模型一 垂線段最短
如圖，已知直線 l 外一定點 A 和直線 l 上一動點 B，求 A、B 之間距離的最小值 .
通常過點 A 作直線 l 的垂線 AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
【典型例題】
1. 如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是 ∠BAC 的平分線，點 E 是 AB 上任意一點．
若 AD＝5，AC＝4，則 DE 的最小值為 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案：A .
當 DE⊥AB 時，DE 最小，此時 DE = CD，在 Rt△ACD 中，根據勾股定理易得 CD = 3 .
2. 如圖，在 △ABC 中，AB＝AC＝5，BC 邊上高 AD＝4，若點 P 在邊 AC 上 ( 不含端點 ) 移動，
則 BP 長的最小值為 ________．
答案：24/5 .
如圖，延長 CA，過點 B 作 BP'⊥CA 於點 P'，此時 BP' 的長最小 .
在等腰 △ABC 中根據 “三線合一” 的性質可知 BD = CD = 3 ,
S△ABC = 1/2 × BP' × AC = 1/2 × AD × BC，可得 BP' = 24/5 . （等積求距）
3. 如圖，點 A 座標為 (－2，0)，點 B 在直線 y＝x－4 上運動，當線段 AB 最短時，點 B 座標為________．
答案：（1，-3）.
如圖，當 AB'⊥直線 y＝x－4 時，此時線段 AB 最短 .
設直線 AB' 的解析式為 y = kx + b （k ≠ 0）,
∵ AB'⊥BB'，KBB' = 1，（KBB' 為直線 y＝x－4 的斜率 ）
∴ KAB' × KBB' = - 1 ，（兩條直線垂直斜率乘積為 -1）
∴ KAB' = - 1 ， 即 k = -1 ,
∴ 直線 AB' 的解析式為 y = -x + b ,
∵ 點 A（-2,0）在直線 AB' 上，
∴ 0 = 2 + b , 解得 b = -2 ,
∴ 直線 AB' 的解析式為 y = -x - 2 .
聯立直線 y = x - 4 , 解方程可得 B'（1，-3）.
模型二 胡不歸問題
“胡不歸” 問題即點 P 在直線 l 上運動時的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值問題 .
問題：
如圖 ①，已知 sin∠MBN＝k，點 P 為 ∠MBN 其中一邊 BM 上的一個動點，
點 A 在射線 BM、BN 的同側，連接 AP，則當 “ PA＋k·PB ” 的值最小時，點 P 的位置如何確定？
解題思路：
本題的關鍵在於如何確定 “ k·PB ” 的大小 .
過點 P 作 PQ⊥BN 於點 Q，則 k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，
∴ 可將求 “ PA＋k·PB ” 的最小值轉化為求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如圖 ② )，
∴ 當 A、Q、P 三點共線時，PA＋PQ 的值最小 ( 如圖 ③ )，此時 AQ⊥BN .
【典型例題】
1. 如圖，四邊形 ABCD 是菱形，AB＝6，且 ∠ABC＝60°，
M 為對角線 BD ( 不與點 B 重合 ) 上任意一點，則 AM＋1/2 BM 的最小值為________．
答案：3√3 .
如圖，過 A 點作 AE⊥BC 於點 E，交 AB 於點 M' ，則 AM＋1/2 BM 的最小值為 AE .
在 Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，
∴ AE = AB ▪ sin∠ABC = 6 × √3 / 2 = 3√3 .
拓展應用：
對於求“ m·PA＋k·PB” 的最值，若 m > k ≥ 1，可轉化為 “ m ( PA + k/m · PB ) ” 的最值 , 此時 0< k/m < 1.
(1) 本題若要求 “ 2AM＋BM ” 的最小值，你會嗎？請求解．
答案：6√3 .
(2) 本題若要求 “AM＋BM＋CM” 的最小值，你會嗎？請求解．
答案：6√3 .
AM＋BM＋CM 最小時，此時點 M 為 △ABC 的 “費馬點”，
所以 AM＋BM＋CM = BD = 2 × √3 / 2 × 6 = 6√3 .
2. 如圖，在平面直角座標系中，二次函數 y＝ax2 + bx＋c 的圖象經過點 A(－1，0)、B(0，－√3 )、
C(2，0)，其對稱軸與 x 軸交於點 D .
若 P 為 y 軸上的一個動點，連接 PD，則 1/2 PB＋PD 的最小值為_______．
答案：3√3 / 4 .
如圖
1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值為 DE，則 ∠PBE = 30°，可解得 DE = 3√3 / 4 .
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