勾股定理是8年级课本重要内容，属于初中阶段重要知识点，也是各类考试重点考察内容。特别是利用勾股定理求最短距离的问题，很多学生都感觉到困难，下面就针对如何巧用勾股定理求最短路径长进行讲解。
求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．
典型考题
技巧1：用计算法求平面中的最短问题
1．（2019秋•盐都区期中）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．
【解析】：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路．
∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km，
变式1．（2019秋•连云港期中）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
【解析】：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD﹣5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
技巧2：用平移法求平面中的最短问题
2．（2019秋•越城区校级期中）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_____ 米长．
【解析】利用平移的观点，把每一个台阶水平及竖直部分平移，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
根据勾股定理，可得求得楼梯水平长度为8米，
则红地毯至少要8+6＝14米．故答案为：14．
变式.如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这块红地毯至少要多大？
【解析】：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为10米，8米，故地毯的长度为8+10＝18（米），则这块红地毯面积为：18×5＝90（m2）．
技巧3：用对称法求平面中的最短问题
3．（2018秋•灌云县期末）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？
4．（2019•金台区二模）问题探究：
（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为_____．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝1/4BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．
问题解决：
（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．
【解答】：（1）如图，作三角形外接圆⊙O，作直径AD，连接BD，
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，
（2）如图2，作点E关于BD的对称点E′，连接E′C交BD于P，连接PE，此时△PEC周长周长最小．
连接BE′，过E′作E′H⊥BC，
（3）如图3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，
∴当AB＝AC时，边BC取最小值，∴此时BC＝AC＝20√3，
作▱ABCD，作A点关于直线BC的对称点A′，连接A′D，AB+AC＝CD+A′C，当A′，C，D在一条直线上时，AB+AC最小，
此时，△ABC应为等边三角形，AB+AC＝40√3，
∵AB+AC和BC的最小值能够同时取到，故△ABC的周长最小值为60√3．
技巧4：用展开法求平面中的最短问题
5．（2019秋•垦利区期中）我国古代有这样一道数学问题："枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根缠绕而上，三周而达其顶，问葛藤之长几何？"题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为24尺，底面周长为6尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕三周后其末端恰好到达B处，则问题中葛藤的最短长度是_______ 尺．
【解析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC＝24尺，AC＝6×3＝18尺，
答：葛藤长为30尺．故答案为：30．
6．（2019秋•德惠市期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．√481dm B．20dm C．25dm D．35dm
【解析】：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：
解得：x＝25（dm）．
故选：C．
7．（2019秋•遂宁期末）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（ ）
A．√145 B．√205 C．√277 D．17
【解析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
方法总结
1、解决有关立体图形中路线最短的问题，关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题，如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等。
2、平面图形中利用计算、平移、对称等方法，运用平面上两点间线段最短的道理，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可。
3、长方体的展开图有三种不同的情况，计算后进行比较。
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