1900年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。
德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）
当我们回顾这次跨越时空的呼应时，却发现有一个共同的问题，并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。
黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕？在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密？破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗？
质数探索
在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。
人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。
1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。
沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。
横空出世
虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。
其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。
没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。
黎曼Zeta函数
黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。
为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。
研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。
黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。
第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。
第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。
第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。
有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。
黎曼的三个命题
短短八页的论文里，黎曼给后人留下了卓绝非凡的智慧和思想，也为后世留下了魅力无穷的谜团。文章里的证明因为篇幅限制而多被省略，吝惜笔墨的黎曼却让身后数百年的数学大家费尽心思、相形见绌。这篇格局宏大、视野开阔的论文站在了时代的最前沿，其高瞻远瞩的目光和魄力直到今日仍然指引着主流数学界的方向。
在第一个命题的某一步证明里，黎曼用轻松的语气写道：这是不言而喻的普适性的结果。但就是这样一个似乎不值一提的结果，却花费了后人40年的时间苦苦探索。芬兰数学家梅林因为在这一小步上的贡献而名垂青史。此后，在黎曼眼中一笔带过的第一命题最终才由德国数学家蒙戈尔特（Mangoldt）在46年后给出完整的证明。
针对第二命题，黎曼用了相当肯定的语气指出其正确性。遗憾的是，他没有给出任何证明的线索，只是在与朋友的一封通信里提及：命题的证明还没有简化到可以发表的程度。然而黎曼毕竟高估了读者的能力，第二个命题犹如一座巍峨的大山压在了后世数学家的心中，直到今天也踹不过气来。一个半世纪过去了，人们还在为寻找第二命题的证明而陷入深思，似乎丝毫找不到破解它的希望。
更让人们绝望的是，黎曼在论及第三命题时，破天荒地没有使用肯定的语气，而是谨慎地说道：这很有可能是正确的结论。作为复变函数功彪千古的大师，黎曼此时也失去了信心，只能借助试探的口吻表达自己的观点。也正是这个让黎曼犹豫而止步的命题，终成了数学史上最为壮美险峻的奇峰。
有人曾经质疑黎曼是否真的证明了第一和第二命题，他随意写下的结论仅仅是重复法国数学家费马（Fermat）曾经的覆辙：把错误的想法当成了真理。
