高斯的博士論文解決的問題
高斯在他的博士論文中證明了如下的命題，使之升級成定理：一個帶有複數係數的n次代數方程g（x）=0，其中n為正整數：
至少有一個複數解。（在這裡我們把實數看成虛部為零的複數）
人們稱上述結論為代數基本定理。
擁有了這個定理，我們就可以證明，一個n次的多項式可以分解成為n個一次因式的乘積的形式。
上述定理在歐拉的有生之年都未得到證明，但是歐拉直接將其應用到了無窮級數的研究當中。
應用上述定理可證明如下命題：
多項式g（x）：
可以恰好分解為n個一次因式的乘積：
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
我們可以應用高斯論文中的結論證明這個命題！
證明
讓我們考慮如下的多項式：
我們發現當給這個多項式乘以一個因子x-a時，我們有：
這樣我們得到了一般的結論：
根據上述公式我們可以知道：
下面我們觀察一個多項式g（x）如下圖所示：
由高斯論文中的結論可知，g（x）=0必有一個複數根我們記為b，那麼我們觀察如下推導，我們得到了之前我們探究過的因式分解的形式：
因為g（b）=0我們可知：g（x）-g（b）=g（x），我們可以提出一個因子x-b得到如下關係：
我們對h（x）也進行g（x）的操作，我們可以不斷這樣操作，不斷地提取因子，將g（x）寫成如下形式：
此時我們還不知道這些b1，b2...bn 是不是g（x）=0的所有的根，我們假設不是這樣的，還有另一個根c，我們得到了如下複數乘積的形式，由於c是g（x）的根，所以g（c）=0：
如果若干複數相乘乘積為零，必須至少有一個複數為零 ，因此可知c是b1，b2...bn 中的一個，所以我們證明了b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
因此我們根據高斯博士論文中的結論證明了多項式g（x）可以恰好分解為n個一次因式的乘積。
下面我們來講一講，歐拉是如何利用高斯證明的代數基本定理的推論來去推導巴塞爾問題的。
巴塞爾問題是這樣的：
這個問題很長時間數學家都不知道如何去解決，歐拉利用代數基本定理的一個推論把這個問題給巧妙地解決了，雖然歐拉的推導並不是十分嚴格，但是他卻得出了正確的結果，下面我們來看一看歐拉是如何進行他的推導的！
本文作者希望通過符合邏輯的闡述還原歐拉在無窮級數領域所做的一個貢獻的推導思路，因為在作者看來這樣的思路是比較容易讓人接受的。
歐拉在研究f（x）=sinx這樣的函數時發現，可以通過泰勒展開sin（x）寫成如下的形式：
在進行下一步推導之前，我們可以先進行思考，這種展開是不是有一些像我們所熟悉的冪級數的形式呢？如果大家對這個冪級數比較熟悉的話，我們會把如圖所示的左右兩個公式都除以x，這樣做的目的可以讓右邊的這個式子變成一個標準的冪級數的形式。
當然歐拉之前研究過冪級數，對於如下所示的冪級數的形式非常熟悉：
歐拉自然而然希望能夠將正弦函數泰勒展開變成自己熟悉的形式, 於是他應該會做如下變換：
這樣做是把之前正弦函數泰勒展開的形式轉換成比較熟悉的形式。接下來歐拉認為，既然所有非零整數倍的π都是上圖的零點，這樣的話我們是不是可以將上述的函數寫成如下的形式呢？
實際上之所以能夠得出上述等式，歐拉應用的是如下命題的無窮情況下的推廣：
多項式g（x）：
可以恰好分解為n個一次因式的乘積：
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
我們知道這個命題是高斯所證明的代數基本定理的一個推論，根據這個推論，歐拉把它應用到了無窮項上，顯然這麼做是有失嚴謹的，但是歐拉卻推導出了正確的結論！
此時有的讀者會問了，為什麼不寫成如下所示的形式呢：
這是因為歐拉希望讓展開的形式的常數項為1，這是他比較熟悉的形式。而上圖的常數項不為1，我們甚至都看不出上圖公式展開的常數項為多少。
讓我們繼續觀察上圖所示的關係，我們不難發現我們可以將之變形為如下形式：
這時歐拉應該會用換元法將上述所得的結論轉換為他更熟悉的冪級數的形式:
歐拉對於無窮級數的如下展開形式非常熟悉，這個展開式告訴我們，展開之後的x的一次項的係數下圖左邊括號內的x一次項係數的關係，這讓我們知道了括號內的x一次項係數的和是展開後一次項的係數：
於是歐拉得出了這樣的結論：
雖然歐拉的推導並不是非常嚴格，但是他得到了前人未發現的有趣的結論，這個結論十分漂亮！
實際上用類似的方法還可以得出更多的結論，讀者可以自行驗證，你認為還能用什麼方法去推導出巴塞爾問題呢？
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