最近寫了幾篇關於“雙生子佯謬”的相關文章，其實“雙生子佯謬”最核心的關鍵點在於比較哥哥和弟弟誰更年輕，通常的場景都是哥哥和弟弟做一些運動，然後比較誰的時間過得更快，那麼網友最近又提出一個第三版的“雙生子佯謬”。
這個版本的場景是啥樣的呢，先看下圖。由於圖上文字很小不方便閱讀，我簡單重複下這個網友提出的這個問題。這次哥哥和弟弟還是先在地球上靜止，然後哥哥乘坐飛船離開地球，先加速然後再做勻速直線運動1年後，弟弟在乘坐飛船離開地球，同時哥哥和弟弟走的航線、加速和勻速情況都完全一致，請問當弟弟也達到勻速直線運動時，哥哥和弟弟誰更年輕。
這個問題要比之前的問題稍微複雜些，不過沒關係我們一點一點來。首先這個場景涉及三個參考系：地面、哥哥飛船和弟弟飛船。首先哥哥和弟弟最開始待著地面靜止，所以時間流逝速度一致，接下來哥哥開始加速離開地球，此時由於哥哥處於加速狀態，也就是哥哥的飛船處於“非慣性系”，還記得狹義相對論的適用範圍是啥不？是慣性系，也就是不受力的參考系，所以哥哥處於加速狀態原則上不能很方便的用狹義相對論來分析，不過誠如我之前幾篇文章所說，哥哥處於加速狀態可以把每一個瞬時速度當成一個慣性系，那麼哥哥相當於就是再不停的切換慣性系而已，我們把每個慣性系產生的相對論時間膨脹效應計算出來做累計即可。
但是有網友說加速過程的瞬時速度的無數個，如何才能把無數個瞬時速度產生的相對論效應做累計呢？其實這個問題我很早就說過，大家千萬別小看我們的數學，數學把無限項做累加早就已經成熟了，無非就是微積分而已，凡是學過高等數學的朋友應該都知道。總之你只需知道這個加速過程是可以通過微積分來處理即可，詳細的處理過程略過不談。那麼具體如何處理這個過程呢，還是擺出我們的“洛倫茲變換”，如下圖所示。
為了照顧沒看我寫的往期文章的朋友，我再介紹下洛倫茲變換的邏輯前提，首先假設有一個靜止於地面的參考系O和做勻速直線運動的參考系O'，由於狹義相對論的前提是“慣性系”，所以這兩個參考系一個靜止一個勻速直線運動，保證了兩個參考系沒受力屬於慣性系。同時假設當t=0時刻，O和O'重合，然後開始計時O'沿著X軸的正向做勻速直線運動。
請注意如果是O這個參考系下測量出來的時空座標就用（x，y，z，t）表示，如果是O'參考系下測量出來的空間座標就是（x'，y'，z'，t'），而時空座標都是四個維度的值，也就是三維空間+一維時間。
你要明白洛倫茲變換的作用是啥？是拿一個參考系下已知的時空座標，去算另一個參考系下的時空座標，簡單一句話就是為了“轉換時空座標”的。如果是已知O參考系算O'就是洛倫茲正變換，反之就是逆變換。
以上都是洛倫茲變換的基礎知識，確保你掌握了這些知識，那麼我們就開始分析這個場景，整個全程我們都以地面做參考系來算時間。哥哥和弟弟最開始靜止於地面，所以時間流逝速度一致，然後哥哥開始加速離開地球，加速過程把哥哥每一個加速的瞬時速度當成慣性系，那麼哥哥就在不停切換慣性系。由於我們是以地面為參考系來算時間，所以地面參考系下的（x，y，z，t）就可以用儀器測量出來，也就是說O參考系是已知，我們要算O'參考系下的（x'，y'，z'，t'），需要用到洛倫茲正變換，為了簡化流程，我們假設哥哥是一瞬間從靜止開始加速到v（忽略這個加速過程是因為加速過程要用到微積分很麻煩），那麼根據洛倫茲正變換的第四個公式，也就是下圖這個公式：
這個公式需要已知O參考下的t，O參考系下的x空間方向的距離，O和O'的相對速度v，光速c。也就是需要t、x、v和c四個參數，其中c是光速固定值，其餘三個需要用儀器測量出來。由於哥哥是一瞬間加速到v，所以這個瞬間哥哥可以說並沒有移動多少距離，那麼x=0，由於是瞬間加速，所以時間t=0，最後算下來t'=0，所以哥哥加速到v這個過程，哥哥和弟弟一樣年輕。
接下里哥哥做勻速直線運動，此時由於哥哥和弟弟都處於慣性系，可以直接用時間膨脹公式計算哥哥和弟弟的時間關係如下圖所示。以地面為參考系可以看出哥哥時間開始變慢了（當然如果以哥哥為參考系也會發現弟弟時間變慢，這裡並不衝突矛盾，我前面一篇文章專門解釋過）。