1637年，爱好数学的大法官费马在一本书的页边写下了他对一个问题的看法：他发现了一个简洁的证明，但是由于纸张太小无法写下来。这就是被后世称为费马猜想的问题，其完整的证明直到358年后的1995年才由英国数学家怀尔斯借助最艰深的现代工具所完成。
但是，人们很快打消了疑虑。从黎曼遗留下来的部分草稿来看，他的数学思想和功力已经远远超越同时代的数学家。即使是几十年后被陆续发现的手稿中体现出来的能力水平，也让当时的数学家难以望其项背。因此，人们有理由相信，这是一个伟大数学家的自信和坦然。
尽管黎曼猜想成立与否不得而知，数学家们还是倾向于它的正确性。一个半世纪以来，人们在假设黎曼猜想成立的情况下，以它作为基石，已经建立了一千多条定理，并且打造了无比辉煌的数论大厦。然而一旦黎曼猜想找到反例被证伪，这些精美的大楼就会如空中楼阁一样昙花一现，最终崩塌，给数论带来灾难性的结果。
质数分布规律
质数作为一类特殊的整数，任性而古怪，它们悄悄地隐藏在浩浩荡荡的自然数列里，以自己独有的奔放奏出魅力四射的音符。这曲神秘的质数音律，不知让多少追寻真理呼唤的人为之陶醉，为之倾注毕生精力，只为找到质数起舞的脚步和节拍。
遗憾的是，骄傲的质数们都是孤独的行者，在数千年的时光里静静地等待着能读懂它的真命天子。从欧拉（Euler）开始，人们终于得以在无边无际的整数世界里一瞥质数的浮光掠影。
黎曼（Riemann）一举揭示了质数最深处的秘密，优雅地给出了质数分布的精确表达式。人们第一次能够近距离窥视质数们在自然界跳舞的规律，是那样的豪放与不羁，平静时如温柔的月光洒在无波的大海，奔腾时又如滔天巨浪倾泻在一叶孤舟，让人爱恨交织、目驰神移。
然而，质数并不是完全随性而为，它的表现始终臣服在黎曼Zeta函数零点的分布规律上。因此，破译黎曼猜想就等于完全确定了质数跳舞的规律和秩序，无疑将开启数论中最激动人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了无数人心目中梦想征服的珠穆朗玛峰。登上这座高峰的勇士，也将和历史上最伟大的名字连接在一起，成为后人敬仰和追随的英雄。
在黎曼的时代，质数定理虽然经由高斯（Gauss）和勒让德（Legendre）提出，但却是未经证实的猜想。它让最捉摸不定的质数在阳光下现出了踪迹。当时最杰出的数学大师也为此倾心，试图证明质数定理。
解决质数定理
在黎曼提出的第一个命题里，数学家很容易证明Zeta函数的零点位于实部不小于0，不大于1的带状区域上，但是无法排除实部等于0和1的两条直线。令人惊喜的是，人们很快发现如果能证明黎曼眼中显而易见的第一命题中的某一关键结论，则可以直接证明质数定理。
在黎曼提交论文的36年后，数学家哈达玛（Hadamard）等人不负众望，终于证明了该结论，也顺带解决了质数定理，从而完成了自高斯以来众多数学大师的心愿。
然而黎曼在第一命题里所轻松描述的全部结论，直到46年后的1905年才由蒙戈尔特（Mangoldt）完成。
黎曼猜想的一个小小命题里就蕴含着如此巨大的能量，自此以后，数学家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻坚上来。
于是，1900年的巴黎，希尔伯特（Hilbert）代表数学界提出了23个影响深远的问题，黎曼猜想作为第8个问题的一部分而被世人所知。百年轮回，时至今日，23个问题中已经有19个确定解决，还有3个部分解决。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人类的智力巅峰之上。
鉴于黎曼猜想的巨大难度，人们无法一步征服如此雄伟的山峰，只能在山脚和山腰寻找攀登的线索。一批数学家另辟蹊径，不再驻足于寻求黎曼猜想的证明上，而是去计算黎曼猜想的零点。如果一旦发现某一个零点并不位于实部是0.5的直线上，这就等价于找到一个反例，从而证实黎曼猜想并不成立。
1903年，丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后，人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是，这些零点的实部全部都是0.5。
1925年，李特尔伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改进了计算方法，算出前138个零点，这基本达到了人类计算能力的极限。
过于庞大的计算量，让后人放弃了继续寻找零点的努力。而为了选择更多的非平凡零点，人们还在黑暗中苦苦摸索。没想到，这一次，曙光来自于黎曼的遗稿。
手稿里的智慧遗产
