05.09 基本圖形分析法專題——平行線型相似三角形（二）

基本圖形分析法就是：將一個幾何問題的圖形，分解、剖析成一個或若干個基本圖形，當基本圖形不完整時，通過添加輔助線將不完整的基本圖形補完整，然後應用基本圖形的性質，使問題得到解決的幾何分析方法。

例2，已知：△ABC中，AD是∠BAC的角平分線。求證： BD/CD=AB/AC

分析1：本題要證明的結論BD/CD=AB/AC，是線段之間的比例關係，所以首先應進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，

經過描圖可以發現BD和CD這兩條相比線段現在重疊在一直線上，所以可應用或添加平行線型相似三角形進行證明，

現在重疊的相比線段的兩個端點是B、C，內分點是D，圖形中過B、C、D的線段分別是BA、CA、DA，所以選取平行方向線段就出現了三種可能性，

如取BA為平行方向線段，則平行線可過內分點D作，也可以過另一個端點C作，若首先選取過內分點D作平行線，則過D作DE∥BA交AC於E，就可得△CDE和△CBA是由三角形內一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形，所以BD/CD=AE/CE，

所以BD/CD=AE/CE=ED/EC，而要證明的結論是BD/CD=AE/AC，所以問題轉化為要證ED/EC=AB/AC，

這是一個新的比例關係式，所以也應先進行描圖，搞清楚比例線段之間的位置關係，經過描圖可以發現EC和AC這兩條相比線段現在重疊在一直線上，所以可應用平行線型相似三角形進行證明，由於已經作出DE∥AB，且已經證明△CDE和△CBA相似，就可得ED/EC=AB/AC，所以BD/CD=AB/AC就可以證明。

分析2：如取BA為平行方向線段後，選取過端點C作平行線，則過C作CE∥AB交AD的延長線於E，

就可得△CDE和△BDA是由三角形外一條邊的平行線段得到的平行線型相似三角形，所以BD/CD=AB/EC，

由於條件中還給出AD是角平分線，而CE∥AB，就出現了角平分線和平行線的組合關係，所以必定可以構成一個等腰三角形的基本圖形，由於CE是角的一邊BA的平行線，所以它應該和角的另一邊以及角平分線相交構成等腰三角形，於是由∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠CEA，可得∠CAE=∠CEA，所以AC=EC，從而就可證明BD/CD=AB/AC。

分析3：如取DA為平行方向線段，

則平行線可過端點C或B作，於是過C作CE∥DA交BA的延長線於E，就可得△BAD和△BEC是由三角形內一條邊的平行線得到的平行線型相似三角形，所以BD/CD=BA/EA，

由於條件中還給出AD是角平分線，而CE∥DA，就出現了角平分線和平行線的組合關係，所以必定可以構成一個等腰三角形的基本圖形，由於CE是角平分線的平行線，所以它應該和角的一邊以及另一邊的反向延長線相交構成等腰三角形，

於是由∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠AEC，∠CAD=∠ACE，可得∠ACE=∠AEC，所以AE=AC，從而就可證明BD/CD=AB/AC。