長樂兮未央
提問的同學首先你要理解數學上的無限是什麼意思。
一個圓，假如指定了半徑大小，那麼這個圓的面積也就確定了。即S=πR²，這個面積計算公式裡有圓周率π。我們都知道π是一個不同尋常的數字，它無限不循環，也就是說，你永遠算不完圓周率，即使用最先進的超級計算機永遠也算不到最後一位。這是圓周率無限的由來，但是同時圓周率又是有界的。
小學生都知道π在3.1415926和3.1415927之間。這個結論最先是由我國古代傑出數學家祖沖之得到的，他使用劉徽創立的割圓術，內外逼近，內接正多邊形是下界，外接正多邊形是上界。就這樣，一直計算到12288邊形，終於得到了這個在當時精確無比的數字。
數學上的無限一般指的都是發散，比如調和級數的和就是發散的，雖然看起來每一項都在逐漸減小，但是你指定一個值，這個級數的和總會加到那個值，雖然調和級數的增加速度非常緩慢。
很多人不理解為什麼圓的面積明明是確定的，計算圓面積的π卻可以是一個無限不循環小數，難道這裡不衝突嗎？
這裡的π只是一個表示圓周率的符號，它和根號2，根號3沒有什麼區別，你在平時計算中可以保留根號2，根號3，那為什麼就不可以保留π呢？根號2和π同樣也是無限不循環小數啊。
假如我們需要具體的計算數值呢？那就根據你的精度要求取多少位來，這一點根本不用擔心，現在人類已經把圓周率計算到小數點後31.4萬億位了。隨便取，不著急！
事實上有人計算過，假如我們把整個太陽系作為一個圓來計算其面積，取π小數點後35位有效數字，就可以把太陽系的面積精度控制在一個質子的大小以內。所以人們日夜不停地計算圓周率，其實不是為了要在實際中用到這麼高的精度，主要目的一個是檢測硬件性能，另外一個更重要的原因是檢驗某些算法的執行效率。
徐曉亞然
圓形簡單、對稱、精緻。但是我們到底要怎樣去度量它呢？就這個問題而言，其實質是我們要怎樣去度量彎曲的形狀。
關於圓形，我們需要注意的第一件事情是，圓上的任意一點距離圓心的距離都相等。畢竟，只有這樣它才能夠成為一個圓。圓上的任意一點距離圓心的距離，我們稱之為圓的半徑。由於所有的圓其形狀都相同，因此只有半徑能夠使一個圓區別於另外一個圓。圓的周長，我們稱之為圓周（circumference，拉丁語“隨身攜帶”的意思）。我想，對於圓而言，最自然的度量便是其面積和圓周。
讓我們從做一些近似開始吧。如果我們在圓上放置一定數目的等距離的點，然後連接各點，由此我們就會得到一個正多邊形。
這個正多邊形的面積和周長的值比圓的相應值要小一些，但這兩對值相當接近。如果我們放置更多的點，則可以使這兩對值更加接近。假定我們所使用的點的數目很大，比方說為n。於是，我們就得到一個正 n邊形，且其面積和周長與圓的真實面積和周長非常接近。關鍵的一點是，隨著正 n邊形邊數的增多，正n邊形也會越來越近似於圓。那麼，此正多邊形的面積又是多少呢？讓我們將它切分成 n個相同的三角形吧。
這樣，每個三角形的底邊長度就等於正多邊形的邊長，令其為 s。而三角形的高度則是從圓心到正多邊形邊的距離，我們稱該高度為 h。因此，每個三角形的面積為1/2hs，而正多邊形的面積則為1/2hsn。注意到 sn正好是正多邊形的周長，因此我們可以得出如下等式：
其中的 p為正多邊形的周長。就這樣，使用周長和圓心到邊長的距離，我們將正多邊形的面積精確地表示了出來。
然而，隨著邊數 n無限地增大，情況又會怎樣呢？顯然，正多邊形的周長 p將會和圓的周長 C越來越接近，而高度 h也將會逼近圓的半徑r。這說明正多邊形的面積必然會逼近1/2rC，而同時正多邊形的面積也一直在逼近圓的真實面積 A。那麼，唯一的結論只可能是，這兩個數值必然相等，即