随着证明黎曼猜想的努力付诸东流，而计算零点的可能也趋于渺茫，数学家陷入了漫长的痛苦期，以至于他们终于开始怀疑黎曼猜想不过是他直觉的猜测，而并没有实际的计算证据。
黎曼时代的数学家喜欢发表他们认为已经成熟的学术成果，而对探索中的理论讳莫如深。因此，很多数学家公开发表的成果只是他们做研究的极小一部分，许多价值连城的远见并没有对外公布。
这方面，高斯（Gauss）是一个典型。在1898年公布的高斯科学日记里，人们才发现，他的很多思想和成果已经遥遥领先那个时代，但是却因为没有发表而让后世的数学家走了很多弯路。
比如，椭圆函数双周期性理论的结果直到100年后才被后人重新发现。同时，高斯也最早意识到了非欧几何的存在。这样的例子比比皆是。
人们只能从高斯的稿件和信件中去寻找那些依旧蒙尘却隐匿着科学巨匠光辉的成果。
因此，在黎曼猜想面前灰头土脸的数学家把目光投向了黎曼的手稿。遗憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞见的手稿在他去世后被管家付诸一炬，从此人们失去了近距离了解黎曼进行科学思考和创作的机会，也让他卓绝非凡的智慧结晶失去了传承。
黎曼的妻子侥幸抢救出了一小部分手稿，并把它赠送给了黎曼生前的好友戴德金。后来，她担心手稿里可能有黎曼与她的私人信件，又将大部分手稿索回。这些残留的珍贵手稿，最后经由戴德金献给了哥廷根大学图书馆。这也成了黎曼留给后人的珍贵遗产。
很多慕名前去的数学家希望从黎曼的手稿里得到启发，但是，这些手稿太过艰深晦涩，人们止步于此，无法读懂黎曼在天马行空的字里行间所展示出的才能。一代数学大师的遗物，在为将来破译它的人牢牢地守护着秘密。
零点计算的推进
1932年，德国数学家西格尔（Siegel）终于在历经两年的苦苦钻研后，从黎曼的手稿里找到了关键的证据。正是这一证据表明，黎曼对他提出的三个命题有过极其深刻的思考和计算。
西格尔在手稿里发现了黎曼当年随手写下的公式，这个公式今天被称为黎曼-西格尔公式。西格尔也因为让黎曼的公式重现天日而最终获得了菲尔兹奖。
有些数学家甚至认为：如果不是西格尔发现了这个公式，时至今日，它会像埋入沙漠深处的宝藏，再难被后人重新发现。西格尔写下这个公式的那天，距离黎曼在手稿里留下这份遗产已经过去了73年。
黎曼-西格尔公式很快发挥了其巨大的威力，基于这一公式，人们可以很轻松地继续推进零点的计算。
哈代（Hardy）的学生利用西格尔公式把非平凡零点的个数计算到了1041个，人工智能之父图灵推进到了1104个。此后的几十年，在计算机的辅助下，人们继续了零点计算的接力赛。
1966年，非平凡零点已经验证到了350万个。20年后，计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。2004年，这一记录达到了8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个，仍然没有发现反例。
十万亿个饱含着激情和努力的证据再次坚定了人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函数毕竟有无穷多个零点，十万亿和无穷大比起来，仍然只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。与此同时，试图证明黎曼猜想的人们也传来了佳音。
零点的临界线
数学家哈代（Hardy，1877年-1947年），他证明了黎曼Zeta函数的零点的临界线，这是针对黎曼猜想的一个重大突破
英国数学家哈代首先证明Zeta函数的零点有无穷多个都位于实部是0.5的直线上。这是一个无比震惊的重大突破。在此之前，人们甚至不知道零点的个数是否有限，而哈代的结果则是直接告诉人们，零点的个数不仅是无穷的，而且还有无穷多个零点都位于这条临界线上。但是遗憾的是，人们并不知道临界线外是否存在非平凡零点。
随后，挪威数学家塞尔伯格（Selberg）证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。
进一步，美国数学家莱文森（Levinson）引入了独特的方法，证明临界线的零点占全部零点的比例达到了34.74%。
基于莱文森的技巧，美国数学家康瑞（Conrey）在1989年把比例推进到了40%，这也是迄今为止得到的最好结果。
物理世界的奇遇
在理论和计算的突破猛进下，人们开始关注零点在临界线上的分布规律。数学家蒙哥马利（Montgomery）发现零点分布的规律竟然和孪生质数对在数轴上的分布规律类似。受此启发，他写下了一个关联函数来描述这种规律。令人惊奇的是，该函数描述的理论结果和实际计算结果几乎完美地吻合。
