冉冉时光

1. 美的本质，可望不可得

大凡美感，“五官端正”与“身材匀称”之美只是表象，本质上是“欲罢不能”与“可望不可即”，唯有稀缺，美才油然而生。

可望不可得，有人想的是对绝世佳人，有人想的是腰缠万贯，有人想的是聪明绝顶。

数学之美，不只是心脏线之类的【纯对称美】，更重要是她的【超对称美】。

数学的美在于对具体的抽象：具体是被厌烦而腐朽的，抽象是被创新而神奇的。

数学之抽象，大有“风情万种”，可又不能轻易得手，所以人们才觉得数学很美。

2. 数学何以表现【纯对称】？

就原理而言，数学的对称美，表现两个方面：轴对称与中心对称。

2.1 【轴对称】的概念与附注

构建一个笛卡尔直角坐标系，有一维直线坐标系、二维平面坐标系、三维立体坐标系。

以坐标原点作为测量基准的【零点】，向左右作横向展开，向上下作纵向展开，你总是可以得到【大小相等】而【方向相反】的两组坐标及其连线。

这里，坐标轴就叫对称轴，相应的叫对称坐标、对称线、对称面或对称体。

当然你还可以平移或旋转坐标轴，构建新的坐标系，获得新的对称美。

轴对称，也叫【翻折对称】，好比折纸，将纸【翻折180度】，获得对称的两页。

轴对称，又叫【镜像对称】，好比照镜子，镜子反射光翻折180度给出一个对称脸。

轴对称，还叫【手相对称】，好比将左右反向的掌面合拢。更有叫【反物质对称】的。

附注1：轴对称的两个对称者总是反向180度之【翻折】，要么面对面，要么

附注2：轴对称，可以是一分为二的两个部分，也可以是遥相呼应的两个整体。

附注3：轴对称在自然界不存在（虽然可近似处理），轴对称只存在于超自然产物，如机械零部件（也是近似处理）。

2.2【中心对称】的概念与附注

中心对称，是指在直角坐标系中，以坐标原点为中心，将某个对象旋转360度(2π弧度)，重新获得对象的原形。

在初中几何里，最典型的是平行四边形。以平行四边形的两个对角线的交点为中心，只要旋转360度，就可以获得一个新图形与原有平行四边形完全一样。

中心对称本质：任何不规则东西，只要旋转1周、2周、...n周，就可以打回原形。

中心对称，也叫【旋转对称】，任何存在形式，无论线型、面型、体型、规则的、不规则的，都可以通过旋转运动，以周期为单位，实现自我的中心对称。

中心对称，有时叫【反演对称】，反演就是反转或反滚一圈。当然也有【正演对称】，正演就是正转或正滚一圈。

附注1：中心对称是自然界的【普遍现象】。只要是一个孤立系统，例如电子、核子、空气分子、尘埃、沙砾、小行星、地球、太阳。它们都在翻滚、自转或自旋。

附注2：中心对称是自我运动的【周期对称】。自我运动包括自旋与旋进。

在特定的温压条件下：一个孤立系统，必然有自旋或自转或翻滚，就会实现自我与回归自我，这叫【自旋性周期对称】；

与此同时，它还要有自由漂移或活动空间，即所谓旋进或进动，这叫【旋进性周期对称】，例如，地球绕太阳一周，可以近似处理为返回到原初的点位。

例如，一个负电子，除了自旋以外，还会因为外加反向强磁场，其自旋轴会翻转180度，颠倒了南北极，变成正电子。这个正电子就是颠倒南北极的负电子。

3. 数学何以表现【超对称】

超对称（supersymmetry），泛指通常在解析几何基于坐标系背景下的超越同等性质的代换、拓扑、投影之类的对称。

3.1 【代数值】与【几何形】的超对称

这是最基础的，最常用的，可以启发我们的抽象思维、代换思维与超对称思维。

例1：一个值为(3)的数，与三滴水的形(💦)，可以建立抽象与具体之间的超对称，

写成：(3) ↹ (💦)

例2

写成：(x,y) ↹ (·)

例3：一次函数，例如(y=2x+3)，可以对应一条斜线(／)，函数与斜线是一种超对称，

写成：(y=2x+3) ↹ (／)

例4：二次函数，写成圆/抛物线/椭圆方程，就有了二次函数与圆锥曲线的超对称，

写成：(二次函数) ↹ (圆锥曲线)

3.2 【被投影】与【投影图】的超对称

例5：几何学有射影定理，是说平面图上一条斜线投影到横轴上，得到一条水平线。就有了(倾斜线)与(水平线)的超对称，

写成：(／) ↹ (—)

