01序曲
数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？除了勾股定理的证明，就很难再找到一个令人拍案叫绝的了。
请大家先来看一下勾股定理的尊容吧：“在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。（在△ABC中，∠C=90°，则a²+b²=c² ）。”我对这个问题的看法是：如果说要排一个顺序的话，勾股定理的证明排第二，就没有哪个可以排第一。有人可能会用陈景润对哥德巴赫猜想的证明来占位，那个定理的证明过程写给大家，也没有几个人看得懂，所以就把它放到专家学者讨论的范围去吧。
02勾股定理的证明思想方法为积累令人拍案叫绝的证明过程积累了基础
之所以这样说，是因为在对勾股定理的诸多证明过程的研究中，我发现，转化思想一直是其证明过程得以推进的利器。在初中数学定理中，勾股定理是解决边与边之间的关系的最重要的定理，可以不夸张地说：没有勾股定理，数学中稍微有一点能训练思维能力的题都是寸步难行。在数学课堂中，我总会告诉学生：勾股定理的证明过程，主要是通过把直角三角形转化成平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形、直角梯形等图形，通过面积法进行研究，它对于解决四边形问题、多边形问题、对称问题、圆的问题、三角函数、射影定理（现在初中不要求，但要接触）、无理数（就是因为有了勾股定理，才有了无理数）、一元二次方程、二次函数等等，都具有十分重要的作用，那就是把这些图形反转化成直角三角形，从而让问题得到解决。
03勾股定理的发现过程昭示着其让人拍案叫绝的证明过程必然更精彩
在数学教学中，我给学生讲得最多的就是：勾股定理的乳名叫“商高定理”。在大约公元前1120年，也就是我国的西周时期，商高就提出了“勾三，股四，弦五”的勾股定理特例，只是因为没有看到商高关于问题的证明，所以一定没有叫定理。商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”这就是“勾三，股四，弦五”的最早出处。遗憾的是，史书上没有记载这个定理的证明过程，我称之为勾股定理的乳儿时期。有了这一段历史，我给学生在讲“中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一”时，是坚决地去掉了“之一”二字的。同一时期，还有哪一个国家出现过相关记录呢？
直到第二人，公元前7至6世纪，一个叫陈子的数学家，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。”至此，勾股定理正式成形。但幸运的是，这一个人还是一名中国人。陈子给出了明确的勾股定理数量关系，但是也没有写下它的证明过程。
再过了近200年，到了公元前520年左右，希腊的著名数学家毕达哥拉斯在朋友家的会客厅里，通过地面铺设的石板地砖发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
为什么毕达哥拉斯后发现这个定理，又用他的名字命名呢？人家毕哥是发了功夫的，他发现定理后，他和他的门徒们兴高采烈地杀了100头牛，一是供奉神灵，二是大晏宾客。那吃了人家的嘴软，于是大家都把它叫“毕达哥拉斯定理”，还附带送了个外号“百牛定理”。这可给了中国的商哥和陈哥当头一闷棍。当然，这一段是玩笑哈。主要原因，还是毕达哥拉斯发现定理后，就很快传播出去了，而我们中国的两位数学家，把成果写到书里去了。
后来，还有一些人被记录进了勾股定理的发现史，但他们更晚，此处就不给他们立传记了。
04数量众多的证明方法让勾股定理证明过程当之无愧地称得上“让人拍案叫绝”
勾股定理除了它丰富的发现史，还有更为精彩的证明方法研究。我在教学中也会让学生参与勾股定理的证明，以此来训练他们的思维，但是，我的学生面对这种证明时，能去认真思考并找到5种方法的并不多。但勾股定理的魅力永存，千百年来，多少数学爱好者对勾股定理的证明趋之若鹜，使它成百上千次地反复被炒作，反复被论证。
你知识勾股定理有几种证明方法吗？什么？五种？五十种？五百种都不止！给大家一组有记录的证明方法变化趋势数据：
1779年，在巴黎出版了18种证明法；
1880年，德国出现了提供46种证明法的专著；
1901年，发表了毕达哥拉斯定理的第100个证明之后，《美国数学月刊》的编辑放弃接受此类稿件；
1927年，卢米斯出版了《毕达哥拉斯命题》一书，收集了230个证法；
1940年，87岁的卢米斯又出版了该书的第二版，收集了370个证法；
现在，《吉尼斯世界纪录大全》网站上的“毕达哥拉斯定理的最新证法”一栏中显示的是一位发现了520种证法的希腊人。
今天，不知又有多少新的证法已经出现了。
05研究勾股定理证明过程的人本身就“让人拍案叫绝”
很多人认为，研究勾股定理都是数学家或老师、学生吧。其实，你这就错了。在这支对勾股定理趋之若鹜的大队伍中，除了数学家，更有普通老百姓（这一部分就不在本文中讲了吧，讲了大家也不知道，我也不知道），政要权贵、甚至是国家的总统、皇帝。
清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王。近期，在西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”。用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S,则第一步S/6=m；第二步：根号m=K；第三步：分别用3、4、5乘以K，得三边长”。
美国第20任总统加菲尔德用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三解形拼出一个梯形的方法证明了勾股定理。
其他研究学术文化特别是数学的大家权贵就不一一介绍。
06尾声
要说“数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？”勾股定理应该坐稳这个问题的第一把交椅，它带给我们的，不仅仅是文化、还有思想、艺术、生活、哲学、美学、神学等丰富多彩的现实世界，它甚至给我们很多方法论的东西。让我们以更加开放的态度去拥抱勾股定理吧。
大家好！我是一枚初中从事近30年的数学老师，我在@同心圆数学世界 等待着与大家交流数学学习、数学教学。
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