蒙哥马利隐约觉得这背后隐藏着巨大的秘密，却又百思不得其解。带着这一疑问，他在1972年访问了普林斯顿高等研究院。
在下午茶的阶段，他偶遇了物理学家戴森（Dyson）。由于彼此研究领域的巨大差异，两人只是礼貌地寒暄了一下。戴森随口问问蒙哥马利研究的课题。他将心中的困惑全盘托出，这差点惊掉了戴森的下巴。原来，让蒙哥马利云里雾里的关联函数正是戴森研究二十年的成果——这不是别的，正是一类随机厄密矩阵本征值的对关联函数。这是一个描述多粒子系统在相互作用下，能级分布规律的函数。
一边是纯数学的黎曼猜想，它关乎的仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯碎的数学性质，揭示的是质数在自然数序列里优雅的舞姿和节奏。另一边，却是最现实的物理世界，它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统。
理论和现实在这里交汇，在封闭的世界里独自发展了两千多年后，作为数学最主要的分支——数论终于将触角探及真实的时空。时至今日，人们对此呈现出的种种不可思议的关联仍然感到匪夷所思。
数学理论照进现实
进入二十一世纪，越来越多的数学理论成果开枝散叶，很多早期被认为无用之用的分支，今日早已经成为现代科技最强有力的工具，为现代科技的发展推波助澜。
曾经被人们束之高阁而偏安一隅的数学研究正化作人们手中的利器，在探索物质世界的途中披荆斩棘，更为人们提供越来越多的思想动力和创造的源泉。
微积分的诞生开启了牛顿机械宇宙观的宏伟时代。人们惊奇地发现：普天之下，莫非王土，原来物理世界并不神秘，也并无不同，即使隐匿在宇宙深空的天体，其运动的规律都臣服在人类制定的法则之下。自此之后，牛顿力学开始大放异彩，基于其原理所发明的蒸汽机和发动机更是直接点燃了第一次工业革命的烈火。
我们今日所享受的信息时代的文明，诸如电脑芯片和万维网都深深地受益于量子力学的发展。这门彻底改变人们生活的科学，却源自于很多数学基础理论的馈赠，从线性代数、矩阵分析、统计学起，到数学家们为了解决五次方程求解问题而发明的群论等等。
基于广义相对论，人们发明了突破地球引力约束的卫星。这使得天地通讯成为可能，也为深空探测、陆海导航打下了基础。人们日益频繁的出行，基于地理位置的GPS导航等等都在为我们的生活提供前所未有的便利。让爱因斯坦流芳千古的广义相对论，其数学原理正是非欧几何（特别是黎曼几何）和张量分析的应用。
自80年代末期，在物理理论中一枝独秀的弦论，因为其大胆和前卫的想法，深受彼时科学家的青睐。这个有望解决相对论和量子力学的大一统理论，已经逐渐在主流科学界激起千层巨浪。弦论蓬勃发展的道路上，我们不难看到微分几何坚定的背影。
2016年，三位物理学家分享了最高的荣誉——诺贝尔奖。他们因发现了物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而获奖。数学上艰深抽象的拓扑理论第一次也找到了用武之地。
物理学家用这个工具在理论上预测了一种特殊材质的存在，在它身上，人们能观测到匪夷所思的反常量子霍尔效应。基于该效应发现的材料，能够在常温下、无需超强磁场的协助就能自发在某个方向上呈现电阻为零的特性。这让计算机芯片的发展有了无限广袤的空间，从此量子计算机和微型超级计算机的梦想距离我们又近了一大步。
数论：待开垦之地
数学的各大分支都在默默地为前沿科学提供精妙绝伦的应用。遗憾的是，有一门分支陪伴人类走过漫漫两千多年真理探寻的艰辛旅途，却还在其封闭的理论王国里孤芳自赏。作为数学家们最悠久和最忠实的伙伴，不离不弃，它就是数论。
这个数学中最大的分支已经积累了无数深邃的理论成就，当今科技能受益于数论的成果不过就是隐秘在水下的冰山一角。人们都期待着，有朝一日，当冰山融化时，数论的硕果能惠及每一个后世子孙。破冰的希望，很可能就是处于群山之巅的黎曼猜想。
黎曼猜想，只是数论研究里万千瑰丽中的一朵。人们也期盼着，从它和现实世界那让人千丝万缕的关联中，能找到打开果园的钥匙，让世界从此弥漫着果实的芬芳。
黄逸文(中国科学院数学与系统科学研究院)
下面是关于黎曼猜想的八卦。
就在昨天（9月20日），菲尔兹和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）宣称自己证明了黎曼猜想，并且要在9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲！
