混沌的特征：在确定性系统中看似随机的无规律行为；由于确定性的规律，短期内可预测；又因为蝴蝶效应的不可预测性，长期则无法预测。
混沌：蝴蝶效应
混沌的现象引起了一些微妙的哲学问题，这些问题蒙蔽了一些粗心的人。例如，我的几名学生对蝴蝶效应嗤之以鼻，认为它平淡无奇。我们都知道，小事情确实可以在我们的生活中引起巨大的不同，甚至会影响国家的命运。由于如此多的复杂性、如此多的无法解释的变量夹杂其中，微不足道的事件有时确实会引发与之不相称的连锁反应。下面是一首描述王国没落的古代诗歌。
断了一枚钉子，掉了一只蹄铁；
掉了一只蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，摔死了一位将军；
摔死了一位将军，吃了一场败仗；
吃了一场败仗，亡了一个国家。
但直到混沌理论出现后，这首诗才得到了广泛的认同。类似的连锁反应甚至可以让最简单的系统苦恼不已：水轮、旋转的月球、滴水的水龙头，这些力学系统中的所有定律都已知，只存在几个变量。即使在这些系统中，也潜伏着混沌的种子，随时准备展现它们带来的惊喜。
另一个微妙之处是：在混沌中，每个点都是不稳定的点。每一刻都是真理的时刻。每一个决定都会产生长期的后果，将你的生活改变得面目全非。当你系衬衫扣子时，你完全无法预知选择从上向下系还是从下向上系，在其数年后产生的结果会有多么的不同。我们的生活可能就是这样的，我们只能沿着一条轨迹前进，所以我们无法知道当我们从下向上系扣子时，命运会发生怎样的改变。但为了保持心智健康的生活，我们只能相信，几乎所有的决定都是无关紧要的。电影《双面情人》（Sliding Doors ）就对这种困境进行了探索，影片中描绘了一个女人生活的两个完全不同的版本，而这两种不同的命运取决于在屏蔽门关闭时她是否赶上了地铁。
相比于混沌系统，有节律的系统并不显现这种对小干扰的过度敏感。拍打一个节拍器，它会断断续续地移动，但随后仍会恢复它持续不断的嘀嗒声。虽然这会使计时产生偏差，但这种偏差不会随着时间的推移而增长。通过下面这个假设，我们可以看得更清楚。有两个相同的节拍器，初始状态是同步的，干扰其中的一个，它恢复后就不再与另一个同步，二者之间会有一个固定的时间间隔，这种差异不会增加也不会减小。更普遍的是，当一个非混沌系统受到轻微的扰动，干扰要么不增加，要么增加幅度非常轻微，且与时间长短成比例。
有人说，误差的增长速度不会快于随时间的线性增速。这里的要点是如何进行定量计算。误差的线性增长暗示，混沌系统至少在原理上是可预测的。潮汐、哈雷彗星的回归、日食的时间，所有这些都有强烈的节律性，因而可以预测，因为微小的干扰不会迅速增长成为主要误差。预测非混沌系统的时间每长一倍，其初始状态的测量精度就要提高一倍。让系统多运行三倍长的时间，你的测量精度就要提高三倍。换句话讲，可预测的范围也是线性增加的，它与初始状态的测量精度成正比。
而另一方面，混沌系统有着一种完全不同的表现方式，正是在这里，我们开始了解到蝴蝶效应真正令人丧失信心的含义。成功地预测一个混沌系统状态的时间长度取决于三个因素：我们可以容忍多大的预测误差；我们对初始状态的测量精度的高低；我们无法控制的时间尺度，又被称为“李雅普诺夫时间”，它主要取决于系统本身的内在动力学特性。
粗略地讲，我们能够预测的时间的极限长度即相当于李雅普诺夫时间，此后，真实初始状态的测量误差会滚雪球似的迅速增大，超出可容忍的限度。通过降低我们的预测标准或提高我们的初始测量精度，我们总是可以预测更长的时间。但问题是，可预测的极限总是取决于初始测量精度：如果你想预测两倍长的时间，且仍要达到相同的精度，那么它将花费你十倍而不是两倍的努力。如果你有雄心，想预测三倍长的时间，那么它将花费 100 倍的努力；四倍长的时间就需要 1000 倍的努力，以此类推。在混沌系统中，所需要的初始测量精度是呈指数级增长的，而不是线性增长。
这种指数级增长是毁灭性的。这意味着在实践中，无论你的仪器有多好，你能够预测的时间永远都不会长于李雅普诺夫时间。李雅普诺夫时间限定了一个极限值，超过了它，便无法得到可接受的预测。对于一个混沌电路，极限值大约为千分之一秒；对于天气，极限值是未知的，但通常来说是几天的时间；对于太阳系，极限值则是 500 万年。
