作者 | Henri Poincaré

翻譯 | 李醒民

來源 | 《世界科學》 1988年04期

I

研究一下偉大數學家或一般數學家的著作，人們不能不注意到和區分出兩種相反的趨勢，或者毋寧說是兩種完全不同的精神類型。一些人尤其專注於邏輯；讀讀他們的著作，人們被誘使相信，他們運用沃邦（1633-1707，法國著名的軍事工程師和元帥一一譯註）的方法，只是一步一步地前進。這種方法推動他們有步驟地工作，去奪取一個更為有利的位置，而沒有隨便拋棄任何東西。另一些人受直覺指引，他們像勇敢的前衛騎兵，迅猛出擊，但有時也要冒幾份風險。

所探討的問題迫使他們採取這種或那種方法。雖然人們往往稱前者為解析家，稱後者為幾何學家；但是這並不防礙第一種人依然是解析家，即使當他們研究幾何學的時侯；而另一種人還是幾何學家，即使當他們從事純粹解析的時侯。正是他們精神的本性，使他們成為邏輯主義者和直覺主義者，當他們處理新課題時，他們也不能把它撇到一邊。

在數學家中間，並非教育能助長一種趨勢而抑制另一種趨勢。數學家是天生的，不是人為的，他似乎生來就是幾何學家或解析家。

我樂於引證一些例子，這樣的例子實在太多了；但是，為了強調對照，我願以一個極端的例子開始，請允許我在兩個活著的數學家中尋找例證吧。

梅雷（Meray）先生想證明，二項式方程總是有根，或者用通俗的話說，角總是可以剖分。如果存在著任何用直接的直覺可以感受的真理，那麼它就是這樣的真理。誰會懷疑一個角總是可以分為任意等分呢？梅雷先生卻不如此觀之；在他看來，這個命題根本不是明白的，他需要幾頁篇幅去證明它。

另一方面，看看克萊茵（Felix Klein）教授，他正在研究函數論的一個最抽象的問題：確定在給定的黎曼（Riemann）曲面上，是否總是存在著具有已知特性的函數。這位著名的德國數學家作了些什麼呢？他用電導率按某些規律變化的金屬面代替他的黎曼曲面。他把金屬面上的兩個點與電池的兩極聯接起來。他說，電流必定通過金屬面，電流在面上的分佈將確定一個函數，該函數特性恰恰就說明所要求的特性。

毋庸置疑，克萊茵教授完全瞭解，他在這裡提供的僅是一個梗概；不過，他還是毫不猶豫地發表了它；他恐怕認為，他從中發現，即使這不是嚴格的證明，但至少在信念上是可靠的。邏輯主義者極端厭惡地排斥這種概念的形成，或者更確切地講，他不可能排斥它，因為在他的思想中從來也沒有產生這種概念。

請容許我再比較兩個人，他們倆是法國科學的光榮，最近去世了，可是他們的業績早就永垂不朽。我講的是貝爾特朗德（Bertrand）先生和埃爾米特（Hermite）先生。他們同時在同一學校上學；他們受相同的教育，處於同樣的影響之下；可是差別卻何等之大！這不僅在他們的著作中顯現出來，而且在他們的教學、談吐方式、甚至在他們的外表中都有所表現。這兩個人的風采在他們所有學生的腦海裡銘刻下永不磨滅的印記；對於那些樂於聆聽他們的教導的人來說，這種記憶依然歷歷在目；我們很容易回想起它。

貝爾特朗德在講演中總是動來動去；他時而彷彿與某些外來之敵戰鬥，時而用手勢描繪他所研究的圖形的輪廓。顯然，他想象著，並試圖去描繪它，這就是他為什麼要藉助手勢。而埃爾米特則迥然不同；他的雙眼似乎避免與世界接觸；他尋求真理的妙訣不在心外，而在心內。

在本世紀的德國幾何學家中間，有兩個人尤其遐邇聞名，這兩位科學家奠定了廣義函數論，他們是維爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼。維爾斯特拉斯把一切都歸結為級數及其解析變換；為了更好地表示，他把解析化為類似於算術的拓展；翻閱他的全部著作，你找不到一張插圖。相反地，黎曼卻同時求助於幾何學；他的每一個概念都是一幅圖像，人們一旦明白了它的意義，便會永誌不忘。

