07.26 物理學中最偉大的定理之一

歷史上，很多女性科學家都做出了傑出的貢獻。

艾米·諾特（Emmy Noether）無疑是特別的。在她所處的年代，社會給予她的只有障礙，但她依然發現了物理學上最偉大的定理之一。愛因斯坦說：“她是數學史上最偉大的女性”。然而很少有人知道她。諾特定理連接了兩個非常重要的概念：守恆定律和自然界中的對稱性。如果你在自然界中看到對稱性，那麼就可以找到與之對應的守恆量，反之亦然。例如，一個鐘擺在真空中週期性地搖擺，它會永遠地搖擺下去，因為能量是守恆的，而這告訴我們的是，物理定律不會隨著時間而改變。100年後的今天，諾特定理依然是已知物理學的基礎。

一個夏日的傍晚，倘若一位遊客到訪上世紀20年代數學世界的中心——德國哥廷根，他很可能會從弗裡德蘭德大街（ Friedländer Way）的一間公寓裡，聽到聚會傳來的喧囂聲。透過窗戶，這位遊客瞥見一群學者。紅酒在杯中流動，空氣在嗡嗡作響，談話集中在當時的數學問題上。這位遊客最終可能會聽到一個女人的笑聲，她便是艾米·諾特，一個富有創造力的數學天才。

【記住這個名字：艾米·諾特】

1882年，諾特出生於德國埃爾蘭根的一個數學家庭，是數學家Max Noether的女兒。小時候的諾特數學天賦並不明顯，但卻可以解決其他小孩無法解決的問題。在諾特父親執教的埃爾蘭根大學，女性是被禁止成為正式學生的，但她們可以在教授的允許下旁聽。1904年，當這樣的規定改變時，諾特很快入學，並在1907年獲得了博士學位。

然而，作為一名女性，諾特很難得到一個有收入的學術職位。因此，在獲得博士學位後，她從事了數年的無薪工作。1922年，她在個哥廷根大學收穫了一個“非同尋常”的名譽教授頭銜，與那些“尋常”教授頭銜不同，她的教授席位是非終身的、擁有部分內部行政權限的、且沒有報酬的。直到1923年，她才拿到薪水。哥廷根大學的一位著名數學家Hermann Weyl表示：“在她身邊佔據這樣一個優越的位置，我很羞愧，她是我所知道的在各方面都比我優秀的數學家。”

但諾特從容地接受了這些不公的對待。她所散發的人格魅力，使她深受其他人的愛戴和尊敬。10年後，諾特被納粹領導的政府驅趕，因為她是猶太人，被懷疑持有左翼政治信仰。從此，人們再也無法在弗裡德蘭德大街聽到數學家聚會時傳來的歡聲笑語。

1935年，在她前往美國賓夕法尼亞州的Bryn Mawr學院工作的兩年後，她死於手術併發症，享年53歲。當諾特去世時，愛因斯坦在《紐約時報》上寫道：“她是從女性接受高等教育後出現的最富創造力的數學天才。”

△ 儘管艾米·諾特做出了非常巨大貢獻，但鮮有人知。| 圖片來源：The Granger Collection/Topfoto

儘管大多數人從未聽說過諾特，數學家和物理學家對她卻從不吝惜讚美之詞。她解決了愛因斯坦新發現的引力理論——廣義相對論中一個令人困擾的難題。在這個過程中，她證明了一個革命性的定理，為當時所知的物理學提供了一個統一的視角，併為此後幾乎所有重大的基本發現奠定了基礎。諾特的深刻洞見，徹底地改變了物理學家研究宇宙的方式。

自諾特在1918年7月26日發表她的定理以來，已經過去了整整一個世紀，但該定理的重要性卻一直持續到今天。諾貝爾物理學獎得主Frank Wilczek說：“諾特定理一直是20世紀和21世紀物理學的指路明燈。”

△ 1918年，艾米·諾特發表了論文 Invariante Variationsprobleme，她在論文中證明了諾特定理。| 圖片來源：Wikipedia

除了諾特定理外，她在數學上也做出了巨大貢獻，尤其是在抽象代數領域。數學家Nathan Jacobson曾說過：“艾米·諾特是本世紀最有影響力的數學家之一。抽象代數的發展是20世紀數學最矚目的創新之一，這在很大程度上要歸功於她——在發表的論文、講座以及對同時代人的個人影響中。” 在數學上，諾特的思想是如此突出，以至於她的名字成了一個形容詞。在許多數學文獻中，都可以見到諾特環（Noetherian rings）、諾特群（Noetherian groups）和諾特模（Noetherian modules ）。