黎曼猜想大概是今天纯数学领域最重要的问题，因为它涉及到质数的总体规律。历史上很多宣称证明的都失败了，所以目前为止，大家都抱着吃瓜的心态等着24日的到来……
那么今天，我们就好好吃一吃瓜，八一八那些年关于黎曼猜想的十五个八卦！
01
黎曼猜想，顾名思义是黎曼提出来的。黎曼是一位19世纪的德国数学家，英年早逝只活了39岁，但却是古往今来最伟大的数学家之一，甚至为后来爱因斯坦的广义相对论奠定了数学基础。
波恩哈德·黎曼 | 维基百科
02
黎曼家里贫困，体弱多病，还特别害羞。父亲是牧师，本来也想让他做牧师的，但是他的中学校长发现他在数学上更有潜力，鼓励他学数学。据说，校长曾经送了他一本很重要很难懂的数学专著，长达859页。六天之后，黎曼把书还了回去，说“我看懂了，这本书确实非常精彩。”这一年黎曼14岁。
03
黎曼最大的贡献是在几何学，有一个标志性的事情就是他1854年为了获得哥廷根大学讲师席位而做的一场几何学演讲。因为听演讲的很多是学校的行政官员，所以他全程只用了一个数学公式，但即便如此，听众里也只有一个人完全听懂了他在说什么，这个人叫高斯，就是你可能听过的那个小时候就能几秒钟之内从1加到100的高斯。
高斯 | 维基百科
04
黎曼是感染了肺结核死的，那个时候肺结核没有好的治疗方法，只能去温暖的地方疗养，效果非常有限。黎曼去了三次意大利，都没有好转，最终死在意大利，死前最后一天还在研究数学。他死后将近一百年，人类才终于找到战胜肺结核的办法。
05
黎曼猜想是什么呢？用最最简单的话说，根据一个重要的数学公式，能画出很多很多个点，实际上有无穷多个这样的点。黎曼猜测说，这些点有一部分排成一条横线，另一部分排成一条竖线，所有这些点都在这两条线上，没有一个漏网的。
06
为什么叫猜想呢？
因为黎曼拿不出足够强的证据来说服别人。在数学上，对证据的要求是很严格的，连一丝一毫的不确定性都不能有。所以在数学上要把一个猜想变成一个证明，是非常非常困难的事情。07
因为这样的点有无穷多个，所以你没有办法一一验证是不是所有的点都在线上，永远验证不完。但是，只要你找到一个点不在线上，那就把黎曼猜想推翻了。到1936年为止，数学家手动验证了1041个，全部符合。后来数学家开始使用计算机，如今已经验证了10万亿个，也全都符合。
黎曼猜想 | poissonnerie-lacoquille.com
08
有一个伟大的数学家叫希尔伯特，他在1900年曾经列出过一套数学未解之谜，一共23道题，认为它们是当时数学界最重要的问题。其中，黎曼猜想又是最重要的问题之一。如今，这些问题有9个已经完全解决，9个获得了部分解决，2个问题提得过于宽泛而谈不上是否解决，只剩下3个没解决，黎曼猜想就是其中之一。
09
希尔伯特曾经说，如果我现在沉睡过去、1000年之后醒过来，我的第一个问题就是黎曼猜想有没有解决。
10
希尔伯特曾经有一个学生试图证明黎曼猜想，失败了，但那篇论文的想法深深吸引了他。第二年这个学生不幸去世，希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。那天风雨交加，希尔伯特致辞说这样的天才这么早离开我们真是太可惜了，台下亲朋好友哭做一团，然后他继续说，尽管他的证明有错，但按照这条路线是有可能成功的，
实际上，让我们考虑一个单变量的复函数……（喂，不要在葬礼上做数学演讲！）
大卫·希尔伯特
11
另一个大数学家哈代也很喜欢黎曼猜想。他曾经写过自己的人生目标是：1、证明黎曼猜想；2、攀登珠穆朗玛；3、刺杀墨索里尼；4、证明上帝不存在。结果他一个都没有完成。
12
有一次哈代坐船过英吉利海峡，那天暴风肆虐，他很担心船沉了，于是临出发前给朋友拍了一个电报，说我已经解决了黎曼猜想，等到了目的地给你写结果。他的理由是，证明黎曼猜想太重要了，所以上帝是不会让他半路就死的……
13
有一个数学研究所叫克雷研究所，2000年的时候他们给七道数学未解之谜分别给出了100万美元的悬赏，其中一道题就是证明黎曼猜想。如今18年过去了，7道题只有1道解决，黎曼猜想还是没能攻克。
克雷研究所官网上悬赏的未解之谜
14
黎曼猜想如果是真的话，那它将会是一个特别好用的数学结论。所以一百多年来，数学家已经假定它是真的，在此基础上导出了成百上千的命题。
因此，如果黎曼猜想被证实，那么大家都能松一口气；但如果它被证伪，那麻烦可就大了。
15
不过，数学家已经努力了一百多年都没能解决这个问题，所以一旦有人真正解决了它，不管是证实还是证伪，那他肯定是想到了什么前所未有的办法，很可能这个方法本身要比黎曼猜想更加重要，更能推动数学的进步。
