對階乘進行解析延拓後,就能得到著名的伽馬函數,我們根據伽馬函數,就可以得到"0!=1"。
階乘
階乘是指所有小於以及等於某個數的正整數之積,記為:
n!=1×2×3×……×n;
在排列組合中我們經常遇到階乘運算,比如5個人按照順序進行排隊的話,就有“5!=120種”排列方法。
按照階乘的定義,我們很容易得出這麼一個結論:
(n+1)!=(n+1)*n!,其中n≥1且為整數;
至於n=0的情況,超出了階乘的定義範圍,但是我們為了讓上面式子繼續成立,我們強行把n=0帶進去有:
(0+1)!=(0+1)*0!
由於1!=1,所以我們得出0!=1的結論,大家要注意了,這只是一個試探性的結論,不過我們為了保證數學公式的連續性,完全可以定義:
0!=1
這樣的話,對於階乘來說,我們就能把定義域再加上一個“0”;那麼0的階乘等於零又有何意義呢?這樣的定義是否合理?
伽馬函數
對於0的階乘等於零,更嚴謹的證明需要用到伽馬函數Γ(n):
這是大數學家歐拉在1729年,經過解析延拓後得到的函數,也是對階乘函數的擴展,這個函數擁有一個非常有趣的性質:
Γ(n+1)=nΓ(n),其中n>0;
於是我們很容易得到:
對於最後一個公式,當n=1時:
Γ(1)=(1-1)!=0!=1
得證!
伽馬函數的定義域不在僅限於整數,對於非整數也是成立的,如果利用伽馬函數的遞歸公式,還可以把伽馬函數的定義域擴展到負數上。
對階乘進行解析延拓後,就能得到著名的伽馬函數,我們根據伽馬函數,就可以得到"0!=1"。
階乘
階乘是指所有小於以及等於某個數的正整數之積,記為:
n!=1×2×3×……×n;
在排列組合中我們經常遇到階乘運算,比如5個人按照順序進行排隊的話,就有“5!=120種”排列方法。
按照階乘的定義,我們很容易得出這麼一個結論:
(n+1)!=(n+1)*n!,其中n≥1且為整數;
至於n=0的情況,超出了階乘的定義範圍,但是我們為了讓上面式子繼續成立,我們強行把n=0帶進去有:
(0+1)!=(0+1)*0!
由於1!=1,所以我們得出0!=1的結論,大家要注意了,這只是一個試探性的結論,不過我們為了保證數學公式的連續性,完全可以定義:
0!=1
這樣的話,對於階乘來說,我們就能把定義域再加上一個“0”;那麼0的階乘等於零又有何意義呢?這樣的定義是否合理?
伽馬函數
對於0的階乘等於零,更嚴謹的證明需要用到伽馬函數Γ(n):
這是大數學家歐拉在1729年,經過解析延拓後得到的函數,也是對階乘函數的擴展,這個函數擁有一個非常有趣的性質:
Γ(n+1)=nΓ(n),其中n>0;
於是我們很容易得到:
對於最後一個公式,當n=1時:
Γ(1)=(1-1)!=0!=1
得證!
伽馬函數的定義域不在僅限於整數,對於非整數也是成立的,如果利用伽馬函數的遞歸公式,還可以把伽馬函數的定義域擴展到負數上。
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