來源 | 數學愛好者社區作者 | G. L, Alexanderson

1977 年 12 月 13 日，是斯坦福大學名譽數學教授 George Polya 的 90 歲生日。該校數學系在教員俱樂部為他舉辦了祝壽宴會。那天，Polya 教授的許多朋友和過去的學生觀聚一堂；不少教授就他的工作致了頌詞。

來賓中有：Polya 過去的學生，斯坦福大學校長 Halsey Royden；斯坦福大學計算機科學系教授 Danald Knuth；紐約大學 Courant 研究所所長、美國數學會本屆主席 Peter LaX 教授；加里福尼亞大學貝克萊分校統計學教授 Jerzy Neyman；斯坦福大學名譽物理教授、Nobel 獎獲得者、Polya 在瑞士聯邦技術學院的學生 Felix Bloch。

跟他有過長期合作的同事、斯坦福大學教授 Gabor Szego，雖然健康狀況不佳，也趕來參加了慶宴。與會者的踴躍，標誌著 Polya 教授對數學和教育的廣泛影響。

搞研究的數學家熟識他，因為他們是他的同事或合作者；二年制或四年制大學的教師認識他，因為他們深知他的數學成就，他為數學教育所做的努力、以及他跟美國數學聯合會的長期合作關係；有不少中學教員認識地，因為 Polya 曾在斯坦福舉辦的許多教師進修班上教過他們。

正如 Royden 校長在會上提到的：他的許多數學發現，在未來的許多年裡仍將是研究生攻讀的內容。這些發現涉及相當廣泛的數學領域：實分析與複分析，概率論，組合理論，數論，幾何及其他一些領域。由於這些貢獻，他被好幾個國家的科學院選為院士，其中包括有威望的巴黎科學院。

Neyman 教授指出，Polya 的《怎樣解題》(How to Solve It)已被譯成 15 種文字；他的《數學的發現》(Mathematica1 Dis-covery）也已有 8 種譯本。教師們把 Polya 的名字跟這些著作以及其它許多運用發現數學的方法解題和教學的作品融成一體，“按 Polya 的風格”、“Polya 的方法”成了各地數學教師的專用語。Polya 的作品清晰、優美，在數學書刊中是很難得見到的。讀他的書或文章，幾乎是一種享受。他在選擇研究課題和具體問題時，表現出罕見的、深刻的鑑賞力。

生日宴會後幾天，作者訪問了他，下面是這次訪問的摘要。

訪問者：統觀你的數學工作，人們欽佩你在如此廣泛的領域從事研究，而且在許多領域做了重要貢獻。對許多數學家來說——不論他的能力如何，這都是超凡的記錄。請問你是怎麼做到這一點的？你怎麼能在如此眾多的領域找到那麼多好的問題？

Polya：部份原因是受了我的老師以及當時的數學風尚的影響。後來，又受到自己在發現數學時的興趣的驅使。有少數幾個問題，我是想找出如何處理有關的一整類問題的辦法。說得更遠一點，我並非一上來就是搞數學的，我所經歷的迂迴曲折的道路，也對我有影響。

數學，介於哲學、物理之間

訪問者：是指你搞過哲學和物理嗎？

Polya：不，問題要更復雜些。我最初學的是法律，不過只維持了一個學期，就再也沒辦法忍受了。接著，我攻讀了兩年語言和文學。兩年後，經考試取得了教師資格證書，可以在預科學校低年級——學生年齡從 10 歲到 14 歲——教拉丁語和匈牙利語。但這張證書我從來沒用過。後來，我又學習哲學、物理和數學。

事實上，我不是直接選中數學這一行的。我真的對物理和哲學更有興趣，對這兩門學科中的思想感興趣。下面的說法雖然略顯籠統，但也不失大意：我認為我搞物理不大靈，搞哲學綽綽有餘，搞數學則介於兩者之間。

訪問者：我記得在概率論、組合理論、幾何、代數、數論，當然還有函數論等領域，都有你的定理。請問是否還存在哪一個數學領域是你不屑一顧的？

訪問者：我發現某些經典問題正在用新的嚴格性加以檢驗。

例如，有些年輕數學家在積極地探索解決像 Riemann 猜想這類問題。幾年前，在溫哥華舉行的會議上，Riemann 猜想就受到了極大的關注。您願意評論一下五十年代、六十年代以及七十年代數學發展的方向和數學風尚嗎？

Polya：當然可以。不過別把我的評論看得那麼認真。首先，我對最新的數學沒做研究；同時，我有自己的偏好。我過去總是對漂亮的應用感興趣。我感到，除了確實在推動數學前進的數學家之外，他們的追隨者中，至少有些人被搞推廣的思想纏住了，什麼東西都在那兒推廣。他們的理想似乎就是搞出具有完美的一