太阳系的极限值如此之久的原因是，行星的运动在我们今天看来是完全可以预测的；在人类生命的时间尺度上，甚至整个天文学史中，它们都是可预测的。当我们计算数百年前或数百年后的行星位置时，我们的预测是可靠的。但任何关于 40 亿年前，即地球上刚刚出现生命的时候的行星位置说法，都是毫无意义的。
混沌的最后一个微妙之处与潜伏在其中的一种奇怪的秩序相关。混沌不是无形的（再次声明，不要理会这个词语的通常意义）。对于它底层结构的暗示表现在了玩具水轮的运动中，伴随着它永不停息的旋转和反向。尽管序列从不会完全重复，但它的总体特征保持不变。混沌拥有永远不会改变的品质，这是混沌的本质。
▲ 爱德华·诺顿·洛伦茨（1917年5月23日－2008年4月16日），美国数学与气象学家。混沌理论之父，蝴蝶效应的发现者。
早在 20 世纪 60 年代初，当洛伦茨分析他的小模型时，就将混沌的本质具体化了。它呈现出一种怪异而又陌生的形状，而不是一个表面，也不是一个固体的体积。当时，现代计算机图形学尚未问世，将混沌可视化绝非易事。甚至洛伦茨在脑海里想到了它的样子之后，还在挣扎着想找到恰当的语言描述其独特的几何形状。他将其描述为“表面无限复杂”，今天我们把它称为“奇怪吸引子”。
正如圆形是周期的形状，奇怪吸引子则是混沌的形状。奇怪吸引子存在于一个被称为“状态空间”的抽象的数学空间中，它的轴代表一个物理系统中的所有变量。洛伦茨方程涉及三个变量，所以奇怪吸引子存在的状态空间是三维的。对于水轮——洛伦茨方程的精确力学模拟，其中一个变量表示了轮子旋转的速度和方向，而另外两个变量则表现了水如何分布在轮子边缘的两个特定的特征。这些变量在任意瞬间的数值定义了状态空间中的一个点，对应于系统在任意时刻的频闪照片。
在下一时刻，随着轮子的旋转、水的流动及重新分配，状态会发生改变。从一个状态变化到另一个状态，系统伴随着自身的动力学特性而演化，由自己的动力推动前进。就像阿瑟·默里（Arthur Murray）舞蹈课中的图解，洛伦茨方程是决定下一步走向何处的规则。它们决定了状态空间中每个点上无限小的箭头的方向。无论转到了哪种状态，它必须遵循那一点的箭头方向，这将它立即带到了一个新的点上。随着那个瞬间的箭头方向，它会前进到下一点，以此类推。随着时间的推移和变量数值的变化，这个点穿越了状态空间，遵循着一个被称为“轨线”的连续路径，就像数学家头脑中的彗星在假想的空间中运行。这个想法的美丽之处在于，它将动力学特性转化成了几何学。混沌运动变成了我们可以看到的图像，一幅我们可以凝视、检查和研究的静态图像。
混沌是什么样的？轨线永远在状态空间中四处游荡，它永远不会闭合或交叉，因为混沌从不重复。洛伦茨可以证明，他的轨线永远被限制在一个特定的大球体内，所以它永远不会逃逸到无限空间中。轨线被困在这个球里，永远在球中无趣地四处游荡，它必须遵循一个非常复杂的路径。我们渴望把它描绘成一个由混乱的线段缠绕成的球体，杂乱无章，没有任何结构。
但是洛伦茨原始的计算机图象表明，轨线以一种高度组织的方式运动，只运动到了可移动空间中的一小部分。事实上，它似乎被吸引到了一个特定的表面上——一个纤弱、微观的薄膜，更巧的是，其形状像一对蝴蝶的翅膀。轨线环绕在一只翅膀上，以螺旋形状离开中心。当它接近翅膀边缘时，它就会飞奔到另一只翅膀上，并再次开始以螺旋形状离开中心。轨线会在每只翅膀上画上不计其数的螺旋线，然后跳到另一只翅膀上，就像水轮在反向旋转之前沿着一个方向旋转的次数不可预测一样。
正当洛伦茨努力想搞明白计算机告诉他的意思时，他了解到了有些事情一定是错的。他知道轨线不可能被限制在一个表面上：这样就无法避免轨线出现交叉。蝴蝶的翅膀可能看起来像一个单一的表面，但它们实际上必须建立在无限层上，它们紧密堆积在一起，难以区分，像一层层的云母片。
这个无限复杂的表面——奇怪吸引子，包含了一种新的有序。虽然轨线的运动细节不可预测，但它总是停留在吸引子上，总是穿过相同的子状态。它有限的本领解释了混沌中隐藏的秩序，并解释了为什么它的本质永远不变。
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