近年来，几何中因动点而产生线段最值问题广泛出现，成为中考的热点和难点。此类题型一般都会以选择或填空的压轴形式出现，其中又以构造"隐形圆"来解决最值问题，条件隐藏较深，学生难以把握哪些题型需要构造"隐形圆"处理，巧妙地引入辅助圆，转化为利用圆的几何性质来解决，往往会使问题思路豁然开朗，运算简单便捷，过程清晰明了，引人入胜。
典型考题
1．（2019春•新密市期中）数学兴趣小组在"中学生学习报"中了解到"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，用含30°角的直角三角板做实验，如图，∠ACB＝90°，BC＝6cm，M，N分别是AB，BC的中点，标记点N的位置后，将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，线段NM′的最大值是（ ）
A．7cm B．8 cm C．9cm D．10cm
【解析】：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，
∵M，N分别是AB，BC的中点，∴CM＝6，CN＝3，
∵将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，
在旋转过程中，点M′始终在以C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当M′旋转当与B，C在一条直线上时，即到D的位置时，线段NM′的值最大，即NM′的最大值＝DN＝6+3＝9，故选：C．
2．（2019•霍邱县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】：如图，作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理求得AB＝10，
∵1/2CH•AB＝1/2AC•BC，∴CH＝24/5，
∵点D是AC的中点，∴CD＝4，
∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，
∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，
∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，
∴S△AEB最小值＝1/2×10×（24/5 -4）＝4故选：D．
3．（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_______．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝1/2AD×CD+1/2AC×h＝1/2×4×3+1/2×5×h＝5/2h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC/AC=4/5，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝EH/AE=4/5，
∴EH＝4/5AE＝8/5，
∴h＝EH﹣EG＝8/5﹣1＝3/5，
∴S四边形AGCD最小＝5/3h+6＝5/2×3/5+6＝15/2．
故答案为：15/2．
4．（2019•锦州中考题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________．
【解析】：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD边的中点，∴AM＝MD＝1.
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，
∵由勾股定理可求得MC＝√10，
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝√10﹣1.
5．（2018•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为_______．
【解析】：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC,∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴由勾股定理可求得OC＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2．
6．（2019秋•河西区期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为_______．
【解析】：如图所示：连接AM．
∵四边形ABCD为正方形，∴由勾股定理可求得AC＝√2．
∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．
∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．
如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝√2﹣1，故答案为：√2﹣1．
7．（2019秋•自贡期末）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_________ ．
【解析】：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝1/2OC＝1，CH＝√3，
在Rt△CKH中，由勾股定理可求得CK＝√7，
∴CQ的最大值为1+√7.
8.（2019秋•南平期末）如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为__________.
【解析】：如图1，取OB的中点E，
在△OBC中，DE是△OBC的中位线，
∴DE=1/2 OC=2，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，
∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，
如图2，当D在线段AE上时，AD取最小值2√3-2.
9．（2018•临颍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．
【解析】：由题意得：DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，
由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2
∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5﹣3＝2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，
∴FH∥AC，
方法总结
最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．
当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．
在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．
应用的几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
几何图形中的最值问题多涉及动点，对于这类问题的解答，首要的关键在于分析动点的运动轨迹，而这一点往往具有较大的难度。常见情景为在动点的运动过程中，若动点与两个定点所成的角度的大小保持不变，则该动点的运动轨迹是以两个定点的连线为弦的圆上的一段圆弧。
若对于动点的运动轨迹，若一时难以判断，可通过多画几个图形，利用动点在不同位置的各个图形进行比较，猜想动点的运动轨迹是什么图形，再加以分析。要学会思考，总结，通过一道小题目去撬开这类题型的解题方法，只有这样才能真正掌握学习的真谛，才能达到举一反三的能力。
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