例題、在△ABC 中，∠A, ∠B , ∠C 所對應的邊分別是 a, b ,c 且 c = 10 , cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 , P 為 △ABC 內切圓上的動點。
求點 P 到頂點 A , B ,C 的距離的平方和的最小值與最大值 。
分析：
第一步：理解題意；
本題的條件是 ： ① c = 10 ，② cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 ， ③ P 為 △ABC 內切圓上的動點 。
所求的結論是：點 P 到頂點 A , B ,C 的距離的平方和的最值。
綜觀之，這是一道關於圖形的最值問題。
第二步：擬定計劃；
① 已知三角形某些邊角之間的數量關係，來判斷這個三角形的形狀或解出它 。
② 在一確定的三角形中的某曲線上有一動點，求這點到三角形頂點或三邊的距離和或平方和的最值。
於是原問題可分列為兩個較為簡單的問題：
① a , b , c 為 △ABC 的三邊，且 c = 10 ，cosA ： cosB = b ：a = 4 ：3 ，試確定 △ABC 的形狀及其大小 。
② 在確定的 △ABC 的內切圓上有一動點 P ，試求 PA^2 + PB^2 + PC^2 的最小值與最大值 。
對於 ① 小題，△ABC 已具備了三個條件式，只要對數式進行適當的的推算，三角形不難解出來。
對於 ② 小題，在確定了三角形的形狀及大小之後，因涉及內切圓上一個動點，擬引入直角座標系，即能利用解析法列出目標函數，其最值也可用一般的代數三角方法順利求出。
至此，一個比較完整的解題計劃可以說是擬定了。
第三步：實現計劃；
由 cosA ： cosB = b ：a ，用 正玄定理 做代換，得 cosA ： cosB = sinA ：sinB ,
即 sinA • cosA = sinB • cosB 或 sin2A = sin 2B ,
因為 cosA ： cosB = 4 ：3 ，知 A ≠ B ，且 A ， B 是 三角形 內角 ，
所以 2A = π - 2B ，即 A + B = π/2 ,
所以 △ABC 是直角三角形 。
在由 c = 10 , b ：a = 4 ：3 及 a^2 + b^2 = c^2 ，可解得 a = 6 , b = 8 。
如圖，建立直角座標系，使直角 △ABC 的三個頂點為 A（8,0），B（0,6），C（0,0）。
例題圖
在直角△ABC 中 ， 有 a + b = c + 2r , r = 2 ,
所以，內切圓的圓心為 O'（2,2），方程為 （x - 2）^2 + （y - 2）^2 = 4 。
設圓上的任一點為 P（x , y）,
則有 S = ∣PA∣^2 + ∣PB∣^2 + ∣PC∣^2
= （x - 8）^2 + y^2 + x^2 + （y - 6）^2 + x^2 + y^2
= 3 [ （x - 2）^2 + （y - 2）^2 ] - 4x + 76
= 3 × 4 - 4x + 76
= 88 - 4x
因為 P 是內切圓上的點，故 0 ≤ x ≤ 4 ，
於是當 x = 4 時，有最小值 72 ； 當 x = 0 時，有最大值 88 。
第四部：回顧討論；
當 x = 0 時 ，P 點運動到 BC 邊上的 M ，此時所求的平方和最大值為 88 ；
當 x = 4 時，P 點於東到過 M 的直徑的另一端點 N ，此時所求的平方和最小值為 72 。
總結與反思：
（1）對於同樣的素材（題設條件），選用不同的加工方法（解題方法），其繁簡程度是有顯著區別的；
（2）從上題的解答中，我們可以認識到圖形中的最值常在動點位於某些特殊位置時產生；
（3）數學結合，會使計算大為簡化，並且可能揭露問題的實質。
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