艾伯史密斯

一、肉眼模式下的張紙實際上能對摺多少次

為了回答這個問題，小地特地拿了一張普通的A紙，親自做了一個小實驗，結果發現這張紙對摺到第4次時就已經變形了，再對摺就會導致紙張破損而並非呈現對稱的狀態，因此只能說紙張越薄，對摺的次數（僅限肉眼觀察）越多，但要打破世界紀錄的將3千米長的衛生紙對摺13次，是極其困難的。

二、假設將紙張對摺105次會是一個什麼概念？

如果不考慮紙張在實際對摺過程中所遇到的困難，這將是一個非常簡單的算術題，在以下計算過程中，取A4紙厚度（h）等於0.1毫米（相當於0.0000001千米）。

將紙張對摺後，我們會發現對摺1次時，其厚度為0.0000002，對摺2次時其厚度為0.0000004，對摺3次時厚度為0.0000004，對摺到第39次時期高度值大於赤道周長，而對摺到第42次是則超過了地月平均距離，對摺到66次時則接近太陽系約1光年的直徑（......），其規律是每折1次，其厚度都是被折前的2倍，用公式表示為h=0.0000001*2^n。

通過計算，對摺105次的紙理論厚度為h=0.0000001*2^105=4.06E+24千≈4287.6733光年。而目前觀測的宇宙直徑約為930億光年，也就是說將紙張對摺105次之後的厚度將超出宇宙直徑3.35767E+11光年，相當於超出了361.04%。

怎麼樣，是不是一個不經意的問題就能計算到你懷疑宇宙？實際上，當紙張對摺到102次時，其厚度就已經達到了宇宙直徑的57.63%，而在此基礎上再對摺1次，其厚度就已經超出已知的宇宙直徑15%，約為1071.92億光年。

計算完了厚度，下面小地借題發揮，假如紙被對摺105次，求痕跡有多少？

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地理那些事

普通的紙張對摺六七次已經很難，曾經麻省理工學院利用很長很長的紙也只不過對摺了13次。而對摺105次是什麼概念呢？

我們來看。

假設一張紙厚度為0.1毫米，那麼對摺一次，厚度翻倍0.2毫米，第二次0.4毫米，第三次0.8毫米，第四次1.6毫米。可以看出，每次都是翻倍的增加，不知道你看到這樣的情況，是不是感覺有點兒像2^n。

不要震驚，對摺27次，這張紙的厚度已經達到了13公里了，對摺28次，厚度為26公里，緊接著是52公里、104、208、416、832、1664、3328、6656、13312、26624、53248、106496、212992、425984（到這裡時，已經超越了地月平均距離38萬公里）....................

可以看出指數爆炸的威力了吧。

對摺到51次時，總厚度已經超過2.25億公里，而日地的平均距離不過才1.5億公里。

對摺88次，請不用驚訝，不用張大嘴巴。

此時厚度已經超過327萬光年，已經相當於一個Mpc（百萬秒差距=326萬光年）。

對摺到100次，此時紙張的厚度等於0.1毫米乘以2^100了，不用驚慌，請帶上你的毛巾，站住了聽：130億光年。

以下：

101次：260億光年；

102次：520億光年；

103次：1040億光年（超出可觀測宇宙範圍）；

104次：2080億光年；

105次：4160億光年。

4160億光年，我們不知道它究竟有多遠，只知道那是無法想象的距離。

對此你們有什麼看法呢？歡迎在下方留言探討。我是科幻船塢，感謝大家的閱讀與關注

科學船塢

一張普通的薄紙張最多可以折9～10次 。並且紙張每摺疊一次，其厚度都會增加一倍。按一般的紙張也就0.1毫米來計算。就是0.1毫米乘以2的105次方。記作0.0001╳2^105米。

0.0001╳2=0.0002，

0.0002╳2=0.0004

0.0004╳2=0.0008

0.0008╳2=0.0016……一直成到第105個2就可以了。最後的出來的答案是=40,564,819,207,303,340,000,000,000,0000米（單位）。宇宙的直徑是930億光年，一光年等於9,460,730,472,580,800米。那麼一張紙張摺疊105次的厚度就是4,287,704,773,41光年。也就是大約4288億光年。4288億光年跟宇宙厚度930億光年對比一下，很明顯，前者跟厚一點。

