【分析方法导引】
当几何问题中出现角平分线和平行线的组合关系式，就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。然后就应用将角的边的平行线与角平分线及角的另一边相交或将角平分线的平行线与角的一边及另一边的反向延长线相交的方法找到等腰三角形的基本图形。再应用角平分线、平行线、等腰三角形中任何两个性质成立就可以推得第三个性质成立的方法来完成分析。
例17 如图3-59，已知：O是△ABC的外心，AD是高，AE是角平分线。求证：∠OAE=∠DAE。
图3-59
分析：由条件AE是角平分线，可知∠BAE=∠CAE。而这两个角都是圆周角，所以可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，但这两个圆周角由一条边尚未和圆相交，所以要先将这条边延长到与圆相交，于是延长AE交⊙O于F（如图3-60），就可得弧BF=弧CF，即F是弧BC的中点。
图3-60
由于现在出现了弧的中点，所以可应用弧的中点的性质，也就是应用垂径定理，但现在图形中这条垂径尚未出现，所以应先将它添出，于是联结OF，即可得OF⊥BC，而已知AD⊥BC，所以又有OF∥AD。而我们要证的结论是AE为∠OAD的角平分线，从而就出现了角平分线和平行线的组合关系，也就必定出现一个等腰三角形的基本图形。由于OF是角的一边AD的平行线，所以它应和角的另一边OA以及角平分线AF相交组成等腰三角形，根据这样的方法我们就可以找到这个等腰三角形应是△OFA（如图3-61）。由于现在AF是∠OAD的角平分线是要证明的结论，所以就要转而先证△OFA是等腰三角形，亦即要先证明OA=OF。由于OA、OF都是⊙O的半径，当然相等，所以分析就可完成。
图3-61
本题的分析也可以从另一种可能性来开始进行。要证明∠OAE=∠DAE，而已知∠BAE=∠CAE，所以问题也可以转化为证∠BAO=∠CAD、由于∠BAO在⊙O中是一个圆周角，但它的一边AO尚未与⊙O相交（指尚未出现第二个交点），所以应将它延长到与圆相交，也就是延长AO交⊙O于F（如图3-62）。然而在作出了AF后，就出现AF是⊙O的直径，从而就可以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，但现在出现了圆的直径和半圆上的点B（或C），半圆上的圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添出，也就是联结BF（如图3-63），可得∠ABF=90°。而根据条件∠ADC=90°，这样在△ABF和△ADC中，要证明∠BAF=∠DAC，就可以转化成要证明∠F=∠C，而这两个角都是圆周角，且它们所对的弧都是弧AB，所以由A、B、F、C四点共圆，就可以应用圆周角的基本图形性质证得∠F=∠C，分析就可以完成。
图3-62
图3-63
例18 如图3-64，已知：⊙O、⊙O′外切于A，OO′的延长线交⊙O′于P，PB、PC于⊙O相切于B、C。求证：A是△PBC的内心。
图3-64
分析：欲证A是△PBC的内心，就应根据三角形内心的定义，证明A是△PBC的两条角平分线的交点。由于PB、PC与⊙O相切于B、C。且O、A、O′、P共线，故应用切线长定理可得AP平分∠BPC，从而只须证明A也在∠PBC（或∠PCB）的平分线上，于是联结AB，应证AB平分∠PBC（如图3-65）。
图3-65
又因为条件给出⊙O和⊙O′外切于A，这是两个圆的组合问题，所以可以转化到一个圆中来讨论，而在两圆外切时，转化的方法是过切点做两圆的内公切线，于是过A作两圆的公切线交PB于F（如图3-66），可得AF⊥OO′。而根据切线长定理的推论，又有BC⊥OO′，所以FA∥BC，于是又出现了角平分线和平行线的组合关系，所以可得到一个等腰三角形的基本图形。由于FA是角的一边BC的平行线，所以它应和角的另一边BP以及角平分线BA相交组成等腰三角形，于是就可以找到这个三角形应是△FAB。由于现在这条BA是∠CBP的角平分线是要证明的结论，所以问题就要先证这个三角形是等腰三角形，也就是要证明FB=FA。由于它们都是由F点所作的⊙O的切线，所以再应用一次切线长定理就能证得这个性质，分析也就可以完成。
图3-66
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