24日将证明黎曼猜想的迈克尔·阿蒂亚本人 | 维基百科
下面是关于黎曼猜想的其他看法。
都在等待“黎曼猜想”证明
却不知道它后面隐藏的危险
01
大神黎曼
过直线外一点，可作其几条平行线？
欧氏几何说，只能作一条；
罗氏几何说，至少可以作两条（包括一组和无数）。
黎曼慢悠悠地反问：谁知道平行线相交还是不相交呢？
“平行线公理”的世纪之争，最终终结于黎曼。
黎曼提出：过直线外一点，一条平行线也作不出来。（这是人话吗？）
可基于黎曼几何得出的“无平行线”结论，最终成了广义相对论的数学帮手。
广义相对论最初源于爱因斯坦意识到引力并不是一种力，而是时空几何弯曲的体现。
物理直觉超于常人的爱因斯坦一直找不到数学工具来表达他的想法，如果没有数学支撑，直接说引力是时空弯曲效应，肯定会被吐槽成“物理是体育老师教的”。
所以，直到他从数学界朋友了解到黎曼的“非欧几何”，才让广义相对论提早问世。当爱因斯坦得意地跟全世界说：如果没有我，50年内也不会出现广义相对论。
这时候，能和爱因斯坦站在一起吹牛的，也只有数学大神黎曼了。
02
黎曼猜想与裸奔的互联网
“几何”一直是黎曼的主业，这又是一座深不可测的数学殿堂。
但今天聊的不是他的主业，而是他在1859年“闲暇之余”随手丢下的一个猜想。
这个猜想说的是：存在一个对素数分布规律有着决定性影响的黎曼ζ函数①非平凡零点②。
讲人话，我们来看黎曼猜想到底长什么样纸！
黎曼猜想指的是，黎曼函数所有非平凡零点的实部都是1/2。
更通俗的数学表达式如下：
ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直线x=1/2上。
怎么样！看懂了吧，如果还有疑问……那我也没辄了，我的智商有限。
黎曼自己肯定没有想到，他所提出的这个猜想，足足折腾了数学家们159年。
如果黎曼知道直到2018年我们还在纠结，一定会花点时间把证明写出来的。
这件事情还得怪他的老师高斯，高斯的座右铭是“宁肯少些，但要成熟”的低调作风，这一点影响到黎曼，让他成为一个惜字如金的大神。
他一生仅发表过10篇论文，但每篇论文都横跨各领域，是多领域的先锋开拓者，虽然不到40岁就去世，但仍然显示出不可一世的才华。
1859年黎曼抛出的这个不朽谜题，就是想解决素数之秘。
一旦素数之秘被解开，那么现在几乎所有互联网的加密方式将不再安全，互联网变成一个裸奔的世界，因为我们主要的非对称加密包括RSA密钥加密等等，都是基于大数的分解。
不仅仅是互联网，只要证明方法被公布，无需量子计算机，根据其原理甚至能破解现代银行的安全密码体系，看你还开心不开心！
03
非对称加密算法和素数的关系
那些担心自己的钱包和黎曼猜想的朋友们，我们再复习一下小学数学：
小于20的素数有多少个？答案是有8个：2、3、5、7、11、13、17和19。小于1000的素数有多少个？小于100万呢？小于10亿的呢？
观察素数表，你会发现素数数目是下降的，它们越来越稀疏。 1和100之间有25个素数，401和500之间有17个，而901和1000之间只有14个。如果把素数列到100万，最后一个百数段（就是从999901到1000000）中只有8个素数。如果列到10 000亿，最后一个百数段中将只有4个素数。它们是，999 999 999 937，999 999 999 959 ，999 999 999 961，999 999 999 989。
越到后面，素数的寻找越发艰难。
因此，聪明的数学家们将素数应用在密码学上， 因为人类还没有发现素数的规律，以它作密钥进行加密的话，破解者必须要进行大量运算，即使用最快的电子计算机，也会因求素数的过程时间太长而失去了破解的意义。
现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法，基于一个十分简单的素数事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
黎曼猜想得到完全证明，很有可能派生出攻击RSA公钥加密算法的规律。
一旦黎曼猜想得证，那么基于大素数分解的非对称加密算法可能就走到了尽头，私钥加密、签名也就失去了意义。
当我们在为数学家开心的时候，也得小心那些寻找漏洞的黑客。
04
黎曼ζ函数证明和量子幽灵有关吗？
黎曼猜想的证明有那么难吗？
在这里我不列出这些证明细节，只看看一路坎坷的证明历程：
?1896年，法国的哈达玛抵达猜想的三八临界线边缘——证明了黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部，并顺手干掉了刁难人类一百年的素数定理。
