據說在廣大數學系同學的教材中，證明題被分為了兩大類：
（1）這tm（題目）也用證？
（2）這tm（題目）也能證？
而今天的問題，可能還要特殊一點，你可以說它屬於第一類，若是歸屬於第二類好像也毫無違和感，是的，說的就是我們小學就知道的加法交換律：a+b=b+a．
01
這tm也用證？
當然，它又不是公理，況且，並不是每一種運算都滿足交換律，比如減法就不行，a-b和b-a並不是總相等的，a÷b和b÷a往往也是兩回事，解釋這一點很簡單，對於a+b而言，其中的a和b都叫做加數，但是對於a-b，一個叫減數，一個叫被減數，當然不能隨意交換．
接下來關於這個等式的證明，或許我們會有一些這樣那樣的想法，比如，通過移項兩邊加加減減．
當然不可能這麼簡單了．
做證明題一定要清楚一點，我們有什麼？
對這個問題無從下手的一個主要因素就是，這題沒給條件啊！其實也不是沒給，是默認我們都知道了，比如
（1）什麼是a、b（這裡代指自然數）；
（2）什麼叫加法．
我們確實知道，只不過我們熟悉的並不能解決這個問題．
什麼叫自然數？
像0、1、2、3……這樣的數叫自然數，這是我們小學就知道的定義，這個定義能幫助孩子們理解、辨別自然數，至於嚴謹不嚴謹的，這不在小學考慮的範疇．
但對於我們這個問題，什麼叫自然數就很重要了．
對於一些數學基礎定義，我們下定義的方式從來都不是“它是什麼”，我們不曾討論過“1是什麼？”、“1真實存在嗎”等等，我們只會描述“1”可以用來做什麼，比如“我在馬路邊撿到1元錢”、“這次考試我考了班級第1，倒數的”．
明確我們想要它來幹什麼，再用公理來規範它，即所謂的公理化，至於它本身有沒有意義之類的，who care．
我們想要自然數實現什麼？
（1）基數功能：表示數量；
（2）序數功能：表示順序；
（3）運算功能：如果1+2不能得到3的話，那麼1+2與a+b又有什麼區別？
02
什麼是自然數？
通用的定義自然數的公理是皮亞諾（Peano）公理，以下內容參考《陶哲軒實分析》一書，關於皮亞諾公理作簡單介紹．
首先我們想要的自然數是指一類數，彼此之間也是有關係的，我們需要兩個基礎概念：數0和增長運算，由0開始增長得到後面的其他的自然數，我們用n++來表示n後面的數，稱為數n的“後繼”，比如0++=1,（0++）++=2等等．
公理1：0是自然數．
關於0到底是不是自然數，本文就不討論了．數學是基於公理體系下的符號遊戲，只要不引起矛盾或糾紛，這個說法便是ok的．
公理2：若n是自然數，則n++也是自然數．
我們可以理解自然數集是0，0++，（0++）++，（（0++）++）++……這麼一串數，只是為了書寫方便，我們改為了0，1，2，3，4……
好像對於描述自然數，以上兩條就夠了，但我們還需更明確一些，關於每個數的後繼．
用過這種計算器的應該會知道，如果算出的數結果很大，會顯示歸零．
同樣對於自然數集，我們需要：
公理3：0不是任何自然數的後繼，即對於任意自然數n，都有n++≠0．
規避掉歸零的情況還不夠，我們還需要保證，後面數的後繼也不會歸1、歸2等等，比如4++≠1，4++≠2……
公理4：不同的自然數有不同的後繼．若m、n是自然數且m≠n，則m++≠n++，等價地說，若m++=n++，必有m=n．
對於自然數已經比較規範了，但對於運算來說還差點意思．
公理5：（數學歸納原理）
設P（n）是關於自然的是一個性質，假設P（0）是真的，並假設只要P（n）是真的，則P（n++）也是真的．那麼對於每個自然數n，P（n）都是真的．
就好比當我們有了1+1=2，便可得到2+1=3，3+1=4……
對於自然數，我們想要的是具有一般性的結論，而這一點需要數學歸納來完成．
自然數
自然數：存在一個數系N，稱其元素為自然數，公理1—5對此數系成立．
03
加法是什麼？
假裝解決了第一個問題：什麼是自然數．接下來該說說什麼是加法了．
在前面我們提過自然數的一個基本運算：增長，表現了自然數之間的關聯，在此基礎上來建立加法運算．
加法
設m是自然數，定義：0+m=m．假定已經定義好如何使n加上m，那麼定義（n++）加上m為（n++）+m=（n+m）++．
比如當定義1+3=4時，那麼2+3=（1+3）++=4++=5，3+3=（2+3）++=5++=6……
這還不夠，m+0=m嗎？以及n+（m++）=（n+m）++嗎？這些我們還都不知道呢，我們也希望同樣由1+3=4能得到1+4=5．
關於加法，我們還能得到什麼？
證明1：對自然數m，m+0=m．
已知0+m=m但並不能由此直接得出m+0=m，我們還並不知道加法交換律這麼回事．公理告訴我們這裡我們可以用的方法是數學歸納，
根據0+m=m以及0是自然數，可得：0+0=0
現假定n+0=n，根據加法定義，
那麼（n++）+0=（n+0）++=n++
所以對任意自然數m，均有m+0=m．
證明2：對任意自然數n和m，n+（m++）=（n+m）++
依然數學歸納法
對n進行歸納，當n=0時，
0+（m++）=（0+m）++
假定n+（m++）=（n+m）++，
接下來證（n++）+（m++）=（（n++）+m）++．
左式=（n+（m++））++=（（n+m）++）++
右式=（（n+m）++）++
故左式=右式．
準備工作做好了，剩下的任務就簡單了．
04
這tm也能證？
假裝已經理解了題目給我們暗示的兩個條件：
（1）什麼叫自然數；
（2）什麼是加法．
是時候證明加法交換律了．
加法交換律：對於自然數n和m，n+m=m+n．
證明
對n進行歸納，
首先考慮當n=0時，
0+m=m，m+0=m，
故0+m=m+0成立，
假定n+m=m+n成立，
下證：（n++）+m=m+（n++）
根據加法定義：（n++）+m=（n+m）++
根據證明2：m+（n++）=（m+n）++
根據假定：（m+n）++=（n+m）++
故（n++）+m=m+（n++）
於是對任意自然數n、m，均有n+m=m+n．
我問佛，瞭解這玩意有什麼意義？
佛說，你已經做了這麼多無意義的事，又何必多在意這一件？
我不禁淚流滿面~
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