07.19 論幾何直觀的教育教學價值

李樹臣（山東省沂南縣教育局）

摘要：幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是影響學生數學能力發展的重要因素之一。幾何直觀在本質上是以圖形和直觀符號為活動要素，以直觀化的信息加工過程為形態的一種認知方式。藉助於圖形的直觀性可以幫助我們深刻理解、學習數學的基礎知識，發現一些數學問題的解題思路，培養學生的探究意識，更好地理解數形結合的思想。

關鍵詞：幾何直觀；數學學習；幾何概念；創造性思維能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）提出了十個核心概念，其中之一便是幾何直觀。廣大教師已經認識到，幾何直觀是影響中小學生數學發展的重要因素之一，學生的幾何直觀能力成為其數學素養的一個重要方面，數學教學必須重視培養和發展學生的幾何直觀能力。筆者在簡述幾何直觀意義的基礎上，重點論述它在教學中的作用。

一、正確認識幾何直觀的意義

要有效地培養學生的幾何直觀能力，首先需要對幾何直觀有一個比較深刻、全面的認識。關於幾何直觀的意義，可謂眾說紛紜，呈現出百花齊放的局面.

M.克萊因指出，決定概念的正確性和可接受性的是直觀，而不是經驗和邏輯。數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上。西方哲學家通常認為，直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識。心理學家認為，直觀是從感覺的具體的對象背後，發現抽象的、理想的能力。荷蘭數學教育家弗萊登塔爾也指出，幾何直觀能告訴我們什麼是可能重要、可能有意義和可接近的，並使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免於陷入歧途之苦。有學者則認為，直觀就是藉助於經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關係直接的感知與認識，而幾何直觀是藉助於見到的或想到的幾何圖形的形象關係產生對數量關係的直接感知。

《解讀》則認為，幾何直觀有兩點：一是幾何，這裡的幾何是指圖形；二是直觀，這裡的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依託現在看到的、以前看到的東西進行思考、想象。

綜合以上觀點，幾何直觀就是依託、利用圖形進行數學的思考和想象。它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。

二、幾何直觀的教育教學價值

希爾伯特曾在其著作中寫到，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。《標準（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。藉助幾何直觀可以把複雜的數學問題變得簡明、形象，有助於探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。這實際上是對幾何直觀的作用所做的解釋性、統領性說明。

1.利用幾何直觀引入一些基本的幾何概念

在學習點、線、面、體等最基本的幾何概念時，可以引導學生觀察給定的一些照片、實物、圖形等，在觀察的基礎上，通過比較，找出事物的不同特徵，歸納出概念的本質特徵。

例1 全等形的引入過程.

為引入全等形的概念，可提出下面的問題引導學生進行觀察與思考：

（1）分別觀察圖1中的三組圖片，你有什麼發現？如果將每組中的兩張圖片用適當的方式疊合在一起，它們能夠完全重合嗎？

（2）觀察圖2，你發現圖中兩個圖形的形狀和大小有怎樣的關係？

【設計意圖】問題（1）的目的是讓學生感受每組圖片中的兩個圖形進行疊合將會發現它們能夠重合，初步形成對全等圖形的感性認識。學生藉助解答問題（1）的經驗，發現圖2中的兩個幾何圖形通過適當的方式進行疊合，也能夠完全重合。由此可以知道它們的形狀相同，大小相等。在此基礎上，可以給出全等形的概念。

2.藉助幾何直觀發現有關結論

美國數學家阿蒂亞指出，在幾何中，視覺思維占主導地位，而代數中有序思維占主導地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察。在數學教學中藉助幾何直觀可以發現數學中的很多結論，從而有效地學習數學知識。

例2 平方差公式的發現過程。

為了讓學生藉助幾何的直觀性自己發現平方差公式，可以設置下面的問題引導學生去觀察、交流，從而發現結論.

（1）時代中學計劃將一個邊長為a米的正方形花壇，改造成長為（a+2）米，寬為（a-2）米的長方形花壇。你會計算改造後的花壇面積嗎？如果改造成長為（a+1）米，寬為（a-1）米的長方形花壇呢？

（2）如圖3，在長為a+b，寬為a-b的長方形中，剪去一個長為a-b，寬為b的（a＞b＞0）的小長方形，然後把長方形①②拼接成如圖4所示的圖形，分別計算它們的面積。由此，你有什麼發現？相互交流自己的看法。

3.幾何直觀有利於培養學生的探究意識

學生學習的過程與科學家的研究過程在本質上是一致的。數學教學應結合具體的學習內容，精心設計有效的探究活動，使學生在探究的過程中，藉助於幾何的直觀性發現問題、提出問題、分析問題直至解決問題。

例3 “同位角相等，兩直線平行”的探究發現過程。

“同位角相等，兩直線平行”是平行線的三個判定方法之一，對於這個判定方法可以引導學生通過探究自主發現。其引導過程分為以下四個環節.

（1）教師用三根硬木條製成“三線八角”活動教具，把木條a，c固定不動，讓木條b繞著點A轉動，如圖5所示。

師：隨著b的轉動，∠1的大小有沒有變化？

生：有變化。

師：b轉到什麼位置時，有b∥a？

生：b轉到圖5所示的虛線位置時，有b∥a。

（3）引導學生進行探究活動並發現規律。

師：從前面的論述中，你發現了什麼？

生：判斷兩直線平行的問題，可以轉化為判斷兩個角相等的問題。

師：你能用自己的語言把你所發現的規律敘述出來嗎？

生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

（4）指導學生用圖形語言、文字語言和符號語言分別表示平行線的這一判定方法。然後再輔以適當的練習，學生就可以完成對這個判定方法的學習。

讓學生經歷探究過程，不僅能獲取知識、發展技能、培養能力，逐漸形成創新意識，而且還能受到科學價值觀、科學方法等的教育，並發展自己的個性。充分體現了《標準（2011年版）》提出的人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展的基本理念。

4.利用幾何直觀可以加深學生對數學知識的認識和理解

學生對幾何形體的學習，不能只停留在直觀感知這個初級階段，還應充分發揮表象的橋樑作用，使具體的感性認識逐漸過渡到抽象的理性認識。學生形成表象的結果往往與教師出示的圖形方式有很大關係。如果教師只出示標準圖形，很可能使學生把圖形的本質特徵與其個別屬性聯繫起來，產生擴大或縮小概念的外延或內涵的錯誤。在一些幾何概念教學中，為使學生鞏固和加深對概念的認識，更好地把握概念的內涵和外延，既要利用標準圖形，還要列舉出該概念外延之內或之外的一些例子，讓學生根據定義自己去識別、辨認、交流，通過這樣的一些活動，達到加深對所學概念理解和掌握的目的。

例4 辨別哪些是同位角。

同位角是由兩條相交直線被第三條直線所截而構成的，教學時為了使學生掌握其本質，我們可以給出圖7中所示的四個圖例，讓學生辨別哪些角是同位角，哪些角不是同位角。

例6 什麼時間出發？

某旅行團從甲地到乙地遊覽，甲、乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先行，餘下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4∶00同時到達乙地，必須在什麼時間出發？

這個問題實質上求的是如果按照題設的行走方式，至少需要幾個小時.

解析：設先坐車的一部分下車地點距離甲地x公里，這部分人下車地點距離另一部分人的上車地點相距y公里，如圖10所示.

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