高斯的博士论文解决的问题
高斯在他的博士论文中证明了如下的命题，使之升级成定理：一个带有复数系数的n次代数方程g（x）=0，其中n为正整数：
至少有一个复数解。（在这里我们把实数看成虚部为零的复数）
人们称上述结论为代数基本定理。
拥有了这个定理，我们就可以证明，一个n次的多项式可以分解成为n个一次因式的乘积的形式。
上述定理在欧拉的有生之年都未得到证明，但是欧拉直接将其应用到了无穷级数的研究当中。
应用上述定理可证明如下命题：
多项式g（x）：
可以恰好分解为n个一次因式的乘积：
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
我们可以应用高斯论文中的结论证明这个命题！
证明
让我们考虑如下的多项式：
我们发现当给这个多项式乘以一个因子x-a时，我们有：
这样我们得到了一般的结论：
根据上述公式我们可以知道：
下面我们观察一个多项式g（x）如下图所示：
由高斯论文中的结论可知，g（x）=0必有一个复数根我们记为b，那么我们观察如下推导，我们得到了之前我们探究过的因式分解的形式：
因为g（b）=0我们可知：g（x）-g（b）=g（x），我们可以提出一个因子x-b得到如下关系：
我们对h（x）也进行g（x）的操作，我们可以不断这样操作，不断地提取因子，将g（x）写成如下形式：
此时我们还不知道这些b1，b2...bn 是不是g（x）=0的所有的根，我们假设不是这样的，还有另一个根c，我们得到了如下复数乘积的形式，由于c是g（x）的根，所以g（c）=0：
如果若干复数相乘乘积为零，必须至少有一个复数为零 ，因此可知c是b1，b2...bn 中的一个，所以我们证明了b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
因此我们根据高斯博士论文中的结论证明了多项式g（x）可以恰好分解为n个一次因式的乘积。
下面我们来讲一讲，欧拉是如何利用高斯证明的代数基本定理的推论来去推导巴塞尔问题的。
巴塞尔问题是这样的：
这个问题很长时间数学家都不知道如何去解决，欧拉利用代数基本定理的一个推论把这个问题给巧妙地解决了，虽然欧拉的推导并不是十分严格，但是他却得出了正确的结果，下面我们来看一看欧拉是如何进行他的推导的！
本文作者希望通过符合逻辑的阐述还原欧拉在无穷级数领域所做的一个贡献的推导思路，因为在作者看来这样的思路是比较容易让人接受的。
欧拉在研究f（x）=sinx这样的函数时发现，可以通过泰勒展开sin（x）写成如下的形式：
在进行下一步推导之前，我们可以先进行思考，这种展开是不是有一些像我们所熟悉的幂级数的形式呢？如果大家对这个幂级数比较熟悉的话，我们会把如图所示的左右两个公式都除以x，这样做的目的可以让右边的这个式子变成一个标准的幂级数的形式。
当然欧拉之前研究过幂级数，对于如下所示的幂级数的形式非常熟悉：
欧拉自然而然希望能够将正弦函数泰勒展开变成自己熟悉的形式, 于是他应该会做如下变换：
这样做是把之前正弦函数泰勒展开的形式转换成比较熟悉的形式。接下来欧拉认为，既然所有非零整数倍的π都是上图的零点，这样的话我们是不是可以将上述的函数写成如下的形式呢？
实际上之所以能够得出上述等式，欧拉应用的是如下命题的无穷情况下的推广：
多项式g（x）：
可以恰好分解为n个一次因式的乘积：
其中b1，b2...bn是g（x）=0的所有的根。
我们知道这个命题是高斯所证明的代数基本定理的一个推论，根据这个推论，欧拉把它应用到了无穷项上，显然这么做是有失严谨的，但是欧拉却推导出了正确的结论！
此时有的读者会问了，为什么不写成如下所示的形式呢：
这是因为欧拉希望让展开的形式的常数项为1，这是他比较熟悉的形式。而上图的常数项不为1，我们甚至都看不出上图公式展开的常数项为多少。
让我们继续观察上图所示的关系，我们不难发现我们可以将之变形为如下形式：
这时欧拉应该会用换元法将上述所得的结论转换为他更熟悉的幂级数的形式:
欧拉对于无穷级数的如下展开形式非常熟悉，这个展开式告诉我们，展开之后的x的一次项的系数下图左边括号内的x一次项系数的关系，这让我们知道了括号内的x一次项系数的和是展开后一次项的系数：
于是欧拉得出了这样的结论：
虽然欧拉的推导并不是非常严格，但是他得到了前人未发现的有趣的结论，这个结论十分漂亮！
实际上用类似的方法还可以得出更多的结论，读者可以自行验证，你认为还能用什么方法去推导出巴塞尔问题呢？
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