其後，李（Lie）是一位直覺主義者；讀其著述，頓生疑團，經他道破之後，人們便煥然冰釋；你同時看到，他用圖形思維。而科瓦列夫斯基夫人（Madame Kovalevski）則是一位邏輯主義者。

在我們的學生中間，我們也注意到同樣的差別；一些人更喜歡用“解析”處理他們的問題，另一些人則用“幾何學”。前者不能在“空間中想象，而後者則十分厭倦冗長的計算，很快就變得暈頭轉向。

對於科學的進步來說，這兩類精神同樣是必要的；邏輯主義者和直覺主義者都獲得了其他人沒有作出的巨大成就。誰膽敢冒昧地說，他寧願維爾斯特拉斯永遠不著書立說，或者寧願世上從來就沒有黎曼這個人呢？而且，分析和綜合二者都有其合法任務。比較周密地研究一下它們在科學史中所起的作用，是饒有興味的。

II

太奇怪了！如果我們瀏覽一下古人的著作，我們情不自禁地把他們統統歸入直覺主義者之列。然而，人的本性總是相同的；要在本世紀開始創造出專注於邏輯的精神，這幾乎是不可能的。

假使我們使自己置身於古代幾何學家所處時代的佔統治地位的觀念潮流中，那麼我們會清楚地認識到，他們之中的許多人在傾向性上都是解析家。例如，歐幾里得創造了科學結構，他的同代人沒有從中挑出毛病。在這個龐大的建築物中，它的每一個部件不管怎樣都歸因於直覺，可是，我們今天依然可以亳不費力地從中辯認出一位邏揖主義者的工作。

變化的不是精神，而是觀念；直覺精神依然是相同的；可是，他們的讀者卻要求他們作出較大的保留。

這種演變的原因是什麼呢？

直覺是不難發現的。它不能給我們以嚴格性，甚或不能給我們以可靠性；這一點愈來愈得到公認。

讓我們舉一些例子。我們知道，存在著沒有導數的連續函數。沒有什麼東西比邏輯給予我們的命題更讓直覺震驚了。我們的祖先不假思索地斷言：“每一個連續函數都存在導數，這是很明白的，因為每一條曲線都有切線。”

直覺怎樣能夠在這一點上欺騙我們呢？正因為當我們試圖想象曲線時，我們無法把它描繪得沒有寬度；正是這樣，當我們描繪直線時，我們

若不管嚴密的解析，從而我們將得出結論：曲線總是有切線。

我願把狄利克雷（Dirichlet）原理作為第二個例子，如此眾多的數學物理學定理都建立在該原理上；今天，我們通過十分嚴格、十分冗長的推理證明它;相反, 在此之前，我們卻滿足於概括的證明。與一任意函數相關的某一積分永遠不為零。人們由此斷定，它必定有極小值。這一推理中的缺點直接衝擊著我們

但是如果我們利用具體的圖像，那我們就沒有同樣的函數。例知我們把這個函數看作是電勢, 情況就不同了; 可以認為, 斷言能夠達到靜電平衡是合理的。然而, 物理比較也許能喚起一些模糊的懷疑。但是, 如果謹慎地把推論翻譯成幾何學的語言, 即介於分析語言和物理學語言之間的語言，那麼毫無疑問，這種懷疑便不會產生，這樣一來，人們即使在今天還能欺騙許多沒有預先告誡的讀者。

因此, 直覺沒有給我們以可靠性。這就是演變為什麼必然發生；現在，讓我們看看它是如何產生的。

人們將立即注意到，除非嚴格性先進入定義中，否則就無法在推論中引入嚴格性。

因為數學家所處理的大部分對象長期以來都沒有完全定義；他們假定它們是已知的，由於他們藉助於感覺和想象來描述它們；但是，人們僅有粗糙的圖象，而沒有一個推理能夠賴以成立的精確觀念。