【守恆和對稱】

諾特發現了物理學中兩個重要概念之間的聯繫：守恆定律和對稱性。守恆定律——例如能量守恆定律——說的是一個特定的量必須保持恆定。無論我們如何努力，能量都不能被創造或毀滅。從計算一個球滾下山坡的速度到理解核聚變的過程，能量守恆的確定性可以幫助物理學家解決許多問題。

那麼，什麼是對稱性呢？Weyl描述了一個思考這個概念的簡單方法：如果你對一個物體進行某些操作，在這些操作完成之後，它看起來和之前是一樣的，那麼這個物體就是對稱的。例如，球體是完全對稱的：無論你朝哪個方向轉動球體，它看起來都是一樣的。同樣地，對稱性也普遍存在於物理學定律中：物理方程在時間或空間的不同位置不會改變。

諾特定理宣稱，每一個這樣的對稱性都有一個相關的守恆定律，反之亦然。能量守恆與這樣一個事實有關，那就是物理規律在昨天或今天都是一樣的（時間對稱性）。同樣地，動量守恆與物理規律在這裡或宇宙的任何地方都是一樣的這一事實有關（空間對稱性）。

△ 諾特定理（Noether's Theorem）聯繫了物理學中的兩個重要概念：對稱性（Symmetry）和守恆（Conservation）。| 圖片來源：Scott Greenberg

到了20世紀下半葉，諾特定理成為了粒子物理學標準模型的基礎。標準模型描述了微觀尺度的世界，並預言了希格斯玻色子的存在。今天，物理學家在譜寫新理論時，仍然依賴於諾特定理。

【對稱性作為指導原則】

對稱性本身就具有吸引力。一些研究報告說，人類發現對稱的臉比不對稱的臉更漂亮。臉的兩半幾乎是彼此的鏡像，這一特性被稱為反射對稱。在藝術作品中，我們更是經常看到對稱性的出現，比如馬賽克、紡織品和彩色玻璃窗等。大自然也是如此：一片典型的雪花在旋轉60度後，看起來是一樣的。類似的旋轉對稱性出現在花朵、蜘蛛網和海膽中等等。

但諾特定理並不直接適用於這些熟悉的例子。因為我們在周圍世界看到的對稱性是不連續的，它們只適用於特定的值，例如，雪花的旋轉角度為60度。然而，

與諾特定理相關的對稱性是連續的：無論在空間或時間上移動多遠，它們都是成立的。

其中一種連續對稱性被稱為平移對稱（translation symmetry），意思是說物理定律不隨空間中的位置而變化，它在這裡、哪裡、任何地方都是一樣的。

與每一個連續對稱相關的守恆定律是物理學的基本工具。在物理課上，學生們被教導能量總是守恆的。當一個檯球撞擊另一個檯球時，第一個檯球的運動能量就會被分散：有一些傳到第二個檯球的運動，有一些產生聲音或熱量，有一些能量則留在第一個球上。但無論如何，總能量保持不變。動量也是如此。

這些規則被當作死記硬背的事實來教授，但它們的存在背後是有數學原因的。根據諾特定理，能量守恆來自於時間的平移對稱性。比如火箭發射會將燃料中的化學能轉化為動能和勢能，由於時間的對稱性，因此總能量保持不變。同樣地，動量守恆源自於空間中的平移對稱性。例如，在牛頓擺中，當一個球擊中另一個時，另一端的球會向外飛，保持動量守恆。這是為什麼？因為空間的對稱性。而

角動量守恆則是從旋轉對稱性（即物理規律在空間旋轉時保持不變）中出現。一個熟悉的例子是，當一位溜冰者把她的手臂收起時，她的旋轉速度會加快。這是因為總的角動量必須保持不變，而這要歸功於旋轉對稱性。