也就是說一張白紙張摺疊105次之後的厚度，可以超的上宇宙厚度的4.6倍了。當然了宇宙的大小也許不僅僅只有930億光年，甚至更大。930億光年也僅僅是人類可觀測的範圍了。因為宇宙一直在以超光速的速度膨脹，所以呢？宇宙也在慢慢的變大。

宇宙的從一個點爆炸出生到現在只有139億年的歷史。然而現在宇宙的體積卻是930億光年。可見宇宙的膨脹速度驚人。

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時間史

一張紙對摺105次，那麼厚度就是一張紙的厚度×2的105次方，lg2=0.3010, 0.301×105=31.60，如果按一張紙的厚度是100張1釐米，就是10000張1米，也就是10的-4次方米。那麼31.60-4=27.6，就是說對摺105次後，厚度是10的27.6次方米，10的0.6次方大約是4,就是4後面有27個0, 1後面有8個0那是1億，4後面有27個0是多少，你自己能想清楚吧？！4000,000,000,000,000,000,000,000,000

米，也就是40,000,000,000,000,000,000億米，也就是40,000,000,000,000,000億千米或者說億公里=4，000，000，000，000萬億公里，看著就怪瘮人的，

現在推測宇宙直徑930億光年，那麼也就是930億×3600×24×365×30萬公里=879，854，400，000萬億公里，

把二者對比一下，單位都是萬億公里，前者是13位數，後者是12位數，明顯前者比後者大，二者比例關係是40:8.8=400:88=50:11≈4.5

所以說，對摺105就裝不下了，這個說法是靠譜的，對摺103次差不多費點勁剛好裝下，

再說了，根本就不可能對摺105次，對摺5次就是32倍，對摺6次就是64倍，再往上，個人基本不可能，除非運用其他工具！！

warren吳

首先我們要確定宇宙到底有多大。當然這個是很難確定的，這裡我們就以可觀測宇宙直徑作為標準，930億光年。

平時我們都用紙張作為對摺行為，感覺對摺很簡單，甚至會下意識地認為一張紙可以隨意對摺。事實上並不是這樣的，只是一般情況下我們對摺時都不會超過5次。

那麼一張紙最多能對摺多少次呢？

純理論分析，只要一張紙足夠長（當然紙越薄越好），就能一直對摺。但是，現實中，普通的紙張對摺6次就很難繼續了。而人們進行過的最多的對摺次數是13次，是美國師生用了4公里的廁紙對摺完成的，整個過程用了4個小時！

不要認為6次和13次相差不大，事實上相差很大，每對摺次數增加一次，就是一次幾何式數量級的增長。

那麼對摺105次後，會是什麼結果呢？

假設一張紙0.1毫米，對摺一次厚度翻倍，通過簡單的數學計算很容易得出結果，就是2的n次方。對摺105次後，總厚度將會達到4160億光年！遠遠超過了宇宙的直徑930億光年，完全可以輕鬆放下整個宇宙！

宇宙探索

如果這是一張能在自然界真實存在的紙。以A4紙為例，厚度0.1毫米，按照指數爆炸的思路，很容易算出對摺105次後的厚度是4288億光年，超出了現有可觀測宇宙的直徑（930億光年），但這其中隱藏著許多陷阱：

一、一張紙不可能對摺105次，姑且不論到了後期怎麼實現對摺（折了多次後，不管什麼材料的紙也會被折破，因為沒什麼東西能承受這種拉伸了），我們假設把紙切成兩半再翻上去摞起來也算對摺，即使如此，還是存在微觀和宏觀兩個方面的難題：

在微觀方面，假設使用的是一張0.1mm厚A4紙，尺寸是210mm×297mm，就算它300mm見方吧，在對摺31次後，其寬度將只有140pm，小於碳原子的直徑（182pm），再對摺一次，寬度將小於氫原子的直徑（106pm），這已經是最小的原子半徑了，如果想再對摺下去，勢必要把原子也切開，這樣無論如何也形成不了化學鍵，這張紙就不可能是穩定的物體，而是化為等離子體，飄散在茫茫宇宙中。