這表明，圓的面積剛好等於半徑與圓周的乘積的一半。
一種思考該結論的好方法是，設想將圓周展開成一條直線，則該直線和圓的半徑剛好形成一個直角三角形。
我們所得出的公式表明，圓形所佔據的面積剛好和這個直角三角形的面積相等。
這裡，有一種很重要的方法。僅僅通過做一些近似，我們就不經意地得出了圓的面積的精確表示。關鍵的一點是，我們並不只是做了幾個精確程度很高的近似，而是做了無窮多個近似。我們構造了一個精確程度越來越高的無窮近似序列，這無窮多個近似已經足以讓我們看出其中的模式並得到它們的極限。換句話說，我們可以從一個有模式的無窮近似序列中得知真理。因此，將這視為迄今為止人類所產生的最偉大的想法，是有一定道理。
這種奇妙的方法，我們一般稱之為窮竭法，它是由古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，柏拉圖的一位學生）於公元前 370年左右發明的。它讓我們可以通過構造無窮的直線近似序列來度量彎曲的形狀。運用窮竭法構造無窮近似序列的訣竅是，所構造出的無窮序列必須具有某種模式——一個無窮的隨機數序列並不能告訴我們什麼有價值的信息。因此，只有一個無窮的序列是不夠的，我們還必須能夠發現其中的模式從而理解該序列。
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現在，我們已經用圓周將圓的面積表示了出來。但圓周是否也可以度量呢？對正方形而言，用相對於邊長的比例來度量周長是很自然的，即四周的長度與一條邊長的比值。同樣，對於圓，我們也可以採用這樣的方法。通過圓心的直線與圓的兩個交點之間的距離，我們稱之為圓的直徑（顯然直徑正好是半徑的兩倍）。因此，對圓來說，類似的度量將會是圓周與直徑的比值，即圓周率。由於所有的圓其形狀都相同，
因此，對每一個圓來說，該比值都是相等的。通常，我們使用希臘字母 pi 或 π來表示該比值。π對於圓的意義，正與4對於正方形的意義相同。
要對π的取值做一些近似並不是很困難。例如，假定我們在圓中放入一個內接正六邊形。
此正六邊形的周長正好是圓的直徑的三倍。由於圓周比此正六邊形的周長要長一些，因此，我們得出π的取值要比 3大一些。如果使用邊數更多的正多邊形，那麼我們將會得到精確程度更高的近似值。阿基米德（生活於公元前 250年左右）就曾使用正 96邊形，得出了π≈22/7。許多人都有這樣的錯覺，以為這是一個嚴格的等式，但實際上它並不是。π的真實取值要稍微小一點，一個相對精確的近似值是π≈3.1416，一個更精確的近似值π≈355/113，這個近似值由五世紀時的中國古代數學家祖沖之給出。
但是， π的精確取值到底是多少呢？很遺憾，關於該取值的消息相當糟糕。由於 π是無理數（該性質由蘭伯特於 1768年證明），因此，我們不可能將它表示為兩個整數的比值。特別是，想要將直徑和圓周都表示為同一個計量單位的整數倍，則是絕對不可能的。
實際上，我們面臨的情況要比處理正方形的對角線時所遇到的情況更糟。雖然√2也是無理數，但我們至少可以這樣表述它，即“其平方為2的數”。換句話說，我們可以使用整數的算術來表達√2所滿足的關係式，即它是這樣的一個數 x，滿足 x² = 2。我們雖然也不知道√2的取值到底是多少，但我們知道它的性質。
結果表明，π有著不同的情況。它不僅不能夠用分數表示，事實上，它也不能滿足任何的代數關係。π有什麼用呢？除了表示圓周率之外，其實它並沒有什麼別的作用。π就是π。像π這樣的數，我們稱之為超越數（transcendental，拉丁語“超出”的意思）。超越數（它們的數目有很多）根本就超出了代數所具有的表達能力。林德曼於 1882年證明了 π是一個超越數。這真的很神奇，我們居然還能夠知道像超越數這樣的數。
