今天我們來聊一個有趣的話題。有關葉貝斯的概率公式。
我們都知道，醫生斷病的準確率不可能達到100%，小到感冒發燒，大到癌症腦出血，都會有被誤診的概率。只不過隨著醫療水平的提升，誤診的概率已經非常低了。
好。開始今天的話題。
先來一個假設：
假設A病的發病率是5%，醫生對A病診斷的正確率為90%，隔壁老王不幸被診斷患有A病，那麼，老王實際上真的得了A病的概率是多少呢？
既然醫生已確診，醫生的準確率是90%，那麼，答案很簡單，老王真正患病的概率是90%吧？
然而，錯了。
老王真正患病的概率只有後32.14%而已。
來來來，我們嘮一嘮咋回事。
我們先建立一個模型。這個模型中有1000個人，這1000人中有50人真正患有A病，佔比剛好是5%，醫生對A病的診斷正確率剛好是90%，接著，我們來算一算，如果其中一個人被確診患A病後，他的真正患病概率是多少？
首先，我們把真實患病的50個病人先拎出來：
因為醫生的診斷正確率為90%，所以這50個真正患病的人中，有50x90%=45個人是真正患病並被診斷出來的，剩下的5個人是本來患病但是被醫生誤診為沒病的。
然後，我們再來看看模型中沒有患病的1000-50=950人：
因為醫生的診斷正確率為90%，所以這950個真正沒患病的人中，有950x90%=855人真的沒病並且醫生也診斷他們沒病，剩下的95人本來沒病但是被醫生誤診為患病。
到這裡，我們就可以得到答案。
在這個模型裡，被診斷患病的人一共有45+95=140人。這140人中真的患病的只有45人。所以，如果一個人被確診患病，那麼他本身真的患病的概率為：
45÷140≈32.14%
怎麼樣？比你想象的要低很多吧？
而實際上，如果把發病率降低到2%，那麼這個概率會下降到約
15.52%...因此，有些發病率極低的病，如果被初次確診，那麼你沒病的概率還是有一些的。
好，我們再換一個方向。
假設A病的發病率是5%，醫生對A病診斷的正確率為90%，隔壁老王被診斷不患有A病，那麼，老王實際上真的沒得A病的概率是多少呢？
還是老方法：
首先，我們把真患病的50個病人先拎出來：
因為醫生的診斷正確率為90%，所以這50個真正患病的人中，有50x90%=45個人是真正患病並被診斷出來的，剩下的5個人是本來患病但是被醫生誤診為沒病的。
然後，我們再來看看模型中沒有患病的1000-50=950人：
因為醫生的診斷正確率為90%，所以這950個真正沒患病的人中，有950x90%=855人真的沒病並且醫生也診斷他們沒病，剩下的95人本來沒病但是被醫生誤診為患病。
被診斷沒病的人一共有5+855=860人。這860人中真的沒病的有855人。所以，如果一個人被診斷沒病，那麼他本身真的沒病的概率為：
855÷860≈99.42%
對於發病率更低的病，如果初次被確診，那麼先別慌，被誤診的概率還是有一些的，可以換個醫院要求複查看看。如果兩次診斷都患病....嗯，準備錢治病吧。
如果初次被診斷沒病，那麼你很可能真的就沒病。如果兩次診斷都沒病，那麼你被誤診的概率真的是太小了。
好。我們轉換一下思維，來看看另一個有趣的“瑪麗蓮問題”。
假設你去參加一檔綜藝節目，並闖入最後一關。導演組在臺上安排了三扇門，其中只有一扇門的背後是真正屬於你的大獎，其餘兩扇門後全是謝謝參與。當你選擇了三扇門其中的一扇（但還沒有打開）時，事先已經知道大獎在哪扇門後的主持人喊了cut，然後從剩下的兩扇門中打開了一扇謝謝參與的門，然後問你：你有一次換門的選擇，你要換嗎？
不妨現在心裡想一個答案，然後再往下看。
我們還是假設一個模型。你來來回回參加了這檔綜藝節目600次，有600次開門的機會。並且，我們假定，這600次中，大獎分別平均分佈在三扇門後，如下圖：
那麼，你第一次就選中大獎的概率是三分之一。
當然，你還有三分之二的概率選錯。
在知情的主持人幫你排除掉一個錯誤的選擇後，你該聽主持人的建議換門嗎？
看下圖：
如圖。聽從主持人的意見換門後，選中大獎的次數為400次，選錯200次。選對的概率是三分之二~
總結一下。如果你不聽從主持人的建議，那麼你選中大獎的概率是三分之一；如果你聽從主持人的建議換門，那麼你選中大獎的概率會提高到三分之二。
所以，果斷換門吧。
好了，是不是很燒腦...
今天跟大家玩了個有趣的概率問題討論，希望大家喜歡。
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