此時PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴由勾股定理可求得OC＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值為2． 故答案為2．
6．（2019秋•河西區期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，將射線AC繞點A按順時針方向旋轉α度（0＜α≤360°），得到射線AE，點M是點D關於射線AE的對稱點，則線段CM長度的最小值為_______．
【解析】：如圖所示：連接AM．
∵四邊形ABCD為正方形，∴由勾股定理可求得AC＝√2．
∵點D與點M關於AE對稱，∴AM＝AD＝1．
∴點M在以A為圓心，以AD長為半徑的圓上．
如圖所示，當點A、M、C在一條直線上時，CM有最小值．
∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝√2﹣1，故答案為：√2﹣1．
7．（2019秋•自貢期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，且∠AOC＝120°，⊙O的半徑為2，P為圓上一動點，Q為AP的中點，則CQ的長的最值是_________ ．
【解析】：如圖，連接OQ，作CH⊥AB於H．
∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，
∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝1/2OC＝1，CH＝√3，
在Rt△CKH中，由勾股定理可求得CK＝√7，
∴CQ的最大值為1+√7.
8.（2019秋•南平期末）如圖，△ABO為等邊三角形，OA＝4，動點C在以點O為圓心，OA為半徑的⊙O上，點D為BC中點，連接AD，則線段AD長的最小值為__________.
【解析】：如圖1，取OB的中點E，
在△OBC中，DE是△OBC的中位線，
∴DE=1/2 OC=2，即點D是在以E為圓心，2為半徑的圓上，
∴求AD的最小值就是求點A與⊙E上的點的距離的最小值，
如圖2，當D在線段AE上時，AD取最小值2√3-2.
9．（2018•臨潁縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF的長取最小值時，BF的長為________．
【解析】：由題意得：DF＝DB，
∴點F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D； 連接AD交⊙D於點F，此時AF值最小，
∵點D是邊BC的中點，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，
由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2
∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5﹣3＝2，
即線段AF長的最小值是2，
連接BF，過F作FH⊥BC於H，
∵∠ACB＝90°，
∴FH∥AC，
方法總結
最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態問題，所以才會有最值．在將軍飲馬問題中，折點P就是那個必須存在的動點．並且它的運動軌跡是一條直線，解題策略就是作端點關於折點所在直線的對稱即可．
當然，動點的運動軌跡是可以變的，比如P點軌跡也可以是一個圓，就有了第二類最值問題——輔助圓．
在這類題目中，題目很少直接告訴我們動點軌跡是個圓，也很少把這個圓畫出來，因此，結合題目給的條件，分析出動點的軌跡圖形，將是我們面臨的最大的問題．
若已經確定了動點的軌跡圓，接下來求最最值的問題就會變得簡單了，比如：如下圖，A為圓外一點，在圓上找一點P使得PA最小．
應用的幾何性質： ① 三角形的三邊關係：兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊； ② 兩點間線段最短； ③ 連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短； ④ 定圓中的所有弦中，直徑最長。
幾何圖形中的最值問題多涉及動點，對於這類問題的解答，首要的關鍵在於分析動點的運動軌跡，而這一點往往具有較大的難度。常見情景為在動點的運動過程中，若動點與兩個定點所成的角度的大小保持不變，則該動點的運動軌跡是以兩個定點的連線為弦的圓上的一段圓弧。
若對於動點的運動軌跡，若一時難以判斷，可通過多畫幾個圖形，利用動點在不同位置的各個圖形進行比較，猜想動點的運動軌跡是什麼圖形，再加以分析。要學會思考，總結，通過一道小題目去撬開這類題型的解題方法，只有這樣才能真正掌握學習的真諦，才能達到舉一反三的能力。
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