般性的數學定理，而這類完美的一般性定理卻導不出特殊的結果。

Polya：我不好打賭。相反，我相當謹慎。如果非要我打賭，我將說：今後十年內不可能證明 Riemann 猜想。我認得幾個人，都是非常出色的人物，他們在搞 Riemann 猜想。儘管如此，我還是下這樣的賭注——今後十年內證明不了……，這是你非要我下賭的呀！注：

Polya 和 Weyl 的賭局

G. Polya 和 H. Weyl 按下述協議打賭。內容涉及當今數學

中的以下定理：

（1）每一個有界實數集有上確界。

（2）每一個無限實數集有一個可數子集。

Weyl 預言：

A. 20 年內（即到 1937 年底），Polya 本人或大多數一流數學家將承認，上述定理中涉及的、也是我們今天普遍需要依賴的實數、集合和可數性概念，完全是含混不清的；要問目前含義下的這些定理的真偽，比問 Hegel 自然哲學中的主要論斷的真理性更加沒有意義。

B. Polya 本人或大多數一流數學家將承認：無論怎樣措詞，按照一種合理的、可行的、清晰的解釋（如何認定這種解釋，或者通過討論，或者到那時已有定論），定理（1）和（2）都是錯的；或者，如果在規定時間內找到了這兩個定理的清晰的解釋，使得至少有一個是正確的，那麼，必然出現某個有生命力的成果，通過這一成果，數學基礎將出現一次新的、開創性的轉折。數和集合的概念也將具有我們今天尚無法預見的一種新的含義。

如果上述預言實現，則 Weyl 嬴；否則，Polya 獲勝。

如果規定時間到期，他們對輸嬴不能達成一致意見，那麼，將邀請瑞士聯邦研究院、蘇黎世大學、格廷根大學和柏林大學的數學教授（賭者除外）一起來評判，並以多數人的意見為準；若仍不分勝負，賭局輸嬴將被認為是未定的。輸家將承擔義務，自費在德國數學會《年鑑》上公佈打賭的條件並認輸。

H. Weyl，G. Polya1918．2．9．于于蘇黎世

有影響的數學人物

Polya：好。一定要我說的話，我必須說出四個名字。我受 Fejer 的影響不小，跟我同一時代的匈牙利數學家個個如此。實際上，我跟 Fejer 合作幹過幾件小事。

在他的一兩篇文章裡，包含有我的看法；同樣，我的一兩篇文章裡也有他的見解。但這算不上是真正深刻的影響。Hurwitz 對我的影響要深刻得多。我到蘇黎世去的目的，就是為了接近他。我們之間有長達 6 年之久的密切交往；從 1914 年我到蘇黎世起，直到他去世——我記得那是 1919 年。我們合寫過一篇文章，但影響絕不止於此。他給我的印象特別深，我編輯了他的著作，那些手稿深深地打動了我。

再就該提到 Hardy 和 Littlewood 了，這是有書——我們寫的書——為證的。Hardy 的人品和學識，對我產生了非常大的影響。不過，跟我合作的時間最長，關係最為密切的還要屬 Szego。我跟他一起寫了兩本書和若干篇文章，合作十分親密。我們的興趣極其相似又各有千秋。

我們感興趣的問題都是相同的。不過，對有些問題，他知道更多的解決辦法，對另一些問題則相反，我知道得多些。就這樣，我們通過寫書、作論文，經年累月地互相補足，各趨完善。

訪問者：歷史上有哪些數學家，比如十七或十八世紀的數學家，對你的影響最大？

Polya：在前輩數學家中，當然是 Euler 對我的影響最大。主要原因在於，Euler 做了一些跟他才能相當的偉大數學家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發現他的結果的。對此，我是如獲至寶。當然，這跟我解題的興趣有關。我沒有通曉 Euler 的全部工作，只知道其中極小的一部份。Euler 的著作約有七十大卷，我只讀了一小部份。我不是個好的讀者。他的少數幾篇作品我是下了功夫讀的。

解題的藝術

訪問者：這正好接上了我要提的下一個問題。你是怎麼對啟發式教學和解題藝術發生興趣的？是不是受了哪個人或某件事的影響？

Polya：我想我已在什麼地方說起過。對了，是在我的一本書裡。我很晚才開始搞數學，曾對生物、文學和哲學有興趣。當我開始念數學並學到一點東西之後，就產生了這樣的念頭：呀，原來是這樣。證明似乎沒有爭論的餘地，不過，我們是如何發現這些結論的呢？我在唸數學時碰到的困難就是：它們是如何被發現的？有幾本書對我影響很大。

我只指出兩本。一本是 Ernst Mach 寫的關於力學史的書。我個人認為，這是我讀過的最漂亮的書。我讀這本書的時機很好，那時我懂得了一點物理，但只懂那麼一點兒，所以正好適合讀這本書。Mach 的主要觀點是，除非瞭解了一門理論是如何被發現的，否則便無法理解它。他寫的最好的、最有名的書是有關力學的。當然還寫有其它內容的書，如討論熱的理論的著作。不過主要的思想是一個：為了真正理解一門理論，你必須知道它是怎麼發現的。所以，他走的是啟發式教學的路子。

