现代数学千姿百态，20世纪数学的一个特点是学科分支出现井喷，各种理论分支层出不穷，如今的数学家已经没有全才一说，你能精通四五个领域并做出重要贡献，你就是世界顶级的数学家。据统计，20世纪的数学成果超过19世纪的10倍，也超过了此前3000年所有数学成就的总和！
20世纪数学的另外一个特点是各个学科分支理论不断的互相融合，试图打通各个学科分支的联系，形成大一统的数学理论的局面，格罗滕迪克代数几何、朗兰兹纲领就是这种趋势的体现。
但归根结底，虽然20世纪数学已经远远超越了以前所有世纪的数学成就总和，但20世纪数学的几乎所有源头，都是在19世纪不过，基础和框架也还没有能够超越19世纪数学的思想，这么说吧，20世纪至今的数学依然还在为19世纪数学写总结。
实际上，职业数学家和业余数学爱好者的天堑沟壑是在19世纪划下的，所以现在的业余数学爱好者对于数学家的认知，绝大多数都依然停留在高斯以前，一说就是什么三大四大阿基米德，牛顿，欧拉，高斯，而对于黎曼，庞加莱这样实际数学成就早已超越高斯欧拉牛顿阿基米德的数学家的大神认知是很粗浅的，这因为黎曼庞加莱伽罗瓦阿贝尔魏尔斯特拉斯诺特嘉当李戴德金格罗滕迪克等一大批学者的数学成果，已经不能在初等数学初等分析，初等代数，初等几何的范畴内去科普，对于广大的业余爱好者已经形成了认知壁垒。
这一切现当代数学的起源，都在于19世纪的数学创造。
群论
19世纪的数学是现代数学的直接源头，从数学分支的角度来看，现代数学有四个最重要的突破性的大源头：
1.代数学：伽罗华阿贝尔群论的诞生，凯莱格拉斯曼哈密尔顿线性代数矩阵四元数八元数的诞生(英国的数学终于追上来了)，这直接导致现代代数学的诞生，代数从研究方程解的问题，转而变为研究数学及运算结构的构造，这是划时代的思想的创造，彻底改变了代数学和整个数学的面目！直接导致了李群李代数，群环域理想理论，直至诺特抽象代数的诞生，集抽象代数之大成！到今天，现代数学实际上抽象代数工具已经统治了数学的所有一切！包括现代代数几何，朗兰兹纲领，群表示论等目前最热门最中心的数学方向。抽象抽象再抽象，已经成为现当代数学最前沿的主流和无数研究者的噩梦。
黎曼几何
2.几何学：黎曼创立的流形几何是划时代的标志，前导高斯微分几何和罗巴切夫斯基非欧几何也有重要启发。夸张点说，如果说群论统治了数学，那么流形则统治了物理。现代数学问题都往群论和线性代数上引，那现代物理的几何化则是最重要的趋势。如果说牛顿微积分诞生后，理论物理分析化是主流，那20世纪以后，理论物理几何化则成为主流。从相对论到量子场论规范场论到弦论到M理论等二十世纪以来的物理学，黎曼曲面，流形，黎曼度量，黎曼曲率张量，张量分析，纤维丛理论，等都是现当代物理理论的起点！黎曼几何的发展，促使一般流形理论的诞生，至19世纪末形成了庞加莱拓扑学、嘉当现代微分几何两大支柱，从而统治了20世纪至今的现代数学和物理！
复分析
3.复变函数理论，也就是复分析：柯西，黎曼，魏尔斯特拉斯是复变函数理论最重要的创造者！前期阿贝尔雅可比高斯的椭圆函数理论也成为重要组成部分。尤其是黎曼大师的几何向复分析，是现代数学的一切！柯西，魏尔斯特拉斯到复变函数理论还不能够完全统一解释阿贝尔雅可比高斯的椭圆函数理论，而黎曼用一张黎曼曲面将阿贝尔函数理论纳入范畴内，这直接导致了黎曼曲面理论、共形映射理论、现代微分几何、现代代数几何、现代拓扑学的诞生，这些都是现代数学中心的中心！如果说群论是最伟大的现代数学工具，那么黎曼复分析就是最伟大的现代数学题材内容。在集合论基础上用群论抽象代数语言来诠释发展推广黎曼复分析的工作，几乎可以涵盖整个现代数学！某种程度上，所谓现代数学就是群论抽象代数与流形几何与黎曼复分析的大融合大统一的一个过程！到现代代数几何和朗兰兹纲领，这个趋势逐渐融为一炉，在寻找大一统数学全领域的探索，都是这个趋势的加强。
分析基础严格化
4.实分析：柯西魏尔斯特拉斯的分析基础严格化真正意义上开创了现代分析学，黎曼傅立叶狄利克雷阿贝尔等大师对分析基础的杰出工作也足以载入史册！至戴德金实数理论，康托尔集合论，勒贝格积分，宣告分析学大厦基本建成！集合论成为现代数学的基础！这是整个19世纪数学发展的中心和主线！20世纪后分析学主要的突破在于泛函分析和调和分析的发展，但至20世纪初，随着集合论和勒贝格积分的诞生，分析学经过200多年的发展，大致宣告成型！这是整个现代数学的逻辑和理论基础。
以上四个大源头，是现代数学肇始的母体，一切现代数学都脱胎于19世纪这四大突破性的创造和工作，直至今天，当代数学仍然没有走出19世纪开创建设出来的整体大框架，依然在这个大框架内工作和寻求本质的突破和新的数学计算构造。
算术探索
解析数论
除了以上四个大源头，19世纪的数论也有重要突破，成为现代数学重要的小源头，同样在现代数学中居于中心的研究对象的地位。
5.数论：以高斯算术探索为标志性的事件，宣告现代数论正式诞生与崛起！高斯整合初等数论集大成，并推出二次互反律，模形式，二次型等重要理论，奠定代数数论基础，直接引发戴德金克罗内克库默尔结合抽象代数开创现代代数数论。进而代数数论成为二十世纪乃至如今的数论的顶点。而狄利克雷黎曼开创的解析数论则让数论分支大放异彩！时至今日，现代代数几何，算术代数几何乃至朗兰兹纲领中，最直接最中心的对象就是解决数论的问题，二次型，模形式，黎曼泽塔函数及其推广形式L函数，都是朗兰兹纲领大一统数学全领域的中心，是解开数学之谜的重要钥匙，这大大推动了现代数学的发展！
可以说，19世纪是奇迹的数学世纪，此前从未有过，此后恐怕也很难再诞生这样一个群星璀璨，反应数学本质的突破性成果层出不穷的神话时代了。
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