然而，另一方面，數學家們也發現了不少π的其他表示方法。比如萊布尼茨於 1674年發現瞭如下的公式：
這裡的想法是，隨著公式右邊相加項數的增多，其相加之和也會越來越接近公式左邊的數值。因此， π可以表示為無窮項之和。該公式至少向我們提供了 π的純數值表示，而且在哲學上它也非常的有趣。更重要的是，這樣的表示就是我們所能得出的全部。
圓周和直徑的比值是 π。然而，對於這樣的比值，我們卻無能為力。我們所能做的，只能是將它加入從而擴展我們的語言。
特別地，半徑為 1的圓，其直徑為 2，因此其圓周為 2π。該圓的面積是半徑與圓周乘積的一半，亦即正好是π。將該圓按比例 r放大，由此我們得到一個半徑為 r的圓，其圓周和麵積可由下列公式得出：
C=2πr
A=πr²
上述第一個公式實際上並無實質內容，它只不過是π的定義的重新表述。第二個公式才真正地有深刻的內容，它和我們在前一節中所得的結果等價，即圓的面積等於其半徑與圓周乘積的一半。
然而，值得注意的是，我們所說的四面八方，其實質是在四象限直角坐系中再以二分點做一個直角座標系，這樣，可以依直角座標系的圓點以1為單位畫一個圓，以圓的半經與真角座標系的重合點作一正方形，這樣形成了第一個內圓外方。如此反覆，就形成了無數的內圓外方和外方內圓，但這個內圓外方的比率是多少，有多少人可以回答出來呢，這將是比本文還要長的一個話題。
但在真實的世界中並不是這個祥子，九大行星圍繞太陽轉，地球上發射衛星圍繞地球轉。其行動軌跡卻是橢圓，他又是一個怎樣的話題呢。
經常用了
不太清楚問題中的“無限”和“有限”到底想表達什麼意思。圓的面積和半徑當然不會是無限（大）的，而是有限的，圓周率也不是無限的，它就是Π，約等於3.14，還沒有3.15大，怎麼是無限的呢？
那麼，只有一點，問題中的“無限”應該是向表達“無限不循環”，而“有限”指的是“循環”。
對於圓周率Π，不少人有一種誤解，認為“無限不循環就不是確定的數”，這是一種誤解。事實上圓周率Π（包括任何其他無理數）與有理數都是確定的數，在這點沒任何區別，無理數只是無法用小數準確地寫出來，並不代表就不是確定的數。
比如說，在數軸上，我們就能很輕鬆地畫出Π釐米，根號2釐米長度的線段，但是你永遠無法用尺子去測量到底是不是Π釐米，因為無論如何都沒有精確到無限位數的尺子。
如果圓的半徑是有理數，那麼圓的周長就是無理數，面積也是無理數。如果圓的半徑是無理數，比如1/Π，那麼圓的周長就是無理數。也就是說，圓的半徑周長面積不可能都是有理數或無理數。
最重要的一點，一定要明白，不能因為無限不循環就認為不是固定的數，Π就是Π，非常固定，正如1就是1一樣，區別只有一點：無限不循環和循環（無限循環）。
再舉一個簡單的例子就明白了，1/3你也無法用小數準確表述出來，它等於0.333無限循環下去，你永遠寫不完，正如你也永遠無法用小數把Π寫完是同樣的道理，這都不妨礙它們是固定的準確的數！
宇宙探索
作者之所以提出這個問題，時把無窮和無限這兩個概念搞混了。題目嚴格來說，應該這樣表達：圓的面積絕對不會是“無窮大”的，圓的半徑也絕對不會是“無窮大”的，那圓周率到底是不是有限的？這樣說才對，而且這麼已經修正，相信答案已經呼之欲出：
答：圓周率是一個有限大小的數字，但是小數個數卻是無窮的。
無窮和無限
無窮和無限可以認為是形容詞，一般形容大和小。比如說無窮大， 那就是說這個數字大的不能再大了。在數學上，無窮可以用符號∞表示，無窮大+∞，無窮小用-∞。無限形容的名詞就比較多了，一般說的是個數，表示個數很多，多的無法統計。所以，我們可以說圓周率的位數無限，而不能說圓周率無限，因為圓周率π就一個。