因此，邏輯主義者必須付出他們的努力。在不可通約數的情況中就是這樣。我們歸因於直覺的連續性的模糊觀念分解為關於整數的不等式的複雜系統。

藉助於這種方法，由通過極限或考慮到無限小而引起的困難終於被消除了。

今天，在解析中，僅僅剩下整數，或者說，整數的有限或無限的系統被相等或不等的網格約束在一起。

正如數學家們所說，數學被算術化了。

III

第一個問題呈現出來。這種演變終結了嗎？

我們最終達到絕對的嚴格性了嗎？在每一個演變階段，我們的祖先也曾認為，他們已經達到了嚴格性。如果他們欺騙了自己，我們同樣也欺騙我們自己嗎？

我們自信，我們在推理中不再訴諸直覺；哲學家告訴我們，這是一種假象。純邏輯永遠也不能使我們得到任何東西；它不能創造任何新東西；任何科學也不能僅僅從它產生出來。

在某種意義上，這些哲學家是對的；要構成算術，像要構成幾何學或構成任何科學一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱呼這種東西，我們只好使用直覺這個詞。可是，在這同一詞後，潛藏著多少不同的意思呢？

比較一下這四個公理：（1 ）等於第三個量的兩個量相等；（2）若一定理對數1為真，假定它對為真，如果

所有這四個公理都歸之於直覺，不過第一個闡明瞭形式邏輯諸法則中的一個法則；第二個是真實的先驗綜合判斷，它是嚴格的數學歸納法的基礎；第三個求助於想象；第四個是偽定義。

直覺不必建立在感覺明白之上；感覺不久便會變得無能為力；例如，我們無法想象千角形，可是我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。

你們知道彭賽列（Poneelet）藉助連續性原理所推斷的東西。彭賽列說，對實量為真之理對虛量也應為真；對有實漸近線的雙曲線為真之理從而對有虛漸近線的橢圓也應為真。彭賽列是十九世紀最具有直覺思想的人之一；他對直覺是如此之酷愛，如此之誇耀；他把連續性原理視為他最大膽的一個概念，這個原理還不依賴感覺的明白。更確切地說，把雙曲線看作與橢圓類似，是與這種明白相矛盾的。這只是一種早熟的、本能的概括，而且我不想為之辯護。

於是，我們有多種直覺；首先，求助於感覺和想象；其次，通過歸納進行概括，而歸納可以說是摹寫實驗科學的程序；最後，我們有純粹數的直覺，我剛才闡述的第二個公理即由此而生，它能創造真正的數學推理。

我在上面已用例子表明，前兩個公理不能給我們以必然性；但是，誰當真會懷疑第三個呢？誰會懷疑算術呢？

於是，在今日的解中，當人們想千方百計地追尋嚴格性時，除了三段論或訴諸純粹數的直覺外，則別無它法，唯有這種直覺不會欺騙我們。可以說，絕對嚴格性今天已被達到。

IV

哲學家還作出另外的詰難，他們說：“你在嚴格性方面有所得，你將在客觀性方面有所失。你只有割斷把你和實在連接起來的

例如，我企圖證明，某一特性附屬於某一對象，該對象的概念乍看起來似乎不可定義，因為它是直覺的。起初，我或者失敗，或者必須滿足近似的證明；我們決定給我的對象下精確的定義，這使我以無可指責的方式確立這一特性。

哲學家說：“於是，依然要證明，對應於這個定義的那個對象的確與你通過直覺所認識的對象是相同的；或者依然要證明，你自信你辯認出的、與你的直覺觀念一致的、真實而具體的對象對應於你的新定義。然後，你才能斷言，它具有所述的那種特性。你只不過是轉移了困難而已。”

情況並非如此；困難沒有轉移，它只是被分開了。所確立的命題實際上由兩種不同的真理構成；其一是數學的真理。其二是實驗的真理。唯有

這意味著統統駁回了哲學家的這一詰難嗎？我不想那樣說；數學科學在變成嚴格的科學時，它獲得如此人為的特徵，以致給每個人都留下了印象；它忘記了它的歷史起源；我們看到問題應該怎麼回答，我們不再理會問題如何提出和為何提出。

