開場白

這篇文章要感謝一直啟發我的3Blue1Brown，今天我們一起來討論一個隱藏在物體碰撞背後的π。

圖1

問題如下：

在一個完全光滑的地面上，有方形物體1和2，物體1的初始速度為0，質量為m，物體2的初始速度假設為1，質量為M。假設物體1和2與地面之間沒有摩擦力。

那麼，物體1、2還有牆壁之間碰撞的總次數與π到底有什麼關係呢？

系統的分析

中學的物理知識告訴我們，整體系統中動量和動能一定是守恆的。

圖2

"Sometimes, Maths and Physics conspire in ways that just feel too good to be true."

我們一步一步來分析：

當物體2初次碰撞到1後，物體2的速度變為y，物體1的速度從0變為x。

圖3

• 動能守恆定理：

圖4

我們看圖4的公式是不是特別像橢圓的公式。

圖5

我們根據動能守恆可以繪製出圖4的橢圓，物體2的初始速度是y方向上1m/s。物體1的初始速度為0。

物體2和物體1的在第一次碰撞後的速度關係可以由動量守恆公式推導得到

圖6

圖7

根據動能和動量守恆定理，我們得到了物體1和2在初始碰撞後的第二個狀態點。

圖8

圖8中狀態2變到狀態3代表物體1與牆壁的碰撞。當物體1撞擊牆面後，物體1的速度值不變，但是方向變成反向。即使系統的變量變化了，但是物體1的速度x和物體2的速度y之間的線性關係斜率不變，依然是

狀態4代表的是物體1和物體2的再一次碰撞。

碰撞多次之後，我們依次在橢圓上畫出狀態點。當最後一次碰撞之後（不管是物體1和牆壁，還是物體2和物體1），斜直線（動量守恆）過終點（圖9），物體1和物體2之後不會再次碰撞。

圖9

上述推論，我們成功的將物體1、2和牆壁間的碰撞問題轉化成了橢圓上的點了。為了便於分析，我們可以通過對X的變換將橢圓轉換成圓形。由於質量m和M都是不變的，那麼，我們將

圖10

圖11

在這種情況下，我們方便通過角度和斜率的關係作出以下分析：

圖12

作出斜直線和水平夾角Φ，我們可以得到：

圖13

有些微積分知識的讀者朋友都知道，當一個角度α很小是，α~sinα~tanα。我們將所有的關係放在了圖13，並得到了最後的結論。

物體1、2和牆壁碰撞的總次數與物體1、2的重量m和M還有π有關。

圖14

總結

現在我們可以通過我們的公式來算π了。

假設M=m，則總歸碰撞的次數約等於π（3）次。

假設M=100m，則總歸碰撞的次數約等於10π（31）次。

假設M=10000m，則總歸碰撞的次數約等於100π（314）次.

是不是很神奇，我們又推導出了π和物理世界的關係！

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