現代數學千姿百態，20世紀數學的一個特點是學科分支出現井噴，各種理論分支層出不窮，如今的數學家已經沒有全才一說，你能精通四五個領域並做出重要貢獻，你就是世界頂級的數學家。據統計，20世紀的數學成果超過19世紀的10倍，也超過了此前3000年所有數學成就的總和！
20世紀數學的另外一個特點是各個學科分支理論不斷的互相融合，試圖打通各個學科分支的聯繫，形成大一統的數學理論的局面，格羅滕迪克代數幾何、朗蘭茲綱領就是這種趨勢的體現。
但歸根結底，雖然20世紀數學已經遠遠超越了以前所有世紀的數學成就總和，但20世紀數學的幾乎所有源頭，都是在19世紀不過，基礎和框架也還沒有能夠超越19世紀數學的思想，這麼說吧，20世紀至今的數學依然還在為19世紀數學寫總結。
實際上，職業數學家和業餘數學愛好者的天塹溝壑是在19世紀劃下的，所以現在的業餘數學愛好者對於數學家的認知，絕大多數都依然停留在高斯以前，一說就是什麼三大四大阿基米德，牛頓，歐拉，高斯，而對於黎曼，龐加萊這樣實際數學成就早已超越高斯歐拉牛頓阿基米德的數學家的大神認知是很粗淺的，這因為黎曼龐加萊伽羅瓦阿貝爾魏爾斯特拉斯諾特嘉當李戴德金格羅滕迪克等一大批學者的數學成果，已經不能在初等數學初等分析，初等代數，初等幾何的範疇內去科普，對於廣大的業餘愛好者已經形成了認知壁壘。
這一切現當代數學的起源，都在於19世紀的數學創造。
群論
19世紀的數學是現代數學的直接源頭，從數學分支的角度來看，現代數學有四個最重要的突破性的大源頭：
1.代數學：伽羅華阿貝爾群論的誕生，凱萊格拉斯曼哈密爾頓線性代數矩陣四元數八元數的誕生(英國的數學終於追上來了)，這直接導致現代代數學的誕生，代數從研究方程解的問題，轉而變為研究數學及運算結構的構造，這是劃時代的思想的創造，徹底改變了代數學和整個數學的面目！直接導致了李群李代數，群環域理想理論，直至諾特抽象代數的誕生，集抽象代數之大成！到今天，現代數學實際上抽象代數工具已經統治了數學的所有一切！包括現代代數幾何，朗蘭茲綱領，群表示論等目前最熱門最中心的數學方向。抽象抽象再抽象，已經成為現當代數學最前沿的主流和無數研究者的噩夢。
黎曼幾何
2.幾何學：黎曼創立的流形幾何是劃時代的標誌，前導高斯微分幾何和羅巴切夫斯基非歐幾何也有重要啟發。誇張點說，如果說群論統治了數學，那麼流形則統治了物理。現代數學問題都往群論和線性代數上引，那現代物理的幾何化則是最重要的趨勢。如果說牛頓微積分誕生後，理論物理分析化是主流，那20世紀以後，理論物理幾何化則成為主流。從相對論到量子場論規範場論到弦論到M理論等二十世紀以來的物理學，黎曼曲面，流形，黎曼度量，黎曼曲率張量，張量分析，纖維叢理論，等都是現當代物理理論的起點！黎曼幾何的發展，促使一般流形理論的誕生，至19世紀末形成了龐加萊拓撲學、嘉當現代微分幾何兩大支柱，從而統治了20世紀至今的現代數學和物理！
複分析
3.複變函數理論，也就是複分析：柯西，黎曼，魏爾斯特拉斯是複變函數理論最重要的創造者！前期阿貝爾雅可比高斯的橢圓函數理論也成為重要組成部分。尤其是黎曼大師的幾何向複分析，是現代數學的一切！柯西，魏爾斯特拉斯到複變函數理論還不能夠完全統一解釋阿貝爾雅可比高斯的橢圓函數理論，而黎曼用一張黎曼曲面將阿貝爾函數理論納入範疇內，這直接導致了黎曼曲面理論、共形映射理論、現代微分幾何、現代代數幾何、現代拓撲學的誕生，這些都是現代數學中心的中心！如果說群論是最偉大的現代數學工具，那麼黎曼複分析就是最偉大的現代數學題材內容。在集合論基礎上用群論抽象代數語言來詮釋發展推廣黎曼複分析的工作，幾乎可以涵蓋整個現代數學！某種程度上，所謂現代數學就是群論抽象代數與流形幾何與黎曼複分析的大融合大統一的一個過程！到現代代數幾何和朗蘭茲綱領，這個趨勢逐漸融為一爐，在尋找大一統數學全領域的探索，都是這個趨勢的加強。
分析基礎嚴格化
4.實分析：柯西魏爾斯特拉斯的分析基礎嚴格化真正意義上開創了現代分析學，黎曼傅立葉狄利克雷阿貝爾等大師對分析基礎的傑出工作也足以載入史冊！至戴德金實數理論，康托爾集合論，勒貝格積分，宣告分析學大廈基本建成！集合論成為現代數學的基礎！這是整個19世紀數學發展的中心和主線！20世紀後分析學主要的突破在於泛函分析和調和分析的發展，但至20世紀初，隨著集合論和勒貝格積分的誕生，分析學經過200多年的發展，大致宣告成型！這是整個現代數學的邏輯和理論基礎。
以上四個大源頭，是現代數學肇始的母體，一切現代數學都脫胎於19世紀這四大突破性的創造和工作，直至今天，當代數學仍然沒有走出19世紀開創建設出來的整體大框架，依然在這個大框架內工作和尋求本質的突破和新的數學計算構造。
算術探索
解析數論
除了以上四個大源頭，19世紀的數論也有重要突破，成為現代數學重要的小源頭，同樣在現代數學中居於中心的研究對象的地位。
5.數論：以高斯算術探索為標誌性的事件，宣告現代數論正式誕生與崛起！高斯整合初等數論集大成，並推出二次互反律，模形式，二次型等重要理論，奠定代數數論基礎，直接引發戴德金克羅內克庫默爾結合抽象代數開創現代代數數論。進而代數數論成為二十世紀乃至如今的數論的頂點。而狄利克雷黎曼開創的解析數論則讓數論分支大放異彩！時至今日，現代代數幾何，算術代數幾何乃至朗蘭茲綱領中，最直接最中心的對象就是解決數論的問題，二次型，模形式，黎曼澤塔函數及其推廣形式L函數，都是朗蘭茲綱領大一統數學全領域的中心，是解開數學之謎的重要鑰匙，這大大推動了現代數學的發展！
可以說，19世紀是奇蹟的數學世紀，此前從未有過，此後恐怕也很難再誕生這樣一個群星璀璨，反應數學本質的突破性成果層出不窮的神話時代了。
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