這向我們表明，邏輯不是充分的；證明的科學並非全部科學，直覺作為補足物必然保持它的作用，我正要說直覺作為平衡物或作為邏輯的矯正物。

在講授數學科學時，我有機會堅持直覺應該佔有的地位。沒有直覺，年輕人在理解數學時便無從著手；他們不可能學會熱愛它，他們從中看到的只是空洞的玩弄詞藻的爭論；尤其是，沒有直覺，他們永遠也不會有應用數學的能力。

但是，現在我首先要談談直覺在科學本身中的作用。如果直覺對學生是有用的，那麼對有創造性的科學家來說，它更是須臾不可或缺的。

V

我們尋求實在，可是實在是什麼呢？

生理學家告訴我們，有機體是由細胞形成的；化學家附加道，細胞本身是由原子形成的。這意味著這些原子或這些細胞構成實在，或確切的講，構成的唯一的實在嗎？這些細胞排列的方式和導致個體統一的方式不也是比孤立的要素的實在更為有趣的實在嗎？除了用顯微鏡外，從未研究過大象的博物學家能夠認為他已經充分地瞭解

好了，在數學中也有一些與此類似的東西。可以說，邏輯主義者因之把每一個證明分為許多基本演算；當我們已經相繼審查了這些演算，並確認每一個都正確無誤的時候，我們必須認為我們已經抓住了該證明的真正意義嗎？即使當我們博聞強記，正好運用發明者排列基本運算的順序而重演它們，從而能夠重複這一證明時，我們可以理解它嗎？顯然不能；我們還沒有掌握全部實在。我不知道什麼東西造成了證明的一致，這將使我們感到十分困惑。

純粹解析把許多程序提供給我們使用，它保證這些程序是確實可靠的；它向我們開闢了成千條不同的大道，

假如你正在觀棋，要弄懂一盤比賽，僅知道棋子走動的規則是不夠的。那隻能使你辨認每一步符合這些規則，這種知識的確沒有什麼價值。如果讀數學書的人僅僅是一位邏輯主義者，那麼他也會這樣做。要弄懂棋賽完全是另一回事；必須瞭解棋手為什麼走這個棋子而不走那個棋子，他可以在不違犯下棋規則的情況下走那一步的，可以察覺出使這一系列相繼的步子成為一種有機的整體的內在根據。有充分理由表明，對子棋手本人有必要，對發明家來說也是這樣。

讓我們撇開這種比較而返回到數學上來吧。

例如，看看連續函數觀念所發生的情況。起初，這僅僅是可感覺的圖像，例如用粉筆在黑板上勾劃的連續痕跡的圖像。然後，它漸漸地變得精細了；不久，它被用來構造複雜的不等式系統，這可以稅是摹寫了原始圖像的全部線條；這座建築物峻工後；拱架好橡被拆除了，臨時作為支架而此後毫無用處的粗糙表象被拋棄了；保留下來的僅僅是建築物本身，在邏輯主義者看來，該建築物是無懈可擊的。但是，倘若原始圖像從我們的記憶中統統消失，那麼所有這些不等式以這種方式相互堆疊，究竟是怎樣藉助於隨想而神悟的呢？

也許你認為我使用了過多的比喻；可是請原諒我再作一個比喻。你無疑見過形成某些海綿骨骼的硅質針狀的纖細集合物。當有機物質消失時，留下的只是易脆的美麗的網眼薄紗。的確，除了二氧化硅外別無它物，可是有趣的是這種二氧化硅而具有的形狀，如果我們不知道正好使二氧化硅是一定形狀的活海綿，

對於發明家來說，這種集合物的觀點是必不可少的。邏輯能夠把它給予我們嗎？不能；數學家給它起的名字足以證明這一點。在數學中，邏輯被稱為解析，解析意味著分解、分析。因此除瞭解剖刀和顯微鏡外，不會有其它工具。