圓周率
圓周率是圓形周長和直徑的比值，是一個常數。雖然圓周率數字是常數，但是它的位數確實無限的，是一個無理數，我們無法直接寫出完整的π。很多人不太理解，為何一個數有限大小，但是我們卻寫不盡。但其實數學上有很多這樣的數，比如√2，√3等等，都是這樣的樹，我們可以在數軸上找到代表它們的點，但就是無法寫出它們。為何會這樣？就是因為數字是連續的。
但是現實世界卻不一定這樣，很多物理量是不連續的。特別是量子世界，比如能量，它就是不連續的，有一個最小的能量值。還有原子的軌道和能級等等，都是不連續的，和數字不一樣。
科學探秘頻道
無論圓的面積、周長和半徑是否無限，圓周率π的小數位都是無限的，這是毫無疑問的。圓周率的大小不取決於圓的大小，圓周率是一個恆定的常數，只是這個常數不是有理數，而是無理數。圓周率的大小是有限的，只是小數位是無限的。
從數學上可以證明，對於任意一個圓，它的周長與直徑之比以及面積與半徑平方之比都是相等的常數，它就是圓周率。進一步證明表明，圓周率還是一個無限不循環的小數，它的小數位是永遠也算不盡的。目前，人類用超級計算機把π的小數位算到了31.4萬億位。但縱使超級計算機的計算能力再怎麼強大，也是無法算盡圓周率。
由於圓周率是無理數，那麼，圓的面積、周長和半徑之中都有可能是無理數。例如，如果一個圓的半徑為1，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2π和π。在這種情況下，半徑為有理數，周長和麵積都為無理數。
再假設圓的半徑為1/π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2和1/π。在這種情況下，半徑為無理數，周長為有理數，面積為無理數。
如果圓的半徑為1/√π，那麼，它的周長和麵積的大小分別為2√π和1。在這種情況下，半徑為無理數，周長為無理數，面積為有理數。
總之，由於圓周率是無限不循環的小數，這就使得圓的面積、周長和半徑不可能都是有理數。但不管怎樣，圓都是確定的，半徑、周長和麵積都有確切的數值，只是這個數可能擁有無窮無盡的小數位。
另外，只有在nπ進制下，歐氏幾何中的圓周率才會是一個有理數。而在其他進制下，尤其是人們常用的二進制、八進制等整數進制下，圓周率都是無理數。這種情況放在宇宙中的任何地方都是成立的，我們這個宇宙就是有這樣的規律。
如果在非平直的時空中，圓周率則不是常數，其大小會隨著曲率而變化。在曲率為正的球體上，圓的周長與直徑之比會大於π，並且這個數值會隨著曲率的增加而減小。而在曲率為負的雙曲面體上，圓的周長與直徑之比會小於π。
火星一號
1是有限的，3也是有限的，1/3竟然不是有限的，這是不是一樣的道理。
此用戶極其懶
圓周率表示圓和多邊形的關係。一個圓可以表示為多少邊形，就是圓周率。
那究竟一個圓可以表示為有多少個邊呢？答案一定是無限個邊，所以圓周率是無限不循環的。
在實際應用當中，圓周率的精確程度可以理解為我們用圓周率計算的圓形面積精確程度。
匠人工坊
圓的直徑與周長本沒有關係，是人類硬扯上的關係，所以不能有一個最終確切的數值
防民之o甚於川天翼731
說圓周率大於三小於四當然沒錯，但這太粗率了，應當細一點就是大於3·14而小於3·15，或者再精確一點是在3·1415926至3·1415927之間。現在用超級電腦已把兀值計算到小數點後面十億多位。
天山149544117
看了一下，一個概念不清的設問，競引來了很多冗長費勁的回答。
一句話就行了：
無限、無限大、無限循環不一樣！！！
