矩陣是一個非常抽象的數學概念，很多同學都對其望而生畏。但是，如果能夠具體的理解了內部含義，就如同打開了一扇新的大門。

本文主要講的是特徵向量（Eigenvector）和特徵值（Eigenvalue）。

01 特徵向量（Eigenvector）是什麼？

基向量

我們一般研究數學，都是在直角座標系中，這就造就了兩個基向量：v（0,1）和 u（1,0）。

為了說明特徵向量，我們先看一下矩陣A和向量B（1，-1）：

矩陣A

如果將A和B相乘，結果如下：

AB和2B

AB

矩陣實際上可以被看作為一個變換，AB實際上表達的意思是 向量B 通過矩陣A完成了一次變換，有可能只是拉伸，有可能是旋轉，有可能兩者都有。

2B

上圖中，2B的理解就簡單很多，是將向量B拉長2倍。

那麼，特徵向量的定義如下：

任意給定一個矩陣A，並不是對所有的向量B都能被A拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特徵向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個特徵向量對應的特徵值（Eigenvalue）。

上例中，B就是矩陣A的特徵向量，2是特徵值。

特徵值的求法

02 怎麼求矩陣的平方和多次方

矩陣A

還是矩陣A，如果讓你求矩陣A的平方，你可能會覺得挺容易的。

但是，如果讓你求A的100次方呢？

還有那麼容易嗎？

按照上面的方法，一點規律沒有，只能硬著頭皮算。

補充一個概念：對角矩陣

對角矩陣

對角矩陣，顧名思義，只有對角線上有值，其他位置都是0。為什麼對角矩陣特殊，如上圖，C的平方就是對角線上數的平方，多次方也一樣。

那麼，怎麼才能將矩陣A轉變成矩陣C呢？

這就用到特徵值和特徵向量了。

A的特徵值

A有兩個特徵值，對應兩個特徵向量：（1,0）和（1，-1）。

如果我們將兩個特徵向量看作是一個新的座標系的基向量，並組合成矩陣D：

我們來計算一下

如上圖，成功的通過特徵向量將A轉變成了對角矩陣C。

A和B相似

03 求A的多次方

這下求A的多次方就方便多了：

由於C是一個對角矩陣，C的n階矩陣就比較好運算。

有的同學會問，這些計算到底有什麼用。下面舉個例子。

比方說圖片，圖片其實是一個一個像素排列在一個矩陣中。

上圖所有的像素點堆疊在圖片大小的矩陣A中（不要光看美女）。當我們對成像要求並不高，並且需要保留基本的成像特徵值的時候，就可以將特徵值從大到小的排列，並保存在矩陣C中。C中斜對角線上的值就是 上述圖像 成像的特徵值。

打個比方，上圖可能有100個從大到小的成像特徵值，但是我們只取較大的50個，並且對圖片進行處理，最後我們可以得到以下圖片。

雖然不大清晰，但是主要特徵並沒有丟失。

“逃學博士”：理工科直男一枚，在冰天雪地的加拿大攻讀工程博士。閒暇之餘分享點科學知識和學習乾貨。