△ 物理規律在時間、空間和旋轉上都是對稱的。根據諾特定理，這些對稱性表明能量、動量和角動量是守恆的。| 圖片來源：Scott Greenberg

在愛因斯坦的廣義相對論中，沒有絕對的時間和空間，守恆定律變得更難以理解。正是這種複雜性首先將諾特帶到了這個話題上。

【引力理論的一個難題】

1915年，作為一個全新的引力理論，廣義相對論將引力描述為物質彎曲時空的結果。除了愛因斯坦外，德國哥廷根大學的數學家希爾伯特（David Hilbert）和克萊因（Felix Klein）都沉浸在新理論的奇妙世界中。希爾伯特與愛因斯坦競爭，希望發展出這個複雜理論背後的數學。

但希爾伯特和克萊因卻遇到了一個難題。他們在試圖用廣義相對論的框架寫一個能量守恆的方程時，遇到了一個無謂的重複：就好比寫”0“等於”0”一樣，這個方程沒有物理意義。這個發現令他們感到驚訝，在這之前並沒有一個被接受的理論有這樣的能量守恆定律。他們想要弄明白為什麼廣義相對論會有如此奇異的特徵。

這個時候，他們邀請諾特加入哥廷根，以幫助他們揭開謎題。

諾特發現，這些看似奇怪的守恆定律是一種被稱為“

廣義協變”的特定類型的理論所固有的。在這樣的理論中，無論你是穩步前進還是瘋狂加速，與理論相關的方程都是成立的，因為理論方程的兩邊都是同步變化的。其結果是，廣義協變理論——包括廣義相對論——總是會有這些非傳統的守恆定律。這一發現被稱為諾特第二定律。

在她證明第二個定理的過程中，諾特證明了她的第一個定理是關於對稱性和守恆定律之間的聯繫。1918年7月26日，這兩個結果被髮表在 Göttinger Nachrichten 上。

【難以捉摸的夥伴】

在諾特去世後，諾特定律繼續閃耀著光芒，尤其是在粒子物理學中。要梳理出基本粒子世界發生的神秘事情是非常困難的。Wilczek說：“我們必須依靠理論洞察力、美學和對稱性的概念來猜測事物可能是如何運作的。” 諾特定理帶來了很大的幫助。

在粒子物理學中，相關的對稱性是被稱為“規範對稱”的隱藏類型。物理學家在電磁學中發現了這種對稱性，它導致了電荷守恆。

規範對稱出現在電壓的定義中。電壓是兩點之間的電勢差異。電勢本身的實際值並不重要，重要的是差值。這在電勢上創造了一種對稱性：它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這一特性解釋了為什麼鳥站在電線上不會觸電，但如果它同時接觸到兩根電勢不同的電線，那麼，悲劇將立即降臨在鳥的身上。

在上個世紀60和70年代，物理學家擴展了這一概念，發現了與守恆定律相關的、其它隱藏的對稱性來發展粒子物理學的標準模型。

在發現守恆定律的任何地方，物理學家都在尋找對稱性，反之亦然。這個標準模型解釋了大量的基本粒子以及它們之間的相互作用。許多物理學家都認為標準模型是有史以來最成功的科學理論之一，因為它能夠精確地預測實驗結果。然而，標準模型並不完美，還有許多問題是它無法解釋的。

一直以來，物理學家的目標便是構建一個統一理論，用幾個方程就可以描述萬物，儘管這已經被證明是非常困難的。這些統一理論是建立在基本對稱的假設上。什麼樣的對稱性能夠統一基本力中的

電弱力（電磁力和弱核力的統一）和強核力，物理學家還不知道。但是尋找這樣的一個“大統一理論”是物理學中一個活躍的領域。

一個好的大統一理論能夠預言宇宙中的質子和中子從何而來。質子和中子這兩種粒子被稱為重子，重子的總數應該是守恆的。在實驗上，科學家尋找的是質子是否會發生衰變。如果我們觀測到質子衰變，那麼我們就會知道重子數是否真的守恆，這是大統一理論的關鍵線索。

但是，當我們尋找超越標準模型的理論時，物理學家發現了一種隱藏的對稱，稱為超對稱，這是許多大統一理論的核心。超對稱是建立在統一兩組主要的基本粒子的基礎上：費米子（比如電子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假設所有的費米子都有一個玻色子夥伴，反之亦然。

△ 對稱性是標準模型的基礎。圖中圓圈部分代表了標準模型中的粒子，比如光子和電子。外圍則是超對稱理論提出的假想粒子。| 圖片來源：YouTube/Particle Fever

