几何的分类讨论，没有最难只有更难，值得关注一类特殊问题
数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。随着中学数学改革的深入，中考试题正从知识型转变为能力型，更加突出了对数学思想方法的考查。分类讨论是中考数学中必考的思想方法。
题型解析
许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论。
分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略．在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确．在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用。
中考涉及到分类讨论情形的问题，简单归纳一下，主要有以下四种常见题型（引起分类讨论的主要因素）：
（1）概念型：
问题所涉及到的数学概念本身就是分类进行定义的。例如：绝对值、相切、相离等。
（2）形状不确定性：
问题中，图形的形状是不确定的。例如：等腰三角形、直角三角形、四边形、相似形等。
（3）位置不确定性：
问题中，图形的位置是不确定的。例如：点与直线的位置关系（在其上或在其外）、三角形边上的高（在形内或形外）等。
（4）参数型：
解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论。
下面针对第2类型，图形形状不确定型中无附图问题，没有给出几何问题图形，往往需要我们认真仔细挖掘图形可能存在不同形状，才可正确完美求解问题。
经典考题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为______．
【解析】分两种情形：AC为等腰三角形的腰或底边分别求解即可．
如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝√3BC＝2√3，
当MA＝MC时，作MT⊥AC，
∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，
∴等腰三角形AMC的腰长为2，
当AC＝AM′＝2√3时，等腰三角形ACM的腰长为2√3，
故答案为2√3或2．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为_____．
【解析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
如图1，当点A在E'D'的延长线上时，
∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，
∴由勾股定理可求得AB＝2√5，
∵点D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝1/2AC＝1，BD＝1/2BC＝2，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∵将△BDE绕着点B旋转，
∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，
∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，
∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝2√5；
如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，
∵∠AD'B＝90°，∴由勾股定理可求得AD'＝4，∴AE'＝AD'﹣D'E'＝3，
∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠ABC＝∠E'BD'，
3．等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为________.
【解析】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可；
分四种情形：①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，
∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝EC＝1，∴AE＝AC﹣EC＝2．
②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．
∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x，
∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD∽△BFE，
∴BD/EF=AB/BF，∴1/x=3/(x+3)，∴x＝3/2，
∴AE＝AC+CE＝9/2
③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．
∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠FBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），∴EC＝BD＝1，∴AE＝AC+EC＝4．
④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．
设EC＝EF＝CF＝m，
由△ABD∽△BFE，可得BD/EF=AB/BF，∴1/x=3/(3-x)，
∴x＝3/4，∴AE＝AC﹣EC＝9/4，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或9/2或9/4．
变式．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为_______．
【解析】点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：
①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BF＝1/2BE＝3/2，∴CF＝3/2+3＝9/2，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝9/2×2＝9；
②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，∴BF＝1/2AE＝9/2，∴CF＝9/2﹣3＝3/2，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝3/2×2＝3；即CD＝9或3．
配套练习
1．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4√3，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为______．
答案：4或8．
2．已知二次函数y＝（﹣x+a）（x+3）的图象经过点M、N，M、N的横坐标分别为b，b+3，点M、N的位置随b的变化而变化，若M、N运动的路线与y轴分别相交于点A、B，且3b﹣a＝m（m为常数），则线段AB的长度为______．
答案：0或3a﹣18或18﹣3a．
3．已知△ABC和一点O，OA＝OB＝OC，∠OAB＝20°，∠OBC＝30°，则∠OCA＝_______°．
【解析】分两种情形：当外心O在△ABC内部时或外部时分别求解．
答案为40或80．
4．AB、AC是半径为2的⊙O上的两条弦，且AB＝2√2，AC＝2√3，那么，AC的弦心距，圆周角∠BAC所对的弧等于______．
答案为π/3或5π/3．
反思总结
有关分类讨论思想的数学问题贯穿中学阶段，尤其于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用。
每当我们努力解决一个非常复杂的问题时，如果能出现一个非常惊人的转折：它把这各个复杂的问题分解为若干的部分，通过简单的方法就能轻而易举的解决了，这就是我们平时所讲的真正的一种数学美。它展现了"建筑"结构上的"优美"，又让你体验了人类在追求的完美的目标，即数学的"简洁美"，清晰易懂和不失数学的严格性．因为人类学习数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。
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