這樣一來，邏輯和直覺各有其必要的作用。二者缺一不可。唯有邏輯能給我們以可靠性，它是證明的工具；而直覺則是發明的工具。

VI

但是，在提出這個結論時，

在這裡，存在著一個需要解釋的矛盾，至少在表面上是這樣。

首先，正像形式邏輯規則要求這些邏輯主義者那樣，他們總是從一般到特殊，你認為是這樣嗎？於是，他們無法開拓科學的疆界；科學的征服只能靠概括進行。在《科學與假設》的一章中，我有機會研究了數學推理的本性，而且我已經表明，在不失去絕對嚴格性的情況下，通過我稱之為數學歸納法的程序，這種推理如何把我們從特殊提升到一般。

正是藉助於這種程序，分析才促成了科學的進步，如果我們審查一下他們證明的細節，我們將會發現，它每時每刻都可與亞里士多德經典的三段論相比。

因此，我們已經看到，解析家並非仿效經院哲學家，僅僅是三段論的製造者。

還有，你認為他們看不到他們希望達到的目標，總是一步一步摸索著前進嗎？他們必須推測通向那裡的道路，為此他們需要嚮導。

這個嚮導首先是類比。

例如，分析中一種寶貴的證明方法是建立在強函數使用之上的方法。我們知道，它已經用來解決了許多問題；那麼，希望把它應用到新問題中的發明家的作用何在呢？最初，他必須辨認這個問題與用這種方法已經解決的那些問題類似；然後，他必須考查這個新問題在什麼方面與其他問題不同，從而推斷應用該方法所必須的修正。

但是，人們怎樣察覺這些類似和這些差別呢？在我剛才舉的例子中，它們幾乎總是一目瞭然的，但是我可以找到它們潛藏得比較深的其他例子；為了發現它們，往往需要非同尋常的洞察力。

為了不使這些隱藏的類似逃脫，就是說，為了成為一個發明者，解析家必須在不借助於感覺和想象的情況下，直覺到一項推理的一致性由什麼構成，也可以這樣說，它的精髓和內心深處的靈魂由什麼構成。

當人們與埃爾米特先生談論時，他從來也不乞靈於一幅感覺圖像，但是你立即就會供察，最抽象的實體對他來說都像栩栩如生的存在一樣。他雖然不目視它們，但心裡卻領悟它們不是人為的集合物，它們具有某一內部統一的原則。然而，有人會說，它還是直覺。我們能夠得出，最初所作出的區分僅僅是表面的，僅存在一種精神，所有的數學家都是直覺主義者，他們至少具有發明的能力嗎？

不能，我們的區分對應於某種實在的東西。我在上面已經說過，存在著許多類型的直覺。我說過，嚴格的數學歸納法所淵源的純粹數的直覺與主要憑恰當地稱之為想象的可覺察的直覺，是何等大相徑庭。

把它們分隔開的鴻溝沒有起初看到的那麼幽深嗎？稍加註意，我們能夠辨認出這種純粹的直覺不借助於感覺就無法作嗎？這是心理學家和玄學家的事情，我不想討論這個問題。

此事雖未確定，但在分辨和堅持兩種類型的直覺之間的基本差別方面，足以證明我是

正是純粹的直覺。純粹邏輯形式的直覺，啟發和引導我們稱之為解析家的人。

就是這種直覺，不僅使他們能夠證明，而且使他們能夠發明。藉助這種直覺，解析家一眼就覺察到邏輯大廈的總圖，而且似乎在沒有感覺介入的情況下也是這樣。

正如我們已經看到的，想象並非是確實無誤的，憑藉直覺，解析家在捨棄想象的幫助的情況下也能夠勇往直前，而不擔心上當受騙。因此，不要這種幫助而能夠有所作為的人是幸運的。我們必然羨慕他們；可是，這樣的人卻為數甚少！到那時，在解析家中間將有發明家，可是他們卻寥寥無幾。

如果我們希望僅憑純粹直覺放眼跳望，那麼

這就是，有作出新的區分、有在解析家中間區分出首先使用純粹直覺的人和首先專注於形式邏輯的人的餘地嗎？

例如，我剛才列舉的埃爾米特不能歸之於幾何學家之中，而他卻使用了可覺察的直覺；但是，他也不能恰當地稱為邏輯主義者。他毫不隱諱他對從一般開始、到特殊終結的純粹演繹程序的反感。

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