當哥哥做勻速直接運動1年後，弟弟準備離開地球，我們假設弟弟也是一瞬間加速到v，那麼根據剛剛的分析可以得出結論，弟弟加速的瞬間，地面上的時間和弟弟的時間是一致的，但是請注意地面上此時去看哥哥會發現哥哥依然時間很慢。
這裡我要重點強調下“時間變慢效應”的內涵，狹義相對論的“相對”二字，不僅僅是指時間和空間這兩個物理量具有相對性，造成的“時間變慢效應”本身也是相對的，也就是說哥哥坐勻速直線運動了1年，地面上看哥哥的時間變慢了，這裡的變慢是指哥哥所在飛船裡的一切事情都慢了，哥哥的動作、哥哥的生理變化等等都變慢了。但是請注意，這種變慢的效應只能是地面人去看哥哥，才會發現變慢，哥哥以自己為參考系會發現自己的時間一點都沒變慢，自己的時間非常正常，自己的生理變化也很正常。所以你如果想利用給別人加速讓別人“感覺”時間變慢，這是不可能的，你只能以自己參考系為準看到別人時間變慢，別人自己計時會發現自己時間很正常。因為每一個人其實都是以自己的參考系計時來作為時間的，所以地面人以自己當參考系計時發現自己時間很正常，地面人以自己參考系計時發現哥哥時間變慢。但是哥哥以自己為參考系發現自己時間很正常。所以“時間變慢效應”永遠都是你看別人，或者別人看你，才會出現。自己看自己是永遠不會覺得時間變慢。
有了這個基礎知識，我們再往下分析，由於弟弟瞬間加速到v後，就開始做勻速直線運動了，所以哥哥和弟弟就一直處於相同參考系了，那麼我們就把大家都開始做相同參考系的時刻當做這個場景的結束點。我們再次梳理整個過程。
首先哥哥瞬間加速到v離開地球，由於剛剛的洛倫茲變換公式地面上測量出的x=0，t=0，所以t'=0，也就是瞬間加速的過程，哥哥的時間和地面的時間基本保持一致。這個回合哥哥、弟弟、地面時間流逝速度都一致。
接下來哥哥做勻速直線運動走了1年（注意這個1年是地面人測量出來的），此時哥哥處於慣性系，弟弟和地面也處於慣性系，那麼以地面為視角會發現哥哥時間變慢，變慢多少用剛剛的時間膨脹公式可以計算出來，假設地面上測量出來哥哥走了1年，那麼哥哥實際自己在飛船裡計時會發現也許只過了1個月而已。所以此時哥哥老了1個月，弟弟已經老了1年。
然後弟弟開始模仿哥哥的加速過程，瞬間加速到v，由於剛剛洛倫茲變換分析哥哥，所以弟弟也是這樣分析的，得出瞬間加速過程弟弟時間和地面時間保持一致。接下來弟弟開始做勻速直線運動，還是剛剛分析哥哥的方法，地面人看弟弟時間也開始變慢了，但是此時弟弟和哥哥速度都是v，也是兄弟倆處於相同參考系，那麼哥哥和弟弟的時間肯定就保持一致了，只是地面人看兄弟倆時間都變慢，但是變慢程度是一致的。
所以經過以上分析可以看出，當弟弟進入勻速直線運動時，弟弟經歷了1年，哥哥才經歷1個月，自然是哥哥更年輕。由於有人會抬槓，為啥弟弟進入勻速直線運動後場景就結束，不能繼續下去嗎？答案是當然可以，只是繼續下去分析沒意義了，因為接下來弟弟和哥哥都是以速度v進行，地面上看兩兄弟時間流逝速度都是一致的，雖然兩兄弟時間和地面相比都變慢，但是你是要比較兩個兄弟誰年輕，所以你只需看哥哥和弟弟所處的參考系即可，地面上看兩兄弟時間如何如何已經不重要了。
所以接下來哥哥如果再經歷1個月，弟弟也同步增加1個月，哥哥再經歷5個月，弟弟也同步經歷5個月，但是哥哥和弟弟的年齡差已經無法改變，這個年齡差就是：1年-1個月=11個月。也就是往下走哥哥始終比弟弟年輕11個月。
其實分析這種場景最重要的就是抓住一個核心：不同參考系下看每個人的時間是不一樣的，但是這種時間不一樣僅僅是以你自己為參考系看別人才會這樣，別人自己感覺不到時間變慢的，很多人已經理解了時間膨脹效應，但是卻沒理解到這種時間膨脹效應本身也是相對的，換成別人做參考系，這種時間膨脹效應是會消失的，希望大家一定要明白，否則你就只學懂了狹義相對論的一半。
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