超對稱優美地解決了許多標準模型無法解決的問題，因此大型強子對撞機（LHC）的首要任務便是尋找超對稱的跡象。但到目前為止，科學家還未發現這樣的粒子，儘管人們對探測寄予厚望，一些物理學家開始質疑超對稱的正確性。也許對稱性只能讓物理學家走到這一步。

這一觀點讓一些物理學家左右為難。如果這不是一直以來的指導原則——即越對稱越好——那麼指導原則究竟是什麼？

【三維空間和二維表面】

儘管這個局面令人沮喪，但對稱性在物理學上仍然保持其光芒。諾特定理是發展量子引力的潛在理論的必要工具。量子引力理論把兩種截然不同的理論——廣義相對論和量子力學——結合在一起。諾特的工作幫助科學家理解在這樣一個統一的理論中可以出現怎樣的對稱性。

在眾多理論中，有一個候選者依賴於兩種互補理論間的聯繫：二維表面的量子理論可以作為三維彎曲時空中量子引力理論的全息投影。這意味著，三維宇宙中包含的信息，可以編碼到環繞它的二維表面上。

試想一下，一瓶汽水罐的標籤上描述了罐中每個氣泡的大小和位置，並列出了這些氣泡是如何合併和破裂的。一個好奇的研究人員可以利用罐子表面的行為來了解罐子內部的情況，例如計算搖晃罐子時可能發生的事情。對於物理學家來說，理解一個更簡單的二維理論可以幫助他們理解發生在三維物體內部更復雜的情況。（這種全息原理（holographic principle）適用的量子引力理論被稱為弦理論，在弦理論中，粒子是通過振動的弦來描述的。）

△ 在一個描述粒子二維空間行為的理論可以作為三維量子引力的全息圖。這就像僅僅通過閱讀標籤就能研究汽水罐裡面的氣泡一樣。| 圖片來源：E. OTWELL

物理學家Daniel Harlow說：”諾特定理是這個故事中非常重要的一部分。“ 二維量子理論中的對稱性出現在不同背景下的三維量子引力理論中。通過一種令人滿意的轉換，諾特第一、第二定理被連接起來了：描述二維空間的第一個定理，與描述三維空間的第二個定理有著同樣的表述。這就好比有兩個句子，一句是中文，一句是英文，在翻譯的時候意識到它們用不同的方式表達了同一件事。

【永存的聯繫】

是的，諾特的工作徹底改變了我們理解宇宙的方式。當你下次閱讀到關於宇宙暴脹理論、超對稱粒子、或者一切跟萬有理論相關的進展時，都應該想到艾米·諾特，她的定理是所有這些理論的核心概念。

徐一鴻在《可畏的對稱》一書中所寫道：

“能量、動量和角動量守恆是在物理學中最先學習到的定律。它們支配物理宇宙中一切物體的運動，從星系的碰撞到原子中電子的旋轉。曾有很多年，我沒有去問這些守恆定律從何而來；它們好像如此基礎，不需要解釋了。後來我聽到諾特的定理，印象非常深刻。這些基礎的守恆定律原來是基於物理在昨天、今天、明天，這裡、哪裡、任何地方，東、西、南、北是完全一樣的假設，就像愛因斯坦所說，這個啟示對我而言完全是屬於精神範疇的。

在我成為物理學家的這些年中，這一啟示屬於最難忘懷的。我一直為人類理智理解宇宙的能力所觸動，但遇到像諾特這樣真實的遠見也不是經常的。這樣的遠見使我快樂、敬畏而又感動，因為作為絕對真理，它們即深刻又簡單。但另一方面，作為物理學家，我並不認為原子核和晶體在這樣或那樣條件下的性質本身多麼有趣。在對宇宙的唯象性的感知中，這一代人認為有趣的，下一代人興趣就小了。這一代基礎物理學家已經認為，二十年前粒子物理的奇妙發現是，用愛因斯坦的話說，‘這樣或那樣的現象’。但對稱性和守恆定律之間的聯繫卻是永存的。”

參考鏈接：

http://www.perimeterinstitute.ca/videos/emmy-noether-her-life-work-and-influence

https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1355219801000338

https://arxiv.org/pdf/physics/9807044.pdf

https://arxiv.org/abs/hep-th/9411110

A.Zee, 《Fearful Symmetry:The Search for Beauty in Modern Physics》