在宏觀方面，很多網友可能沒有想到光速的限制。假設紙當前的厚度是d，將其切成兩半再翻上去，其遠端需要運動的距離是π*d，我們仍然假設紙的初始厚度為0.1mm，並且以光速摺疊，因為任何物體的運動速度不可能超過光速，所以這已經是最快的摺疊速度。根據我初步計算，對摺105次需要的時間達到了13470億年，這是個什麼概念？根據最流行的大爆炸理論，當前宇宙的年齡是138億年，完成對摺壯舉的時間是宇宙年齡的100倍！

二、即使能對摺105次，厚度達到4288億光年，宇宙依然能放得下它。因為宇宙是在不斷膨脹的，前面說過，可觀測宇宙的直徑大約是930億光年，而根據哈勃定律，在距離我們144億光年處，宇宙膨脹速度已經達到光速，再遠了就超過光速了（宇宙膨脹是一種空間膨脹，超過光速並不違反相對論）。而根據前面的計算，我們對摺時，厚度增加的速度是光速/(0.5*π），大約是光速的1.57分之一，就算增加速度達到光速，也追不上可觀測宇宙的膨脹速度，所以說，可觀測宇宙容下這張被折的面目全非的紙是毫無問題的！

最後，不要忘了“不可觀測宇宙”的存在，其直徑達到了23萬億光年，在它面前，區區4288億光年，真的是滄海一粟！

人馬座A

數學課本在講到數列的時候有一個故事，大意是數學家和皇帝下棋，數學家贏了後和皇帝要麥子

目前的實際宇宙大小我們並不清楚，只知道可觀測宇宙是一個以地球為中心半徑465億光年發球體，這個球體的直徑是930億光年，也就是說每秒三十萬公里需要930億年才能從一端飛到另一端。

現實生活中沒有任何一張紙可以對摺103次，但好在我們可以假設

一張厚度為0.1毫米的紙對摺10次後厚度會達到10釐米，第11次就是20釐米，第12次就是40釐米，第20次後這張紙的厚度就會達到105米左右，第21次210米，第22次420米，第30次後107374米，第40次後11萬千米，在這個基礎上再摺疊兩次，這張紙的厚度就能超過38萬千米的地月距離。

超過地月距離就意味著這張紙厚度超過了一光秒，此後只需要從一光秒開始翻倍就行了，第50次摺疊之後厚度達到6光分，84次摺疊後厚度達到20萬光年，已經摺出銀河系了。

對摺100次後紙張厚度會達到133億光年左右，已經和宇宙的直徑處於同一量級了，只要再對摺三次，厚度就能超過可觀測宇宙直徑，進入到更廣闊的未觀測宇宙中。

也就是說從第103次對摺之後，可觀測宇宙內就塞不下這張紙了，第105次對摺完畢後這張紙的厚度會達到可觀測宇宙直徑的4倍以上，也就是大概3600多億光年。

宇宙觀察記錄

一張紙摺疊105次，就算摺疊後的面積只有1平方米，大約需要與100萬個地球重量相當的紙，假設一張A4打印紙的厚度大約是0.104毫米，就以0.1毫米，感覺很容易摺疊計算，但是我們平時肯定有過這種經歷，一張紙摺疊六七次就很難摺疊了，這是因為沒摺疊一次，紙的厚度，都是成幾何倍數增長的，假設真的重疊了105次，那麼紙張的厚度大約會達到一個難以想象的長度—4000億光年，就算摺疊後的面積是1平方米，那這張紙的重量會達到5.6*10^27噸，大約相當於100萬個地球的重量。

喵搞哦

不請自來，我們都知道一張紙折不了這麼多次。紙能夠折多少次，與紙的面積無關，但與紙厚度有關。正常的普通紙也就能折7-8次，藉助機器大概可以折9-10次。

題目如果忽略這個問題，那就是存粹的數學題，好多人已經答過了。我呢就從材料和力學的角度，分析下為何紙最多也就能折7-10次。

1、紙的參數

普通的A4紙，210mm×297mm，厚度約0.104mm。去年，我曾對紙杯用紙做過一些實驗，測得了一些數據，如下圖。假設是正交各向異性，得到兩個彈性模量分別為1065MPa和563Pa。在這裡，為了更加簡化，認為紙是各向同性的，彈性模量取其平均值：634MPa。此外，紙的泊松比根據文獻資料取0.34。平均斷裂應力為19MPa。