?1914年，丹麦的玻尔与德国的兰道触到了冰山一角，窥得了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。
?英国的哈代副武装模式开启，直接将“红旗”插上了临界线——证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。
?1989年美国的康瑞又推翻了列文森的推论，重新开启了估算的新篇章，又证明了至少有40%的零点位于临界线上。
……
然而谁也没能真正搞定黎曼猜想，数学上“无穷大”这只恶魔让再多数值证据都微不足道。
没想到，有幸之年，我竟能亲身见证黎曼猜想被证明，若为真，实深感荣焉。
就在最近，2018年9月20日，菲尔兹和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想，要在9月24日海德堡获奖者论坛上向全世界公布证明。
一听这消息，躲在深山老林的科学家们全炸了。
黎曼猜想这次真的会被解决吗？作为数学奖最高得主，阿蒂亚爵士的确是这个时代顶尖数学家之一。但他都89岁了，会不会只是出来玩票……
此次阿蒂亚的证明恐与量子力学有着千丝万缕的关系。
自20世纪以来，已有部分科学家注意到素数与量子物理之间存在联系。
黎曼猜想中的素数行为，酷似量子力学中的“测不准原理”，虽然你可能不知道单个分子确切位置，但是你可以确定这个房间大致的分子分布，素数这难以捉摸的行为特别像量子幽灵掌握的微观世界。
阿蒂亚若是借助量子力学这一工具来证伪黎曼猜想也不是不可能。毕竟，数学中很多重大问题，都是建立在与其他数学分支跨界联系的基础上才被解决，比如费马大定理。
而由量子理论所衍生而出的量子计算机，也早已被数学家证明能快速对大数进行质因数分解，基于“平行世界”的运算可轻而易举破解素数并颠覆密码系统。
量子力学与素数的恋情，也许将在这一次揭开情人面纱。
05
猜想将动摇数学大厦吗？
各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发。
一旦证明方法得证无误，密码夹持着的无尽秘密有多少会不复存在。
然而，黎曼猜想带来的危险不仅仅影响银行，更不仅仅影响互联网，其可能动摇到一些数学根基。
数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬品。
那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。
一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是世上极为罕有的， 也许正是因为这样的关系，黎曼猜想的名气和光环变得更加显著，也越发让人着迷。
因而，此次黎曼猜想是否成功证明，将牵一发而动全身，直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。
06
危险的数学和逝去的“爱神”
伯恩哈德·黎曼于1866年7月20日去世，离开这个世界时还不到40岁。
天妒英才，这位与欧拉、高斯、伽罗瓦一样在数学上具有顶尖天赋的人物，可能因为其才华给神带来巨大危险，很快就被上帝唤回去打麻将了。
他并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远，临走之前非常安宁，没有挣扎也没有临终痉挛，仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。
《素数之恋》一书谈到：他妻子给他拿来面包和酒，他要她把他的问候带给家里人，并对她说：“亲亲我们的孩子”。她为他诵读了主祷文，他的眼睛虔诚地向上仰望，几次喘息以后，他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。
他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里，墓碑上的碑文是：
这里安息着
格奥尔格·弗里德里克·伯恩哈德·黎曼
哥廷根大学教授
生于1826年9月17日，布雷斯伦茨
卒于1866年7月20日，塞拉斯加
万事都互相效力
叫爱神的人得益处
注释：
①ζ函数：（ζ-function）用来刻画系统周期点性态的函数。
②零点：设是定义在数域k上的函数，我们把方程f=0在数域k中的解称作f（在k中）的零点，所有零点构成的集合称作零点集。
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