例6：太阳是一个准球体，反射到我们视网膜上是一个准圆面，其超对称关系，

写成：(☀) ↹ (⊙)

例7：电子云是三维混沌，投影到电镜上积聚成一个云雾盘，其超对称关系写成

例8：例7的电子云盘，还可以进一步从自上而下投影，积聚成【中亮边暗】的谱线。

3.4 【二维表】与【二维码】的超对称

大家知道，二元函数式与二维统计表与二维平面图，两两之间都有超对称关系。如果某商品信息是f=f(x,y)簇函数，就可以有与二维码的图片信息。

3.5 【实心体】与【空心环】的超对称

这是超越拓扑关系的超对称。如果我们搓面团，面团的结构成分与总质量不变，那么长条形与饼形与轮胎形是【超拓扑对称】。

例9，无线电波的长波，波长上千米，光子半径甚至500米的天眼，它是怎么钻进地下隧道而被接收的呢？可以理解为，当长波遇到障碍物时，那些巨光子被障碍物戳空，界面部分有衍射效应，大风钻入门缝一样。原来的“实心电波”变成“空心电波”。

例10：单细胞噬菌体，体型巨大，怎么钻进细胞膜的呢？最合理的解释是：好比章鱼一样，把自己实心囊泡，变成超拓扑细条，大有随风潜入夜，润物细无声的“神功”。

（完）

物理新视野

法国著名艺术家罗丹曾说：世界中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。在艺术者眼中，一切都是美的，因为他锐利的慧眼，注视到一切众生万物之核心;如能抉发其品性，就是透入外形触及其内在的"真"。此"真"，也即是"美"。

数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。数学的定义是研究数量关系和空间形式的一门科学。但有句名言说：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。数学不仅用来写科学，而且可用来写人生。所以说数学是一切学科的基础，是核心学科，就像人们知识金字塔的底部垫基石，所以数学被誉为科学的皇后。

　数学分基础和应用两部分组成的，前者追求真和美，后者是把这种真和美应用到现实生活。

一切美的事物都有两条衡量标准：一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐（海森堡）。而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓尽致，而且它还另赋有真理美和一种冷峭、严峻的美。

一、数学外在美：形象美、对称美、和谐美

1、形象美

黑格尔说：“美只能在形象中出现。”谈到形象美，一些人便只联想到影视、雕塑或绘画等，而数学离形象美是遥不可及的。其实数学的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。

欧拉公式是一个特别简单又优美的公式，推导它的过程只用到最简单的微积分和复数知识，但它却能把一些独特的数字和符号连接起来。它被费曼称为“数学内最著名的公式”。

如曼德博集合由形如 f(x) = x² + c 二次多项式迭代产生，当人们代入复数依据轨迹运动趋势赋予不同颜色后，便产生了无穷无尽、令人窒息的美丽.

2、对称美

　对称是美学的基本法则之一，数学中许多轴对称、中心对称图形，都赋予了平衡、协调的对称美。就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圆、分解—组合、平行—交叉、正比例—反比例”。

德国著名的数学家和物理学家魏尔曾说过：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学家们长期追求的目标，有时数学家们甚至把它作为一种尺度，它还是数学创造与发现的美学方法之一。

3、和谐美

最具有这一美色的当属欧氏几何学的黄金比例（约0.618），它简直就是宇宙的美神。具有这一特色设计的五角星堪称是一种巫术的设计标志；黄金分割比是解身材优美的密码。由黄金分割引荐的黄金矩形（矩形长、宽比例是黄金比），它在形式比例上具有相当高的美学价值，如生活中的许多物品（国旗、图书、火柴盒等）都采用了这一优美图形。传说中，蒙娜丽纱的脸就是黄金矩形的脸，所以才会留下千古流芳的“蒙娜丽纱微笑”。哪里有黄金比，哪里就有美的闪光。

他甚至还和会计学鼻祖、意大利数学家卢卡·帕乔利共同完成了《算术集成》，用手绘的插图形象直观地图解了帕乔利的数学法则。

比如约翰内斯·开普勒，作为十七世纪科学革命的关键人物，我们都知道其在天文学上的成就，最为人知的就是开普勒定律，这是稍后天文学家根据他的著作《新天文学》、《世界的和谐》、《哥白尼天文学概要》萃取而成的三条定律。这些杰作对艾萨克·牛顿影响极大，启发牛顿后来想出牛顿万有引力定律。

开普勒除了是天文学家，还是个数学家。在他的职业生涯中，开普勒曾在奥地利格拉茨的一家神学院担任数学教师。在《Harmonices Mundi》这部书中，开普勒手绘的多面体插图极具艺术美感。