2、摺紙的層數

把一張紙對摺，是一個彎曲的過程，我們可以用殼模型進行分析。不過在這裡，為了簡化問題，視為一維梁問題。即：一張紙簡化為一條紙，然後不斷對摺。如下圖。

假設對摺後，上下層都緊密貼合，不存在打滑現象。那麼經過N層摺疊後，這跟梁的厚度為t*2^N，長為l/2^N。t取0.1mm，l取100mm。那麼，厚度和長度隨N的變化趨勢如下：橫座標摺疊次數，縱座標厚度和長度。

從上圖可知，當摺疊了5次以後，厚度的尺寸將大於長度的尺寸。這時候很難繼續摺疊了。 如果是平面問題，由於是平面可以大概多一倍的摺疊，所以當折完第7次的時候，第8次時，厚度已經超過了另2個尺寸。

這也是為什麼紙最多可以折7-10次的原因。實際摺紙過程存在打滑，所以數據在9次左右。

3、摺紙應力分析

隨著次數的增加，紙已經不能用歐拉梁的假設進行計算了。不過在這裡，為了簡化問題，仍然採用歐拉梁假設。

如上圖所示，經過N次摺疊後，繼續摺疊，上層受拉，下層受壓。顯然，當上層拉伸過度，超出了拉伸的斷裂應力，上層紙張被撕裂。歐拉梁的應力計算如上圖，其中M為力矩，W為抗彎截面係數。

隨著厚度的增加，W的值變小，想要讓最大應力達到斷裂應力，力矩M必須足夠大。這也是厚度增加後，很難摺疊的另一個原因。藉助於機器，我們可以克服這個原因。

為了簡化問題，我們已一維梁為模型，經過7次對摺後，尺寸變為12.8mm*6.25mm*12.5mm。利用對稱性，長度取一半。模型如下，此模型僅供參考，不作為精確的數據計算。由於長度太短，實際上不適合選用梁單元，而應採用三維實體單元。

計算結果如下。在載荷10Nm的彎矩下，內部已經產生了最大150MPa的應力，大大超出了紙張的承受能力。所以早就斷開了。

4、總結

如果不考慮摺紙次數，本問題就是純數學問題。實際上，摺紙也是力學問題，通過計算，我們發現：隨著厚度的增加，厚度方向將會超過長度方向，且將紙折彎的外載將越來越大。

所以，摺紙不能超過7-10次的原因如下：

1）厚度方向將超過另外兩個尺寸；

2）折完後，尺寸變小，所需的外載變得更大；

3）厚度過大，摺痕處易破裂。

回答一些同學的疑問，為何要這樣回答本問題。

1）拋開實際情況，本問題已經有很多大佬給出了準確的答案。

2）本問題實際上並不存在，而我的回答就是給出了“不存在”的三個原因。

力學Nerd王小胖

在不考慮物理實際的情況下，如果一張0.1毫米厚度的紙張，將其對摺105次，那麼最終厚度會達到驚人的4.1*10的24次方公里，也就是大約4288億光年，這將近是目前可觀測宇宙直徑的4.7倍。

實際上，這就是一道指數爆炸問題。

紙張的厚度每摺疊一次就會翻一倍，因此厚度公式=0.1毫米*2的n次方（n為摺疊次數）。

照此算來，只需摺疊27次，就能超過珠穆朗瑪峰；

只需摺疊42次，就能超過地月平均距離（38萬公里）；

摺疊67次，就能超過奧爾特雲（最大半徑一光年）；

摺疊69次，就能超過距離太陽系最近的恆星——比鄰星（4.2光年）

但這裡的意義更多體現在數學方面，畢竟在客觀世界，是沒有能夠這麼多次摺疊下還能保持不破裂的紙張。

但回過頭來，即便超過了可觀測宇宙的直徑，那也不代表貫穿了整個宇宙，因為可觀測宇宙僅僅是整個宇宙的一部分，但整個宇宙又有多大呢？目前還不能肯定回答。

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關鍵字: 宇宙 數學 科學