實際上，他的著作裡包括一些直接討論如何解決問題的方法。於是，我開始琢磨這個問題；無意中我又看到了笛卡爾的《思想的推導法則》。這確實是闡述如何解題的，但任何一本哲學史著作都忽略了這一點，因為研究笛卡爾的歷史學家並不懂得如何解題。我對文學的興趣也不無益處。

在研讀過的文學作品中，我最喜歡 Hippolyte Taine 的書。他用類似於寫科學著作的筆法撰寫文藝作品。在論述非確定性的（模糊的）主題時，居然融過了近似科學的方法，使我深感驚訝。當然，我對啟發式教育本身的興趣也起了作用。什麼是啟發式教育，這個問題本質上是個模糊的問題。你可以在這個模糊的課題中，加進某些必須按科學性辦事的規則。我想，這是從 Taine 那裡學來的。我還很欣賞他的寫作風格。

訪問者：請談談你和 Gabor Szego 是怎麼認識的，Aufzgabenund lehrsatze（數學分析中問題和定理）是怎麼寫成的？

Polya：好！你瞧，我比他大 7 歲，或者是 8 歲。我拿到博士學位，已經在國外靠獎學金搞研究時，碰到了還在當學生的 Szego。我們志趣相投。當時，我對 Fourier 係數有一個猜想，他給出了證明。

訪問者：這是哪一年的事？

Polya：我說不準了，大約是在 1913 年。

訪問者：在什麼地方？

Polya：布達佩斯。當時，我大部份時間呆在國外，回國時總要到布達佩斯大學訪問。我遇到他和他的未婚妻時，他還是個學生。

訪問者：你們合寫的書首次出版時的反應如何？它們確實與眾不同！

Polya：是的，它們有點新鮮味，反映不錯。也許人們沒有過份強調它們與眾不同。這些書的新穎之處在於：把問題集中起來，不是按內容而是按解題的方法進行分類。人們並不是馬上就接受這種安排的。但從各方面來的反應都不錯。

訪問者：是 1925 年出版的嗎？

Polya：大概是吧！

怎樣解題

訪問者：在《怎樣解題》這本書中，你探索瞭解題的一般方法；而在《數學的發現》中，你從初等數學中選出了代表各種類型和原理的許多具體問題。早些時候的著作則討論更高深的內容。

Polya：應該說，《怎樣解題》對讀者要求的預備知識最少。凡是對數學有興趣的人，只要知道一丁點兒數學就可以來讀它。當然，他可能在某些方面不得要領。

訪問者：不過從數學上看，《Aufgaben und Lehrsatze》和《數學和猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）確實比《數學的發現》要高深一些。

Polya：那當然。《數學的發現》這本書的難易程度，介於那兩本書和《怎樣解題》之間。我認為它對中學水平的人最適用。你一定知道，那些詳細的例題，老師幾乎無需改動就可以拿到課堂上講。我覺得這本書最適合在中學使用。

訪問者：我還想問一個這方面的問題。你什麼時候對初等教育發生興趣的？是否跟你在教師進修班給中學老師講課有關？

Polya：不，我老早就有志於此。我告訴過你，我有一份在低年級教拉丁語和匈牙利語的教師資格證書。實際上，我拿到過在預科學校各個年級教數學、物理、甚至是哲學的教師資格證書。持有這種證書的人非有實際教學經驗不可，可見我曾在中學教過書——他們稱作預科學校，學生年齡在 10 歲到 18 歲之間。當然，預科學校跟現在的中學有某些差別。

我當過一年真正的教師，積累了教學經驗。我要告訴你，我曾兩度操筆寫這本《怎樣解題》。在蘇黎世時，我用德文寫了一個大綱。後來我去了美國，此舉對完成這部書很有益處，因為美國人對“如何去做……”之類的書很感興趣。順便提一句，Hardy 有先見之明，他對我作過預言。當我告訴他要寫這本《怎樣解題》時，他說：“喔，你必須去美國”。到美國後，我又從頭開始寫，最後用英文完稿出版。它跟原來的德文稿相差甚遠；不過我覺得是更好些。

訪問者：你希望今後若干年內數學教育應朝什麼方向發展？

Polya：數學教育已經在離開“新數學”的軌道了，應該離得更遠些才好。有位法國數學家，我說的是 Rene Thom，他認為新數學是“哲學和教學上的錯誤”。我並不懷疑“新數學”的倡導者們有良好的願望，但他們畢竟是錯了。

訪問者：教書、研究、寫作、講演，你最喜歡哪一樣？

訪問者：你是不是有些打算寫而還沒著落的書或文章？

Polya：我想總結一下我的工作——也許就順著這次採訪的路子寫。不過，我還沒搞出一個令人滿意的計劃。

譯後記：Polya 教授是世界知名的數學家和教育家。他的名著《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》及《數學分析中的問題和定理》的第一卷，都已有了中譯本。Polya 教授於 1985 年 9 月 7 日在美國病逝，享年 97 年歲。

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