荷兰艺术家埃舍尔（M。 C。 Escher，1898-1972）是数学艺术发展历程中相当重要的一位。他的作品多以平面镶嵌、不可能的空间、悖论、循环等作为主题，在其中可以看到对 分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。直至今日，不仅有很多艺术爱好者，很多数学爱好者也对这位科学思维大师的作品称赞有加。

在奥地利艺术家莫塞尔（Koloman Moser，1868 – 1918）的作品中，我们可以看到相似的应用。尽管莫塞尔的作品洋溢着新艺术主义运动的色彩，但它们与几何数学的联系清晰可见。

　数的外在美，是一种没有经过加工的自然美，毕达哥拉斯将自然界和数统一在一起，他说：凡物皆数。伽利略说：自然这本书是用数学语言写成的。我说：我的人生是数的人生。

有这样一句话：“数学是上帝用来书写宇宙的文字！”如果我们用数学的眼光来观察世界，将会是怎样的呢？笔者和大家一起来感悟数学的美！

决定陀螺自身旋转方向与行动轨迹的是左右旋。右旋指陀螺自身旋转方向是顺时针，行动轨迹是逆时针。左旋指陀螺自身旋转方向是逆时针，行动轨迹是顺时针。旋转就是一种平衡。

抛骰子似乎是一片混沌，但混沌之中包含确定性。抛骰子是等可能概率问题。那个灯罩下传播的不仅是光线，还有三角函数线（波）。墙上印着的不仅是影子，还有一条条圆锥曲线。

湍流是一种自然存在的现象，只要有空气就会有湍流发生。飘动的不仅是云层，还有纳维-斯托克斯方程。

分形几何美妙之树将递归生长到极致！

雪花，一种美丽的结晶体，多呈六角形。不过，在科赫的手里成了科赫雪花分形。

按下的是手印，隐藏的是独一无二的双螺旋分子。

扔下的是咖啡块，漂动是一个个正五边形和正六边形的组合体。

放大镜是焦距比眼的明视距离小得多的会聚透镜。

电脑桌面上看到的是文本、数据和图像，看不到的是一个个算法、离散数学！

二、数学内在美：和谐美、简洁美、严谨美、逻辑美、秩序美

　　数学是活在科学肩上的宠儿，有着内、外兼修的美丽和崇高。数学作为理科的代表，其知识本身是非常准确和严谨的，但它蕴含其中的数学美，有的又是十分含蓄和陷晦的，只有反复、认真地进行品味，才能有所领悟。

　1、和谐美

　　数学的和谐美不仅在于它的外表，还有它的内在。上帝之数就是有这种内在美和谐的心灵之数。上帝之数又称完美之数，它所有的真因子（包括1，但不包括本身）之和正好等于这个数本身。例：6的所有真因子1、2、3之和刚好等于6；28所有真因子1、2、4、7、14之和也刚好等于28。6和28是最小的两个完美数，由于6是古时传说中的上帝创造世界所用的天数，而28是月亮绕地球一周所需的天数，所以人们把这样的完美数又称上帝之数。这种数恰如其分的展现出了部分与整体统一的和谐美。

2、秩序美

　毕达哥拉斯认为，数本身就是世界的秩序、宇宙的秩序。数学追求的目标是从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。这是数学美之秩序性的体现。

3、简洁美、严谨美、逻辑美

　数学内在的各种美，有时可独立存在，有时又象是一个大家庭，相互统一团结在一起。

　复杂的自然界中所有的一切，数学家都可以用自己简单的数字公式或语言高度抽象出来。他们以其简洁的形式，从一组简洁明了的公理、概念出发，进行精确计算、严谨推理，就可抽象推论出各种令人惊叹的定理或公式，使人们洞察到数学的内在和谐、严谨、逻辑和秩序性。计算机的代码简单得只有0和1，却可编写出无数深奥无比的程序软件；质数的定义：“只有1和它本身两个约数的数”中的一个“只”字一字值千金；“两点确定一条直线”中的“确定”高度概括了定义的严谨性

“世事纷繁，加减乘除算尽；宇宙广大，点线面体包完。”言简意核，归纳人世百态、宇宙万物。爱因斯坦说过:“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。

数是美的原素，数学是美丽的学科！真正的数学家把对数学的研究、追求当作有着艺术享受的快乐。“美好事物总是一种永久享受！”世界上没有什么力量能把数学家从他的“美人”身边拉走，他们是世界上最忠贞的情人，他们会一生许多次堕入爱河，每一次的对象都是同一个人。

参考文献：

算法与数学之美，数学的美具体指的啥？

中学数学深度研究

一切皆可计算，一切都是必然，也是偶然。万物皆和谐，万法皆归一。

關鍵字: 之美 欣赏 数学