在抗美援朝戰爭中，中國一直在思考著到底要不要出手幫助朝鮮。毛主席對此說了這樣的一句話："打得一拳開，免得百拳來"。就這樣，抗美援朝戰爭成了中國的立國戰，向全世界展示了新中國的實力、威力，也才有了現在的和平局勢。
同樣對於學習，毛主席這種策略也值得我們思考。對於那些典型的、精選的、具有代表性的題目，同學們不僅應該會做，而且還應該對習題進行反思，更重要的是我們可以通過背景包裝、更換數字、變條件、變結論等多種方式對習題進行變式。要充分發揮習題本身所蘊含的價值，這樣既可以擺脫題海的困擾，又可以起到事半功倍的效果。
課本題目
如圖1，這個圖案是我國漢代的趙爽在註解《周髀算經》時給出的，人們稱它為"趙爽弦圖"．此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，則AB的長為_____．
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理進行解答即可．
【解答】：依題意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
故答案是：10．
變式拓展
在課本題目的基礎上我們可以作如下拓展練習，老獲得最大學習收穫。
1．（2019秋•迎澤區校級月考）如圖，以正方形ABCD的邊為斜邊，向內作四個全等的直角三角形，且四邊形EFGH為正方形，這樣的圖形我們稱為弦圖，將正方形ABCD放入右邊每個小正方形的邊長為1的網格中，若正方形的四個頂點A、B、C、D和四個直角頂點E、F、G、H都是格點，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖，問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為5時，正方形EFGH的面積的所有可能值是_______．
【解析】本題考查作圖﹣應用與設計、全等三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬於中考填空題中的壓軸題。
當DG＝4，CG＝3時，滿足DG²+CG²＝CD²，此時FG＝1，可得正方形EFGH的面積為1．
當DG＝2√5，CG＝√5時，滿足DG²+CG²＝CD²，此時HG＝√5，可得正方形EFGH的面積為5．故答案為1或5．
2．（2019秋•錦州期末）如圖是由"趙爽弦圖"變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S₁、S₂、S₃．若S₁+S₂+S₃＝60，則S₂的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．30
【解析】此題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質的運用，證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然後利用大圖形的面積等於幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．
設每個小直角三角形的面積為m，則S₁＝4m+S₂，S₃＝S₂﹣4m，
因為S₁+S₂+S₃＝60，所以4m+S₂+S₂+S₂﹣4m＝60，
即3S₂＝60，解得S₂＝20．故選：C．
3．（2019秋•儀徵市期末）"趙爽弦圖"巧妙地利用面積關係證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為______．
【解析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，
∵每一個直角三角形的面積為：1/2ab＝1/2×8＝4，
∴4×1/2ab+（a﹣b）²＝25，
∴（a﹣b）²＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：3．
4．（2019秋•石獅市期末）如圖所示的"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a+b＝√15，ab＝2，則小正方形的面積為______．
【解析】觀察圖形可知，小正方形的邊長＝a﹣b，
∵a+b＝√15，ab＝2，
∴小正方形的面積＝（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝15﹣8＝7．
故答案為：7．
5．（2019秋•安徽月考）公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在註解《周髀算經》時給出的"趙爽弦圖"如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，其中直角三角形中較大的銳角度數為a．若大正方形的面積為144，小正方形的面積是36，求sina﹣cosa的值．
【解析】根據正方形的面積公式可得大正方形的邊長為12，小正方形的邊長為6，再根據直角三角形的邊角關係列式即可求解．
∵大正方形的面積是144，小正方形面積是36，
∴大正方形的邊長為12，小正方形的邊長為6，
∴12sina﹣12cosa＝6，
∴sina﹣cosa＝1/2．
6．（2019•泰順縣模擬）圖1是我國著名的"趙爽弦圖"，它是由四個全等的直角三角形所圍成將四個直角三角形的較短邊（如AF）向外延長1倍得到點A′，B′，C′，D′，並連結得到圖2．已知正方形EFGH與正方形A′B′C′D′的面積分別為1cm²和85cm²，則圖2中陰影部分的面積是（ ）
A．15cm² B．30cm² C．36cm² D．60cm²
【解析】∵正方形EFGH與正方形A′B′C′D′的面積分別為1cm2和85cm2'
∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝√85,
設四個直角三角形的較短邊為x，則在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由題意得
（2x）²+（2x+1）²＝85，化簡得
2x²+x﹣21＝0
∴x₁＝3，x₂＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴圖2中陰影部分的面積是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故選：B．
7．（2018秋•太原期末）勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，在我國古算書《周牌算經》中就有"若勾三，股四，則弦五"的記載．如圖1是由邊長均為1的小正方形和Rt△ABC構成的，可以用其面積關係驗證勾股定理．將圖1按圖2所示"嵌入"長方形LMJK，則該長方形的面積為（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
【解析】延長AB交KF於點O，延長AC交GM於點P，如圖所示：
則四邊形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
易證△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，邊長AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴長方形KLMJ的面積為10×11＝110．故選：B．
8．（2019•咸寧一模）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM＝2√3EF，則正方形ABCD的面積為（ ）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【解析】設AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a²+b²,
由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝2√3EF，
∴2a＝2√3b，∴a＝√3b，
∵正方形EFGH的面積為S，
∴b²＝S，∴正方形ABCD的面積＝4a²+b²＝13b²＝13S，故選：B．
9．（2019春•永城市期中）如圖是"趙爽弦圖"，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，根據這個圖形的面積關係，可以證明勾股定理．設AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．
（1）正方形EFGH的面積為_____，四個直角三角形的面積和為______；
（2）求（a+b）²的值．
【解析】（1）∵HE＝a﹣b＝2，
∴S正方形EFGH＝HE²＝4，
∵AD＝c＝10，∴S正方形ABCD＝AD²＝100，
∴四個直角三角形的面積和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，
故答案為：4；96；
（2）由（1）可知四個直角三角形的面積和為96，
∴4×1/2ab＝96，解得2ab＝96，
∵a²+b²＝c²＝100，
∴（a+b）²＝a²+b²+2ab＝100+96＝196．
方法總結
在"趙爽整圖"中，大正方形的邊長等於直角三角形兩直角邊的平方和的算術平方根，小正方形的邊長等於直角三角形兩直角邊的差。解題中要靈活運用這些結論，並藉助整體思想，方程思想來溝通聯繫，尋找解題途徑，往往會收到滿意的解題效果。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
